Ejercicios: Término general

Dada la sucesión cuyo término general es $a_n = \frac{2n-1}{n+3}$, calcula sus cinco primeros términos.

Encuentra la expresión del término general de la siguiente sucesión aritmética:

$5, 9, 13, 17, 21, \dots$

Encuentra la expresión del término general de la siguiente sucesión geométrica:

$3, -6, 12, -24, 48, \dots$

Escribe el término general $f_n$ de la siguiente sucesión de fracciones:

$\frac{1}{2}, \frac{4}{5}, \frac{9}{10}, \frac{16}{17}, \dots$

Dada la ley de recurrencia $a_1 = 2$ y $a_n = 3a_{n-1} - 1$ para $n \ge 2$, calcula los cuatro primeros términos de la sucesión.

Si el término general de una sucesión es $b_n = n^2 - 5n + 6$, averigua qué valor exacto tiene el término que ocupa la posición vigésima ($b_{20}$).

Escribe el término general de una sucesión cuyos términos son números enteros consecutivos pero con signos alternados:

$-1, 2, -3, 4, -5, \dots$

Comprueba matemáticamente si el número $47$ pertenece a la sucesión de término general $c_n = 3n + 2$. En caso afirmativo, indica qué lugar ocupa en dicha sucesión.

Marcos quiere hallar el término general de la sucesión de fracciones:

En su examen escribe la siguiente justificación:

«El numerador avanza de 2 en 2 empezando en 3, luego es $2n+1$. El denominador son los cuadrados de $2, 3, 4, 5\ldots$, luego es $(n+1)^2$. Como los signos van alternando entre positivo y negativo, multiplico por $(-1)^n$. Por tanto, el término general es $a_n = (-1)^n \frac{2n+1}{(n+1)^2}$».

1. a) Calcula los dos primeros términos ($a_1$ y $a_2$) con la fórmula de Marcos e identifica con precisión el error que ha cometido.
2. b) Explica cómo debe modificarse el exponente de la potencia de base $-1$ para corregir el signo y escribe la expresión correcta del término general.
3. c) Marcos afirma que el valor $-\frac{21}{121}$ pertenece a esta sucesión y que ocupa una posición par. Utiliza el término general corregido para razonar si su afirmación es verdadera o falsa.

Diseña la expresión algebraica del término general $a_n$ de una sucesión que cumpla simultáneamente estas cuatro condiciones:

1. El primer término ($n=1$) es negativo y el signo va alternando entre cada término y el siguiente.

2. Todos sus términos son fracciones cuyo valor absoluto es estrictamente menor que 1.

3. A medida que el índice $n$ crece, el valor absoluto de los términos se aproxima progresivamente a 1 (es decir, numerador y denominador se van acercando en valor absoluto).

4. El número $-\frac{5}{6}$ pertenece a la sucesión.

Una vez definida tu fórmula:

1. a) Escribe sus tres primeros términos ($a_1, a_2, a_3$) para comprobar que se verifican las condiciones 1, 2 y 3.
2. b) Plantea y resuelve la ecuación que permite averiguar qué posición $n$ ocupa el número $-\frac{5}{6}$, justificando por qué el resultado garantiza que dicho valor pertenece a la sucesión.

Una población de algas microscópicas en un lago controlado triplica su superficie cubierta cada semana. Si en la primera semana (semana $n=1$) cubren una superficie de $2 \text{ m}^2$:

1. a) Escribe el término general $S_n$ que representa la superficie cubierta al cabo de $n$ semanas.
2. b) Calcula cuántas semanas completas deben pasar para que la superficie cubierta supere por primera vez los $1000 \text{ m}^2$.

Encuentra el término general $a_n$ de la siguiente sucesión combinando los patrones que rigen su numerador y su denominador de forma independiente:

$\frac{2}{3}, \frac{5}{9}, \frac{8}{27}, \frac{11}{81}, \dots$

Observa la siguiente secuencia de figuras formadas por hexágonos adyacentes que comparten uno o varios lados. La Figura 1 está formada por 6 palillos, la Figura 2 por 11 palillos y la Figura 3 por 16 palillos. Escribe el término general del número de palillos $P_n$ necesarios para construir la Figura $n$.

El valor de mercado de un auto nuevo es de $168\,000$ bolivianos. Se estima que cada año pierde un $15\,\%$ de su valor respecto al año inmediatamente anterior. Encuentra el término general $V_n$ que expresa el valor del auto al cabo de $n$ años (considerando $n=0$ el momento de la compra), y determina su valor estimado al cabo de $5$ años.

