Independencia de eventos

Sean $A$ y $B$ dos eventos de un experimento aleatorio. Se sabe que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ y $P(A \cap B) = 0,2$. Determina analíticamente si los eventos $A$ y $B$ son independientes.

En un experimento aleatorio, los eventos $C$ y $D$ son independientes. Si $P(C) = 0,6$ y $P(D) = 0,3$, calcula la probabilidad de que ocurran ambos eventos a la vez, es decir, halla $P(C \cap D)$.

Los eventos $E$ y $F$ son independientes. Sabiendo que la probabilidad de su intersección es $P(E \cap F) = 0,15$ y que $P(E) = 0,3$, halla la probabilidad del evento $F$.

Se sabe que la probabilidad de que ocurra el evento $G$ es $P(G) = 0,7$ y la probabilidad de que ocurra el evento $H$ sabiendo que ha ocurrido $G$ es $P(H|G) = 0,4$. Si $G$ y $H$ son independientes, ¿cuál es el valor de $P(H)$?

Se consideran dos eventos $A$ y $B$ de un mismo espacio muestral tales que $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,4$ y $P(A \cup B) = 0,8$. Demuestra analíticamente que los eventos $A$ y $B$ no son independientes y, a continuación, calcula la probabilidad condicional $P(A|B)$.

Se lanza una moneda equilibrada dos veces consecutivas. Calcula la probabilidad de obtener "cara" en el primer lanzamiento y "cruz" en el segundo, asumiendo que los lanzamientos son eventos independientes.

De una baraja española de $40$ cartas se extrae una carta, se anota su palo, se devuelve al mazo, se baraja y se extrae una segunda carta. Calcula la probabilidad de que ambas cartas extraídas sean del palo de "oros".

Una caja contiene $3$ fichas verdes (V) y $2$ fichas naranjas (N). Se van a realizar dos extracciones consecutivas. Analiza los diagramas de árbol correspondientes a realizar el experimento con reemplazamiento (Panel A) y sin reemplazamiento (Panel B). Calcula la probabilidad de extraer una ficha verde en la segunda extracción en ambos casos y explica matemáticamente en cuál de los dos escenarios el resultado de la segunda extracción es independiente del resultado de la primera.

Dos eventos $M$ y $N$ son incompatibles (mutuamente excluyentes) y tienen probabilidades estrictamente mayores que cero. ¿Pueden ser independientes? Justifica tu respuesta utilizando la definición matemática de independencia.

Marcos está repasando probabilidad para el examen y se encuentra con dos eventos, $A$ y $B$, tales que $P(A) = 0,3$, $P(B) = 0,5$ y $P(A \cap B) = 0$. En su cuaderno escribe: «Como la probabilidad de la intersección es cero, significa que los dos eventos no tienen nada que ver el uno con el otro y, por tanto, son independientes». Explica detalladamente cuál es el error conceptual de Marcos, demuestra analíticamente si dichos eventos son o no independientes calculando $P(A) \cdot P(B)$ y enuncia la regla general sobre la relación entre eventos incompatibles con probabilidades positivas e independencia.

En un estudio estadístico sobre hábitos de lectura, se ha encuestado a $200$ personas. Los resultados muestran que $120$ leen habitualmente y $80$ no lo hacen. Además, $90$ de los encuestados tienen estudios universitarios, de los cuales $54$ leen habitualmente. Comprueba matemáticamente si los eventos "leer habitualmente" y "tener estudios universitarios" son independientes en esta muestra.

A partir de los registros históricos de una estación meteorológica del norte de España recopilados por AEMET durante el otoño, se estima que en un día cualquiera la probabilidad de lluvia es $P(L) = 0,60$ y la probabilidad de registrar rachas de viento fuerte es $P(V) = 0,40$. Asimismo, los datos revelan que llueve y hace viento fuerte a la vez en el $30\,\%$ de los días ($P(L \cap V) = 0,30$).

1. a) Determina de forma rigurosa, mediante la definición matemática, si los eventos «llover» y «hacer viento fuerte» son estadísticamente independientes en dicha zona.
2. b) Un vecino sostiene: «Como en otoño los temporales traen viento y lluvia juntos, ambos fenómenos no pueden ser independientes». Explica si el resultado numérico obtenido en el apartado anterior apoya la afirmación del vecino, comparando el solapamiento real con el que se esperaría si fuesen independientes.

En una competición de tiro con arco, la arquera Alpha tiene una probabilidad de $0,8$ de dar en el centro de la diana, mientras que el arquero Beta tiene una probabilidad de $0,7$. Si ambos disparan una flecha de forma completamente independiente, calcula la probabilidad de que ambos acierten en el centro de la diana.

Dos máquinas, $M_1$ y $M_2$, envasan productos lácteos en una fábrica y funcionan de manera independiente. La probabilidad de que la máquina $M_1$ sufra una avería en un día de producción es $0,05$, y la de la máquina $M_2$ es $0,08$. Calcula la probabilidad de que, en un día determinado, al menos una de las dos máquinas sufra una avería.

