Fracciones algebraicas

Comprueba, realizando los productos cruzados, si las fracciones algebraicas $\frac{x-3}{x+1}$ y $\frac{x^2-9}{x^2+4x+3}$ son equivalentes.

Calcula el valor numérico de la fracción algebraica $\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 + 1}$ para $x = -2$.

Simplifica la siguiente fracción algebraica extrayendo factor común en el numerador y en el denominador: $\frac{4x^3 - 2x^2}{6x^2 - 2x}$

Simplifica la siguiente fracción algebraica aplicando los productos notables: $\frac{x^2 - 25}{x^2 - 10x + 25}$

Lucía tiene que simplificar la fracción algebraica $\dfrac{x^2+4x}{x^2+6x+8}$ en un examen y escribe en su hoja lo siguiente:

1. a) Identifica el error conceptual que ha cometido Lucía en su primer paso y explica detalladamente por qué no es matemáticamente válido tachar el término $x^2$. Proporciona un contraejemplo numérico sencillo (usando una fracción con números concretos y sumas) que demuestre que tachar sumandos conduce a un resultado erróneo.
2. b) Resuelve la simplificación de forma correcta factorizando numerador y denominador, e indica qué valores de $x$ no pertenecen al dominio de la fracción original.

Simplifica la siguiente fracción algebraica factorizando previamente el numerador y el denominador: $\frac{x^3 - 4x^2 + 4x}{x^3 - 2x^2 - 4x + 8}$

Determina el valor del parámetro $k$ para que la fracción algebraica $\frac{x^2 - kx + 10}{x-5}$ se pueda simplificar (es decir, que el numerador sea divisible entre el denominador). Una vez hallado $k$, escribe la expresión simplificada.

Demuestra, operando y simplificando las fracciones algebraicas, que la siguiente expresión es igual a $2ab$: $\frac{a^3-b^3}{a-b} - \frac{a^3+b^3}{a+b}$

Encuentra una fracción algebraica $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ que cumpla simultáneamente las tres condiciones siguientes:

1) Su forma simplificada irreducible es $\dfrac{2}{x-5}$.

2) Los únicos valores que no pertenecen a su dominio (valores prohibidos) son $x = 5$ y $x = -3$.

3) Los polinomios $P(x)$ y $Q(x)$ deben estar completamente desarrollados en la respuesta final (sin productos indicados ni factores con paréntesis).

Explica paso a paso cómo has deducido el numerador y el denominador a partir de las restricciones de dominio dadas.

Multiplica las siguientes fracciones algebraicas y da el resultado lo más simplificado posible: $\frac{x}{x+2} \cdot \frac{x^2-4}{x^2}$

Efectúa la división de fracciones algebraicas y simplifica: $\frac{2x+2}{x-1} : \frac{4x+4}{x^2-1}$

Halla el polinomio $P(x)$ que hace que la siguiente igualdad entre fracciones algebraicas sea cierta: $\frac{x^2-9}{P(x)} = \frac{x-3}{x^2+2x}$

Realiza la siguiente suma de fracciones algebraicas y simplifica el resultado: $\frac{3x+2}{x-2} + \frac{-x-6}{x-2}$

Efectúa la siguiente operación y simplifica el resultado: $\frac{x^2+5x}{x+3} - \frac{x^2-9}{x+3}$

Realiza las siguientes operaciones reduciendo a común denominador y simplifica el resultado: $\frac{2}{x-1} + \frac{x}{x+1} - \frac{2x}{x^2-1}$

Para calcular y simplificar la resta $\dfrac{x}{x^2-9} - \dfrac{1}{2x+6}$, dos estudiantes de 4° de secundaria proponen estrategias distintas:

• Marcos propone multiplicar directamente los dos denominadores entre sí para hallar un denominador común: $(x^2-9) \cdot (2x+6) = 2x^3+6x^2-18x-54$.

• Ainhoa propone factorizar primero cada denominador, obteniendo $x^2-9 = (x-3)(x+3)$ y $2x+6 = 2(x+3)$, para calcular a partir de ahí el mínimo común múltiplo ($\text{mcm}$).

1. a) Compara ambos procedimientos y justifica cuál de los dos es preferible para minimizar la dificultad de los cálculos y evitar polinomios de grado innecesariamente alto.
2. b) Realiza la operación siguiendo el método más conveniente, simplifica el resultado hasta obtener una fracción irreducible y señala qué valores de $x$ deben excluirse de la expresión.

Considera la expresión algebraica $F(x) = \dfrac{3x^2 - 5x}{x^2 - 1} - 3$.

1. a) Estima: antes de ponerte a operar con lápiz y papel, analiza mentalmente qué ocurre cuando la variable $x$ toma un valor positivo enorme (por ejemplo, $x = 100\,000$). ¿Hacia qué valor crees que tiende el cociente $\dfrac{3x^2-5x}{x^2-1}$ al ignorar los términos de menor grado? A partir de esa deducción, estima razonadamente a qué valor tenderá $F(x)$ para números muy grandes y si esperas que el resultado sea ligeramente positivo o ligeramente negativo.
2. b) Comprueba: reduce la resta a común denominador, efectúa las operaciones del numerador y simplifica $F(x)$ en una única fracción algebraica irreducible.
3. c) Sustituye $x = 100$ en la fracción simplificada obtenida en el apartado b), calcula su valor decimal y razona si confirma la estimación que formulaste en el apartado a).