Dada la sucesión cuyo término general es $a_n = \frac{n^2+1}{n}$, halla la expresión del término general de la sucesión diferencia definida como $d_n = a_{n+1} - a_n$ y simplifica el resultado al máximo.

Una sucesión recurrente se define mediante las condiciones iniciales $x_1 = 1$, $x_2 = 2$ y la ley de recurrencia $x_n = x_{n-1} + 2x_{n-2}$ para todo $n \ge 3$. Calcula los términos de la sucesión hasta $x_6$ y deduce una fórmula explícita para el término general $x_n$ en función de potencias de $2$.

Un atleta aficionado se prepara para una media maratón. El primer día de entrenamiento corre $5$ km, y decide aumentar la distancia diaria en $500$ metros exactos respecto al día anterior. Expresa el término general $d_n$ de la distancia en kilómetros recorrida el día $n$. ¿Qué día de su entrenamiento correrá exactamente $15$ km?

Averigua el término general de la sucesión $0, 3, 8, 15, 24, \dots$ y utilízalo para calcular el valor exacto del término que ocupa la posición quincuagésima ($a_{50}$).

Considera la sucesión definida por el término general $a_n = \frac{5n^2 - 3}{2n^2 + 7n}$.

1. a) Antes de efectuar ningún cálculo exacto, realiza una estimación razonada del valor al que se aproximarán los términos de la sucesión cuando la posición $n$ sea extremadamente grande (por ejemplo, para $n = 10\,000$). Justifica en qué términos de la fracción te fijas y por qué los demás apenas influyen en el resultado.
2. b) Comprueba tu estimación calculando el valor exacto (en forma de fracción irreducible) y la aproximación decimal con tres cifras decimales para $n = 1$, $n = 10$ y $n = 100$. ¿Respaldan estos valores numéricos tu predicción inicial?
3. c) Plantea la ecuación necesaria para averiguar si el número $2,5$ es exactamente un término de la sucesión. Resuélvela y argumenta por qué, pese a la estimación del apartado a, es imposible que $2,5$ forme parte de ella.

Un atleta aficionado prepara en La Paz los 10 km de la Maratón Ciudad de La Paz siguiendo un plan de entrenamiento de 16 semanas. En la primera semana ($n=1$) realiza una carrera larga de $4 \text{ km}$. El entrenador establece una progresión base lineal que añade $0,5 \text{ km}$ por semana (es decir: $4 \text{ km}$ en la semana 1, $4,5 \text{ km}$ en la semana 2, $5 \text{ km}$ en la semana 3, etc.). Sin embargo, para asimilar el esfuerzo muscular, introduce una regla de descarga periódica:

• Si la semana $n$ es impar, el atleta corre la distancia íntegra fijada por la progresión base.

• Si la semana $n$ es par, el atleta reduce en $1 \text{ km}$ la distancia que le correspondería según la progresión base.

1. a) Modela la distancia real $T_n$ (en kilómetros) de la carrera larga de la semana $n$ mediante una única fórmula explícita unificada, utilizando una potencia de base $-1$ para alternar el ajuste entre semanas pares e impares.
2. b) Determina algebraicamente en qué semana superará por primera vez los $9 \text{ km}$ en su carrera larga.
3. c) ¿Cuántos kilómetros le corresponderá correr en la semana $n=16$, última semana de carga antes de la prueba?

Se construye un fractal geométrico a partir de un triángulo equilátero de área $A$. En cada paso, se unen los puntos medios de los lados de los triángulos no sombreados para formar 4 triángulos más pequeños, y se sombrea exclusivamente el central. Encuentra el término general $T_n$ que expresa el número de nuevos triángulos sombreados que se añaden en el paso $n$, y el término general $A_n$ para el área de uno solo de esos nuevos triángulos añadidos en el paso $n$.

Demuestra matemáticamente, estudiando el signo algebraico de la diferencia $a_{n+1} - a_n$, si la sucesión $a_n = \frac{3n-1}{n+2}$ es estrictamente creciente o estrictamente decreciente.

