Sucesiones exponenciales. El número e

Determina el valor al que tiende la sucesión $b_n$ cuando $n \to \infty$:

$b_n = \left( 1 + \frac{1}{2n} \right)^{2n}$

Halla el límite de la sucesión formada por el cociente de polinomios elevado a $n$:

$c_n = \left( \frac{n+1}{n} \right)^n$

Calcula el límite de la siguiente sucesión exponencial:

$a_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{3n}$

Indica cuál es el límite de la siguiente sucesión geométrica:

$d_n = 5 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^n$

Calcula el límite de la sucesión con término general:

$e_n = \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n$

Halla el límite de la sucesión exponencial cuyo exponente es $n+5$:

$g_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n+5}$

Considera la sucesión $a_n = \left(1 - \frac{1}{2n}\right)^n$.

1. a) Estima: calcula de forma exacta los dos primeros términos, $a_1$ y $a_2$, y exprésalos en forma decimal. Calcula también, con calculadora, $a_{10}$ y $a_{100}$. Observa si estos valores son menores o mayores que $1$ y cómo evolucionan. A partir de lo que observes, razona intuitivamente: al elevar una base menor que $1$ a un exponente que crece hacia $+\infty$, la base también cambia y se acerca a $1$. ¿Qué crees que ocurre con el límite? Da una estimación de su valor y justifícala sin aplicar todavía fórmulas de límites.

1. b) Comprueba: calcula el límite $\lim_{n\to\infty} a_n$ aplicando la fórmula del número $e$, es decir, $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{k_n}\right)^{k_n}=e$ cuando $k_n\to\infty$ (o la versión equivalente de la indeterminación $1^\infty$). Expresa el resultado de la forma más simplificada posible y compáralo con tu estimación del apartado a).

Determina el límite de la siguiente sucesión resolviendo la indeterminación del tipo $1^\infty$:

$b_n = \left( \frac{2n+5}{2n+1} \right)^{3n-2}$

Halla el límite de la sucesión combinando polinomios de segundo grado en la base:

$c_n = \left( \frac{n^2+2n}{n^2-1} \right)^{5n}$

Calcula el límite de la siguiente sucesión, que presenta un exponente algebraico en forma de fracción:

$d_n = \left( \frac{n-2}{n+4} \right)^{\frac{n^2+1}{n}}$

Halla el valor del parámetro real $a$ para que se cumpla la siguiente igualdad con el número $e$:

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n+a}{n+1} \right)^{2n} = e^6$

Calcula el límite de la sucesión exponencial formada por polinomios de segundo grado tanto en la base como en el exponente:

$a_n = \left( \frac{2n^2-3n+1}{2n^2+n-5} \right)^{\frac{n^2+3}{n}}$

Calcula el valor de los parámetros $a$ y $b$ para que la siguiente sucesión tenga como límite $e^{-4}$, sabiendo que $a$ es un número real positivo:

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{an+3}{2n+1} \right)^{bn} = e^{-4}$

Halla el límite de la sucesión que combina raíces cuadradas en su base y un exponente lineal:

$c_n = \left( \sqrt{\frac{n+2}{n-1}} \right)^{3n+1}$

Calcula el límite de la sucesión resolviendo la indeterminación generada por el cociente algebraico en el exponente:

$d_n = \left( \frac{n^2+5n-2}{n^2+3n+1} \right)^{\frac{n^3}{n^2+1}}$

Un profesor propone diseñar un ejercicio de examen y busca construir una sucesión de la forma:\n$$a_n = \left(\frac{A n^2 + B n - 1}{3n^2 + 5}\right)^{C n}$$\ndonde $A$, $B$ y $C$ son números enteros constantes ($A > 0$, $B \neq 0$, $C \neq 0$).\n\na) Determina razonadamente qué valor numérico debe tener de forma obligatoria el coeficiente $A$ para que la sucesión dé lugar a una indeterminación del tipo $1^\infty$. Explica qué ocurriría con el límite si $A$ fuera mayor o menor que ese valor.\nb) Con el valor de $A$ fijado en el apartado anterior, deduce analíticamente qué relación matemática deben cumplir los parámetros $B$ y $C$ para que el límite de la sucesión sea exactamente igual a $\frac{1}{e^2}$.\nc) A partir de la relación hallada, proporciona dos ternas distintas de números enteros $(A, B, C)$ que sirvan para este ejercicio. Selecciona una de ellas y demuestra paso a paso que su límite es efectivamente $e^{-2}$.

