Inversa de una matriz usando determinantes

En un videojuego de estrategia, las coordenadas de transformación de una unidad se gestionan mediante la matriz $B$:

$B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$

Halla la matriz adjunta, $Adj(B)$, y comprueba si la matriz $B$ admite matriz inversa calculando previamente su determinante.

Calcula la matriz inversa $A^{-1}$ de la siguiente matriz utilizando el método de los determinantes:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

Recuerda que la fórmula es $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot (Adj(A))^t$.

Un ingeniero está diseñando un sistema de control automático. Para que el sistema sea estable, la matriz de coeficientes $M$ no debe ser singular (su determinante debe ser distinto de cero). Dada la matriz:

$M = \begin{pmatrix} m & 4 \\ 1 & m \end{pmatrix}$

Determina para qué valores del parámetro real $m$ la matriz $M$ es singular y, por tanto, el sistema no tendría inversa.

Dada la matriz $A$ dependiente del parámetro real $k$:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & k & 3 \\ 4 & 1 & -k \end{pmatrix}$$

1. a) Determina de forma razonada para qué valores de $k$ la matriz $A$ no posee matriz inversa.
2. b) Para el caso $k = 0$, calcula la matriz inversa $A^{-1}$ utilizando el método de los adjuntos.

Considera la matriz $A = \begin{pmatrix} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{pmatrix}$.

1. a) Halla el polinomio $P(x) = |A|$.
2. b) Determina los valores de $x$ para los que $A$ no tiene inversa.
3. c) Para los valores de $x$ en los que $A$ es inversible, encuentra la expresión de $A^{-1}$ en función de $x$.
4. d) Comprueba que para $x=0$, se cumple que $A^{-1} = \frac{1}{2}(A^2 - 3I)$.

Dada la matriz de orden 2:

$A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$

Calcula razonadamente, aplicando las propiedades de los determinantes:

• a) El valor de $|A|$.

• b) El valor del determinante de su traspuesta, $|A^t|$.

• c) El valor de $|2A|$.

Se sabe que el determinante de una matriz cuadrada $X$ de orden 3 es $|X| = -4$. Sin calcular los elementos de las matrices, obtén el valor de los siguientes determinantes:

• a) $|X^{-1}|$

• b) $|X^2|$

• c) $|X \cdot X^t|$

Sean $A$ y $B$ dos matrices cuadradas de orden 3 tales que $|A| = 2$ y $|B| = -3$. Utilizando las propiedades de los determinantes, calcula el valor de los siguientes determinantes:

1. a) $|A^t \cdot B|$
2. b) $|(2A)^{-1}|$
3. c) $|A \cdot B^{-1} \cdot A^2|$
4. d) $|B \cdot adj(B)|$ (Recuerda la relación entre una matriz, su adjunta y su determinante).

Resuelve la ecuación matricial $A \cdot X = B$, donde:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}$

Para ello, calcula primero la inversa de $A$ mediante determinantes y despeja la matriz $X$.

Resuelve la siguiente ecuación matricial $X \cdot A + B = C$, donde:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Justifica previamente por qué es posible encontrar la matriz inversa de $A$ y despeja la incógnita $X$ antes de realizar los cálculos numéricos.

Se sabe que una matriz cuadrada $A$ verifica la siguiente igualdad: $A^2 - 5A + 6I = O$, donde $I$ es la matriz identidad y $O$ es la matriz nula.

1. a) Demuestra razonadamente que la matriz $A$ es inversible.
2. b) Expresa la matriz inversa $A^{-1}$ como una combinación lineal de las matrices $A$ e $I$.
3. c) Si $A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$, comprueba que cumple la ecuación inicial y halla su inversa utilizando el resultado del apartado (b).