Una pelota de goma se deja caer desde una altura inicial de $10$ metros. En cada rebote contra el suelo, la pelota alcanza una altura igual a $\frac{3}{4}$ de la altura máxima alcanzada en el rebote inmediatamente anterior. Escribe el término general $h_n$ de la altura alcanzada tras el $n$-ésimo rebote. Utilizando logaritmos, determina después de cuántos rebotes la altura máxima será por primera vez inferior a $1$ metro.

Encuentra un único término general explícito $a_n$ para la sucesión $1, 4, 3, 8, 5, 12, 7, 16, \dots$ utilizando la expresión $(-1)^n$ para unificar el comportamiento dispar que presentan los términos pares y los términos impares.

En una red de computadoras, el número total de conexiones directas posibles entre $n$ equipos (si todos están conectados físicamente con todos) forma una sucesión $C_n$. Sabiendo que $C_1 = 0$, $C_2 = 1$, $C_3 = 3$, y $C_4 = 6$, determina el término general $C_n$. A partir de él, deduce cuántos equipos componen una red que tiene exactamente $1225$ conexiones directas.

Se define la sucesión $a_n$ mediante la relación de recurrencia $a_1 = 3$ y $a_n = 2a_{n-1} + 1$ para $n \ge 2$. Para encontrar su término general explícito, define una nueva sucesión auxiliar $b_n = a_n + 1$. Demuestra que $b_n$ es una progresión geométrica, halla su término general $b_n$ y, a partir de él, deduce el término general de $a_n$.

Estudia la acotación de la sucesión $a_n = \frac{5n+2}{2n+1}$. Para ello, demuestra algebraicamente que la sucesión está acotada inferiormente por $\frac{7}{3}$ y superiormente por $\frac{5}{2}$.

Se invierten $35\,000$ bolivianos en un fondo de inversión que ofrece un interés compuesto anual del $4\,\%$. Sin embargo, al final de cada año y tras aplicar los intereses, la entidad deduce $350$ bolivianos fijos en concepto de comisiones de gestión. Escribe la ley de recurrencia para el capital $C_n$ acumulado al final del año $n$ (siendo $C_0 = 35\,000$), y calcula el capital en los tres primeros años ($C_1, C_2, C_3$).

Una sucesión viene definida de forma recurrente mediante $a_1 = 2$ y $a_{n+1} = \frac{a_n}{1 + 3a_n}$ para todo $n \geq 1$. Dos estudiantes deben resolver dos tareas: calcular el término $a_3$ y averiguar si el valor $\frac{1}{152}$ pertenece a la sucesión.

• Lucía propone aplicar la recurrencia sucesivamente término a término hasta responder a ambas cuestiones.

• Sergio propone calcular los primeros cuatro términos, estudiar la sucesión auxiliar de sus inversos $b_n = \frac{1}{a_n}$ para encontrar una regla general, deducir la expresión explícita de $a_n$ en función de $n$ y trabajar a partir de ella.

1. a) Desarrolla el método de Sergio: halla $a_1, a_2, a_3, a_4$, escribe los valores correspondientes de $b_n$, deduce razonadamente la fórmula del término general explícito $a_n$ y comprueba que coincide con los valores hallados.
2. b) Compara ambos procedimientos para el cálculo exclusivo de $a_3$. ¿Cuál resulta más económico en tiempo y operaciones para ese caso particular? Justifica tu respuesta.
3. c) Utiliza el término general explícito para determinar con rigor matemático si el número $\frac{1}{152}$ pertenece a la sucesión. A continuación, razona por qué el método de recurrencia de Lucía resultaría ineficiente o inviable para responder con certeza a esta pregunta.

Se considera la sucesión cuyos primeros términos son:

1. a) Analiza la pauta que siguen los términos situados en posiciones impares ($n=1, 3, 5, \ldots$) y la que siguen los situados en posiciones pares ($n=2, 4, 6, \ldots$). Escribe la ley que determina cada grupo de términos en función del índice global $n$.
2. b) Para expresar la sucesión en una única fórmula cerrada sin recurrir a una función definida a trozos, se utilizan «interruptores algebraicos» construidos con potencias de base $-1$. Justifica qué valores toman las expresiones $\frac{1 - (-1)^n}{2}$ y $\frac{1 + (-1)^n}{2}$ según la paridad de $n$, y úsalas para deducir una fórmula unificada y simplificada del término general $a_n$.
3. c) Investiga algebraicamente si el número 100 forma parte de esta sucesión. Plantea las ecuaciones correspondientes y razona cuántas veces y en qué posición o posiciones exactas aparece dicho valor.