En una ciudad costera, la probabilidad de que llueva un sábado es del $40\%$, y la probabilidad de que llueva un domingo es del $30\%$. Suponiendo que el tiempo del domingo es independiente del tiempo del sábado, halla la probabilidad de que llueva durante el fin de semana (es decir, que llueva el sábado, el domingo o ambos días).

Un ciclista recorre a diario una avenida en la que debe atravesar dos semáforos cuyos ciclos están regulados de manera totalmente independiente. La probabilidad de encontrar el primer semáforo en verde es $P(S_1) = 0,7$ y la de encontrar el segundo en verde es $P(S_2) = 0,6$.

1. a) Antes de realizar cualquier cálculo, estima de forma razonada: ¿la probabilidad de cruzar al menos uno de los dos semáforos en verde ($P(S_1 \cup S_2)$) será mayor que $0,7$, menor que $0,6$ o estará comprendida entre $0,6$ y $0,7$? ¿Por qué?
2. b) Utiliza la fórmula de la unión para eventos independientes para calcular el valor exacto de $P(S_1 \cup S_2)$ y comprueba si tu estimación inicial era correcta, interpretando el resultado.

Sean $A$ y $B$ dos eventos independientes asociados a un experimento aleatorio. Se sabe que la probabilidad de la unión es $P(A \cup B) = 0,88$ y la probabilidad de $A$ es $P(A) = 0,6$. Calcula la probabilidad del evento $B$.

En una vivienda se instala un sistema de seguridad redundante con dos sensores independientes, $A$ y $B$. El fabricante garantiza que el sensor $A$ tiene una probabilidad de detectar a un intruso de $P(A) = 0,8$. La normativa de seguridad exige que la probabilidad total de que salte la alarma (es decir, de que se active al menos uno de los dos sensores, $P(A \cup B)$) sea exactamente de $0,96$. Sabiendo que ambos dispositivos operan de manera independiente, plantea la ecuación correspondiente a partir de la fórmula de la unión y determina qué probabilidad de detección $P(B)$ debe tener como mínimo el sensor $B$ para cumplir con dicha normativa.

En un hospital, un paciente se somete a dos pruebas diagnósticas independientes para detectar una alergia respiratoria. La prueba $X$ da un falso negativo (no detecta la alergia cuando el paciente sí la padece) con una probabilidad de $0,15$. La prueba $Y$ da un falso negativo con una probabilidad de $0,10$. Si el paciente analizado es realmente alérgico, ¿cuál es la probabilidad de que ninguna de las dos pruebas detecte su alergia?

Un estudiante tiene que realizar un examen de tipo test. La probabilidad de que sepa la respuesta correcta a una pregunta de Historia es $0,7$, y la probabilidad de que sepa la respuesta a una de Geografía es $0,8$. Si le hacen una pregunta de cada materia y sus conocimientos sobre ellas son independientes, ¿cuál es la probabilidad de que sepa responder exactamente a una de las dos preguntas?

Un sistema de seguridad bancaria de alta tecnología consta de tres sensores de movimiento que operan de forma totalmente independiente. Las probabilidades de que cada sensor detecte a un intruso que entra en la bóveda son $0,90$, $0,85$ y $0,95$, respectivamente. Calcula la probabilidad de que el sistema detecte a un intruso (es decir, que al menos un sensor se active).

Se tienen dos urnas con la composición que se muestra en la figura. Se extrae al azar una bola de la urna $A$ y, de forma independiente, otra bola de la urna $B$. Calcula la probabilidad de que ambas bolas extraídas sean del mismo color.

Un circuito electrónico para un satélite de comunicaciones está formado por tres componentes $A$, $B$ y $C$ dispuestos como muestra el diagrama. El circuito funciona correctamente si el componente $A$ funciona Y, además, funciona al menos uno de los componentes $B$ o $C$. Los tres componentes fallan de forma independiente con probabilidades $P(F_A) = 0,02$, $P(F_B) = 0,1$ y $P(F_C) = 0,1$. Calcula la probabilidad de que el circuito en su conjunto funcione correctamente.

En una academia de idiomas se ofrecen clases de Francés y Alemán. El $60\%$ de los alumnos estudia Francés. Se sabe que los eventos "estudiar Francés" y "estudiar Alemán" son totalmente independientes. Si la probabilidad de que un alumno elegido al azar no estudie ninguno de los dos idiomas es del $12\%$, determina qué porcentaje de los alumnos de la academia estudia Alemán.

Demuestra analíticamente que si dos eventos $A$ y $B$ son independientes, entonces sus eventos contrarios $\overline{A}$ y $\overline{B}$ también son independientes. Utiliza para ello las propiedades algebraicas de la probabilidad y la definición fundamental de independencia.

Dos amigas, Carmen y Daniela, lanzan alternativamente un dado equilibrado de seis caras en un juego. Gana la partida la primera jugadora que obtenga un $6$. Si Carmen tiene el primer turno y lanzan de forma independiente, calcula la probabilidad exacta de que Carmen gane el juego en su primer o en su segundo lanzamiento.