Función lineal y función afín. Polinomio de primer grado

Identifica la pendiente $m$ y la ordenada en el origen $n$ de las siguientes funciones lineales:

1. a) $y = -4x + 7$
2. b) $y = \frac{2}{5}x$
3. c) $y = -3$

Escribe la ecuación de la recta que tiene una pendiente de $5$ y cuya ordenada en el origen es $-2$.

Clasifica las siguientes funciones en función de proporcionalidad directa (lineal estricta), función afín o función constante:

1. a) $f(x) = 3x - 1$
2. b) $g(x) = \frac{x}{4}$
3. c) $h(x) = 8$

Marcos tiene la función afín $f(x) = 3x + 4$ y necesita calcular la imagen de $x = 10$. Como sabe que $f(5) = 3 \cdot 5 + 4 = 19$, razona de la siguiente manera: «Dado que $10$ es el doble de $5$, el valor de $f(10)$ tiene que ser exactamente el doble de $19$, es decir, $f(10) = 38$».\na) Identifica el error conceptual de Marcos y explica por qué no es válido aplicar una regla de tres directa en este tipo de funciones.\nb) ¿Qué valor debería tener la ordenada en el origen $n$ para que el razonamiento de Marcos hubiera sido totalmente correcto?\nc) Calcula el valor real de $f(10)$ mediante su fórmula y comprueba algebraicamente cuántas unidades aumenta en realidad el valor de $y$ cuando $x$ se incrementa en $5$ unidades.

Considera la familia de funciones $f_k(x) = (2k - 4)x + (3k + 6)$, donde $k$ es un parámetro real fijo en cada caso.\na) Determina el valor de $k$ para el cual la función es constante. Escribe su ecuación y describe la posición geométrica de su gráfica respecto a los ejes de coordenadas.\nb) Encuentra el valor de $k$ que convierte a $f_k$ en una función lineal (de proporcionalidad directa). ¿Cuál es el valor de su pendiente en este caso?\nc) Averigua analíticamente si existe algún valor de $k$ tal que la recta pase por el punto $A(2, 4)$ y, al mismo tiempo, la función resultante sea estrictamente creciente. Justifica con rigor tu conclusión.\nd) Para $k = 1$, halla los puntos de corte de la recta con los ejes de coordenadas y calcula el área del triángulo que dicha recta determina junto con los ejes cartesianos.

La tarifa de un taxi viene dada por la función $C(x) = 10,50x + 21$, donde $C(x)$ es el costo en bolivianos y $x$ es la distancia recorrida en kilómetros. ¿Cuánto costará un viaje de $8$ kilómetros?

Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas (eje X y eje Y) de la recta $y = 3x - 12$.

Calcula el área del triángulo que forma la recta $y = -\frac{3}{4}x + 3$ al cortarse con los ejes de coordenadas en el primer cuadrante.

Comprueba analíticamente si los puntos $A(2, 5)$ y $B(-1, -3)$ pertenecen a la gráfica de la función $y = 2x + 1$.

Determina el valor del parámetro $k$ para que la recta de ecuación $y = kx + 5$ pase por el punto $(3, -4)$.

Encuentra la ecuación de la recta que tiene pendiente $m = -2$ y que pasa por el punto $(1, 4)$.

A partir de la siguiente representación gráfica, determina la pendiente, la ordenada al origen y la ecuación de la recta.

Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos $A(-2, 5)$ y $B(4, -7)$.

Halla la ecuación de la recta que es paralela a $y = 3x - 2$ y que pasa por el punto $(-1, 4)$.

Halla analíticamente el punto de intersección de las rectas $y = 4x - 5$ e $y = -2x + 7$. Comprueba que tu resultado coincide con el punto señalado en la siguiente gráfica.

Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto $(0, 5)$ y que forma con los ejes de coordenadas un triángulo rectángulo de área $10$ unidades cuadradas en el primer cuadrante.

La recta $r$ pasa por los puntos $(1, 2)$ y $(3, 8)$. La recta $s$ es paralela a $r$ y su ordenada en el origen es la mitad de la ordenada en el origen de $r$. Determina la ecuación de la recta $s$.

Dadas las rectas $y = (2m - 1)x + 5$ e $y = 3x - n$, determina los valores de los parámetros $m$ y $n$ para que ambas ecuaciones representen exactamente la misma recta (rectas coincidentes).

Halla los valores de $a$ y $b$ para que la recta $y = ax + b$ cumpla simultáneamente dos condiciones: ser paralela a la recta $y = \frac{1}{2}x$ y pasar por el punto de intersección de las rectas $y = 2x - 4$ e $y = -x + 5$.

Se tiene la siguiente tabla de valores experimentales correspondientes a una función desconocida $f(x)$:\n$x$: $-3$, $1$, $3$, $7$\n$y$: $14$, $6$, $2$, $-6$\n\nPara averiguar si la tabla se puede describir con una función de primer grado y hallar su fórmula, dos alumnos proponen estrategias distintas:\n- Método de Lucía: Plantea un sistema de dos ecuaciones con incógnitas $m$ y $n$ usando las dos primeras filas. Luego sustituye los valores de $x$ de las otras dos filas para verificar si coinciden los valores de $y$.\n- Método de David: Calcula el cociente $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ entre cada fila y la siguiente; si todos dan el mismo resultado, asegura que la función es polinómica de primer grado, toma ese valor como pendiente $m$ y despeja $n$ con un punto cualquiera.\n\na) Compara ambos métodos y justifica cuál de ellos permite descartar antes que la función sea de primer grado en caso de que una de las filas contenga un error de medición.\nb) Utiliza el método que consideres más eficiente para demostrar si los datos corresponden a una recta. En caso afirmativo, clasifícala razonadamente (lineal o afín) y halla su fórmula $f(x) = mx + n$.\nc) Sin calcular explícitamente el valor de $x$, razona a priori si la antiimagen de $-100$ será un número positivo o negativo basándote en las propiedades de la función obtenida. A continuación, calcúlala exactamente.