Efectúa y simplifica todo lo posible la siguiente expresión: $\frac{x^2-1}{x^2+2x+1} \cdot \left( \frac{2x}{x-1} - \frac{x+1}{x} \right)$

Realiza la siguiente operación combinada con fracciones algebraicas y simplifica el resultado: $\left( \frac{1}{x} - \frac{2}{x+2} \right) : \frac{x-2}{x^2+2x}$

Efectúa la siguiente resta de fracciones algebraicas y simplifica al máximo: $\frac{x^2+x}{x^2-1} - \frac{x}{x-1}$

Simplifica la siguiente expresión algebraica en forma de "castillo de fracciones": $1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{x-1}}$

Elena resuelve en la pizarra la siguiente operación combinada:

En su cuaderno deja anotados los siguientes pasos:

• Paso 1: Resta dentro del paréntesis: $\dfrac{x(x+1)-2(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{x^2-x+2}{x^2-1}$.

• Paso 2: Transforma la división en producto invirtiendo la segunda fracción: $\dfrac{x^2-x+2}{x^2-1} \cdot \dfrac{x^2-1}{x^2+x-2}$.

• Paso 3: Cancela el bloque $(x^2-1)$ presente en numerador y denominador: $\dfrac{x^2-x+2}{x^2+x-2}$.

• Paso 4: Cancela $x^2$ con $x^2$, divide $\dfrac{-x}{x} = -1$ y $\dfrac{2}{-2} = -1$, deduciendo que el resultado final es $1$.

• Paso 5: Afirma que la expresión se puede evaluar en cualquier número real excepto en $x = 1$ y $x = -1$.

1. a) Elena ha cometido dos errores conceptuales graves: uno algebraico en el Paso 4 y otro de análisis de dominio en el Paso 5 (relativo a la división de fracciones). Explica en qué consiste cada error y por qué invalida su razonamiento.
2. b) Resuelve correctamente el ejercicio a partir del Paso 3 factorizando los polinomios donde sea posible y determina la lista completa de todos los valores de $x$ en los que la expresión original carece de sentido matemático.

La base de un panel solar rectangular mide $x+5$ metros y su altura mide $x-5$ metros. El lado de un panel solar cuadrado mide $x$ metros. Escribe la fracción algebraica que representa el cociente entre el área del panel rectangular y el área del panel cuadrado. Calcula el valor numérico de esta fracción si $x = 10$ metros.

Un grifo de agua caliente tarda $x$ horas en llenar una bañera, mientras que el grifo de agua fría tarda $x+3$ horas. Escribe una fracción algebraica simplificada que represente la parte de la bañera que se llena en una hora si se abren ambos grifos a la vez.

El costo total en bolivianos de fabricar $x$ bicicletas viene dado por el polinomio $C(x) = 21x^2 + 1\,050x$. Los ingresos totales en bolivianos por vender esas $x$ bicicletas se expresan mediante el polinomio $I(x) = 35x^2 + 1\,400x$. Escribe la fracción algebraica irreducible que representa la razón entre los ingresos y los costos.

Un tren recorre una distancia de $120$ km a una velocidad constante de $v$ km/h. En el trayecto de vuelta, debido a la lluvia, su velocidad disminuye en $10$ km/h. Escribe la fracción algebraica que representa el tiempo total del viaje de ida y vuelta en función de $v$, reduciendo a una sola fracción.

Se quiere construir una caja sin tapa a partir de una lámina rectangular de cartón de dimensiones $x+6$ y $x+4$ centímetros, recortando cuadrados de $2$ cm de lado en las cuatro esquinas y doblando las solapas. Escribe la fracción algebraica irreducible que representa la razón entre el volumen de la caja y el área de su base.

En un laboratorio de química se mezclan $x$ litros de una disolución A, cuyo costo es de $\frac{140}{x}$ bolivianos por litro, con $x+4$ litros de una disolución B, cuyo costo es de $\frac{210}{x+4}$ bolivianos por litro. Escribe la fracción algebraica que representa el precio por litro de la disolución resultante, simplificando la expresión al máximo.

Un atleta corre en una pista circular. Durante la primera mitad del recorrido corre a una velocidad de $v$ m/s, y durante la segunda mitad corre a una velocidad de $v-2$ m/s. Sabiendo que la velocidad media de todo el recorrido se calcula como el espacio total dividido entre el tiempo total, demuestra mediante fracciones algebraicas que la velocidad media es $\frac{2v(v-2)}{2v-2}$ m/s.

Un tren de Media Distancia cubre un trayecto de ida y vuelta entre dos ciudades conectadas por una vía de $120\text{ km}$ de longitud. En el viaje de ida circula a una velocidad constante $v$ (en $\text{km/h}$), mientras que en el viaje de vuelta circula a una velocidad más rápida, de $(v + 20)\text{ km/h}$.

1. a) Sabiendo que el tiempo se calcula como cociente entre distancia y velocidad, escribe la fracción algebraica que representa el tiempo total del viaje de ida y vuelta, $T(v)$, sumando los tiempos de ambos trayectos mediante el mínimo común múltiplo de sus denominadores.
2. b) La velocidad media global de todo el trayecto se define como la distancia total recorrida dividida entre el tiempo total invertido: $V_m(v) = \dfrac{240}{T(v)}$. Simplifica esta fracción compleja y demuestra que la velocidad media global se puede expresar como $V_m(v) = \dfrac{v(v+20)}{v+10}$.
3. c) Un viajero afirma: «Como a la ida fuimos a $v$ y a la vuelta a $v+20$, la velocidad media del viaje completo es exactamente la media aritmética ordinaria: $\dfrac{v + (v+20)}{2} = v + 10$». Demuestra algebraicamente, calculando la diferencia $V_m(v) - (v+10)$ en una sola fracción irreducible, que esa afirmación es falsa y deduce si la verdadera velocidad media global es siempre estrictamente mayor o menor que dicha media aritmética para cualquier velocidad $v > 0$.