Se considera la siguiente familia de sucesiones exponenciales dependientes de un parámetro natural $k \in \{1, 2, 3, 4, \ldots\}$:\n$$s_n = \left(\frac{n^k + 4n}{n^k + 1}\right)^{n^3}$$\n\na) Estima y analiza los órdenes de crecimiento: si $k = 1$, ¿aparece la indeterminación $1^\infty$? Si $k \ge 2$, la base tiende a $1$ y el exponente a $+\infty$. Analiza los grados del numerador y denominador al hacer la resta $(a_n - 1)$, y deduce para qué valor crítico de $k$ se equilibrará exactamente la velocidad a la que la base se acerca a $1$ con la velocidad a la que el exponente $n^3$ crece hacia $+\infty$, de modo que el límite sea una potencia finita de $e$ distinta de $1$ y de $+\infty$.\nb) Comprueba formalmente tu deducción calculando el límite $\lim_{n\to\infty} s_n$ en los siguientes tres casos: para $k = 2$, para el valor crítico de $k$ que predijiste, y para $k = 5$.\nc) A la vista de los resultados, enuncia una conclusión general razonada sobre el valor de $\lim_{n\to\infty} s_n$ en función de si $k$ es menor, igual o mayor que dicho valor crítico.

Se depositan $35\,000$ bolivianos en una entidad financiera a un interés anual del $4\%$. La fórmula del capital final después de $n$ años con capitalización continua viene dada por la sucesión $C_n = 35\,000 \cdot e^{0,04n}$. Calcula el capital acumulado después de $10$ años y compáralo con el capital obtenido si la capitalización fuera anual, cuya expresión es $C'_n = 35\,000 \cdot (1,04)^n$.

Se invierten $70\,000$ bolivianos a una tasa de interés nominal anual del $5\%$. La sucesión que describe el capital final si los intereses se capitalizan $n$ veces al año es $C_n = 70\,000 \left( 1 + \frac{0,05}{n} \right)^n$. Calcula el límite de esta sucesión cuando $n \to \infty$ para hallar el capital final bajo capitalización continua. Compara este resultado con el capital obtenido si se capitaliza trimestralmente ($n=4$).

La cantidad de un isótopo radiactivo en una muestra disminuye de forma exponencial según la sucesión $M_n = 200 \cdot e^{-0,1n}$, donde $n$ es el número de años transcurridos y $M_n$ se mide en gramos. ¿Cuántos gramos quedarán en la muestra tras $20$ años? ¿A qué valor tiende la masa a largo plazo (cuando $n \to \infty$)?

Un vehículo pierde un $15\%$ de su valor cada año debido a la depreciación. Si su precio inicial en la concesionaria es de $168\,000$ bolivianos, el valor después de $n$ años viene dado por la sucesión $V_n = 168\,000 \cdot (0,85)^n$. ¿Cuál será su valor después de $5$ años? ¿Qué ocurre con su valor a medida que el número de años tiende a infinito?

En un experimento de termodinámica, la diferencia de temperatura entre un cuerpo metálico y su entorno disminuye exponencialmente siguiendo la sucesión $T_n = 80 \cdot e^{-0,05n}$, siendo $n$ los minutos transcurridos desde el inicio del enfriamiento. Calcula la diferencia de temperatura a los $30$ minutos y determina el límite de la sucesión cuando $n \to \infty$.

Un paciente recibe una dosis de $50$ mg de un medicamento cada $24$ horas. Sabiendo que el cuerpo elimina el $40\%$ del medicamento presente en ese intervalo de tiempo, la cantidad acumulada en el cuerpo justo después de la dosis $n$-ésima sigue la sucesión geométrica $C_n = 50 + 50 \cdot 0,6 + 50 \cdot 0,6^2 + \dots + 50 \cdot 0,6^{n-1}$. Calcula la cantidad acumulada a largo plazo (el límite de la sucesión cuando $n \to \infty$).

La concentración de un contaminante en un lago se reduce de forma natural mediante un proceso que sigue la sucesión $C_n = C_0 \left( 1 - \frac{2}{n} \right)^n$, donde $n$ representa la cantidad de etapas de filtrado aplicadas. Si se aplican infinitas etapas de filtrado, demuestra matemáticamente a qué fracción exacta de la concentración inicial $C_0$ se reducirá el contaminante.