Se busca una función polinómica de primer grado $f(x) = mx + n$ que cumpla simultáneamente tres condiciones:\n1. Es una función afín decreciente.\n2. Corta al eje de ordenadas $Y$ en un punto situado a $4$ unidades por debajo del origen de coordenadas.\n3. La preimagen de $2$ es igual a $-3$.\na) Determina de manera razonada los valores exactos de la pendiente $m$ y de la ordenada en el origen $n$, y escribe la expresión algebraica de $f(x)$.\nb) Justifica a partir del signo de la pendiente por qué la función es decreciente.\nc) Comprueba algebraicamente si el punto $Q(-6, 8)$ pertenece a la gráfica de esta función.

Un plomero cobra $210$ bolivianos por el desplazamiento a domicilio, más $105$ bolivianos por cada hora de trabajo. Escribe la expresión algebraica de la función que relaciona el costo con el tiempo trabajado y calcula cuánto cobrará por una reparación que le lleva $3,5$ horas.

Un depósito de agua contiene inicialmente $800$ litros y se está vaciando a un ritmo constante de $20$ litros por minuto. Escribe la función que relaciona el volumen de agua en el depósito con el tiempo transcurrido y calcula en qué minuto el depósito se vaciará por completo.

La relación entre la temperatura en grados Celsius ($^\circ C$) y grados Fahrenheit ($^\circ F$) es lineal. Sabemos que el agua se congela a $0^\circ C$, que equivale a $32^\circ F$, y hierve a $100^\circ C$, que equivale a $212^\circ F$. Encuentra la función lineal que permite convertir grados Celsius ($x$) a grados Fahrenheit ($y$).

La tarifa de un servicio de taxi urbano en una ciudad capital de Bolivia se compone de un «monto mínimo de arranque» fijo de $1,80$ bolivianos nada más comenzar el recorrido y un costo de $1,15$ bolivianos por cada kilómetro completado.\na) Escribe la expresión analítica de la función $C(x)$ que proporciona el costo total del viaje en bolivianos en función de los kilómetros $x$ recorridos. Justifica si es una función lineal, afín o constante, e interpreta qué representan la pendiente y la ordenada en el origen en el contexto del problema.\nb) Un cliente afirma: «Si hago un trayecto de $18$ km, pagaré exactamente el triple que si hago uno de $6$ km». Justifica matemáticamente si esta afirmación es verdadera o falsa calculando ambos importes.\nc) Si una persona dispone de un presupuesto máximo de $20$ bolivianos, plantea y resuelve una ecuación o inecuación para determinar cuántos kilómetros completos (número entero) puede viajar como máximo.

Según mediciones meteorológicas del SENAMHI en la troposfera, la temperatura disminuye de manera uniforme aproximadamente $0,65$ °C por cada $100$ m de incremento en la altitud. En Cotapata, pueblo situado a $1200$ m sobre el nivel del mar, el termómetro marca $17$ °C a mediodía.\na) Antes de formular ninguna ecuación, estima mentalmente qué temperatura aproximada habrá en el paso de La Cumbre ($1860$ m de altitud): ¿estará más cerca de $12$ °C o de $15$ °C? Explica tu razonamiento aproximando la diferencia de altitud a centenas enteras.\nb) Modela la temperatura mediante una función de primer grado $T(h) = mh + n$, donde $h$ es la altitud en metros. Determina razonadamente el valor de la pendiente $m$ (en °C/m) y el valor de la ordenada en el origen $n$.\nc) Calcula con la función matemática el valor exacto de la temperatura en el paso de La Cumbre y compáralo con tu estimación inicial para valorar si fue acertada.

Una fábrica de tenis tiene unos costos fijos mensuales de $35\,000$ bolivianos. Además, producir cada par de tenis cuesta $105$ bolivianos. Si la empresa vende cada par a $280$ bolivianos, escribe las funciones de costo $C(x)$ e ingresos $R(x)$. ¿Cuántos pares de tenis debe vender al mes para obtener una ganancia de al menos $14\,000$ bolivianos?

Un parqueo cobra $17,50$ bolivianos por la primera hora (o fracción de hora). A partir de la primera hora, cobra $0,35$ bolivianos por cada minuto adicional. Escribe la función definida por tramos $C(t)$ que representa el costo total en bolivianos en función del tiempo $t$ en minutos que un vehículo está parqueado.

La longitud $L$ de un muelle elástico, medida en centímetros, viene dada por la función $L(p) = 15 + 0,2p$, donde $p$ es el peso colgado en gramos. Halla la expresión de la función inversa $p(L)$ y utilízala para calcular qué peso se ha colgado si el muelle mide exactamente $22$ cm.

La siguiente gráfica muestra la distancia a la que se encuentra un ciclista de su casa en función del tiempo. Determina la expresión analítica definida a trozos de la función $d(t)$ y calcula cuál fue la velocidad constante del ciclista durante el viaje de regreso.