Uso de la calculadora
Mateo quiere construir una rampa para entrar la moto al patio de su casa en Cochabamba. El encargado de la ferretería le pregunta: «¿qué inclinación quieres que tenga?». Una rampa de 12 % de pendiente, ¿a cuántos grados equivale? Salvo en unos pocos ángulos especiales ($30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$), el valor exacto de las funciones trigonométricas no se calcula a mano: hace falta la calculadora científica, y hay que usarla con cuidado. Al final de la página vas a poder responder esa pregunta.
Funciones trigonométricas en el triángulo rectángulo
En un triángulo rectángulo, para un ángulo agudo $\alpha$ se nombran los lados así: hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto), cateto opuesto (el que está frente a $\alpha$) y cateto adyacente (el que toca a $\alpha$).
¿Por qué sirven? Todos los triángulos rectángulos con el mismo ángulo $\alpha$ son semejantes, así que esos cocientes no dependen del tamaño del triángulo, solo del ángulo. La calculadora guarda ese valor para cada ángulo.
También existen las inversas multiplicativas (recíprocas): $\sec \alpha = \dfrac{1}{\cos \alpha}$, $\csc \alpha = \dfrac{1}{\operatorname{sen} \alpha}$ y $\cot \alpha = \dfrac{1}{\tan \alpha}$.
Razones directas con la calculadora
Calcula, utilizando tu calculadora y redondeando a cuatro cifras decimales, el valor de las siguientes razones trigonométricas directas: $\sin 34^\circ$, $\cos 78^\circ$…
Calcula, utilizando tu calculadora y redondeando a cuatro cifras decimales, el valor de las siguientes razones trigonométricas directas: $\sin 34^\circ$, $\cos 78^\circ$ y $\tan 12^\circ$.
Antes de recurrir a la calculadora, conviene anticipar la magnitud del resultado para detectar posibles fallos de tecleo o de modo angular. a) Sin usar la calculadora,…
Antes de recurrir a la calculadora, conviene anticipar la magnitud del resultado para detectar posibles fallos de tecleo o de modo angular.
- a) Sin usar la calculadora, sabiendo que $\sin 30^\circ = 0,5$ y $\sin 45^\circ \approx 0,7071$, estima razonadamente si $\sin 35^\circ$ estará más próximo a $0,55$ o a $0,65$.
- b) Sabiendo que $\tan 45^\circ = 1$ y que la tangente crece a medida que el ángulo se acerca a $90^\circ$, estima si $\tan 50^\circ$ será ligeramente mayor que $1$ (por ejemplo, en torno a $1,2$) o mucho mayor (en torno a $3$).
- c) Ahora, comprueba tus estimaciones calculando $\sin 35^\circ$ y $\tan 50^\circ$ con la calculadora en modo DEG (redondeando a cuatro cifras decimales). Compara los valores obtenidos con tus predicciones y argumenta si tus deducciones eran acertadas.
Calcula el valor numérico de la siguiente expresión trigonométrica, redondeando el resultado final a dos decimales:…
Calcula el valor numérico de la siguiente expresión trigonométrica, redondeando el resultado final a dos decimales:
$E = \frac{\sin 35^\circ + \cos 55^\circ}{\tan 40^\circ}$
Grados, minutos y segundos
En el sistema sexagesimal, un grado se divide en 60 minutos y un minuto en 60 segundos: $1^\circ = 60'$ y $1' = 60''$. Así, $37^\circ 42' 15''$ son 37 grados, 42 minutos y 15 segundos. La calculadora tiene una tecla (generalmente $\boxed{^\circ\,'\,''}$) para introducir esos valores y para convertir un resultado decimal a grados, minutos y segundos.
Halla el valor de las siguientes razones trigonométricas, expresando el resultado con tres cifras decimales. Asegúrate de introducir correctamente los grados, minutos y…
Halla el valor de las siguientes razones trigonométricas, expresando el resultado con tres cifras decimales. Asegúrate de introducir correctamente los grados, minutos y segundos en tu calculadora: $\sin(45^\circ 12' 30'')$, $\cos(12^\circ 5')$ y $\tan(89^\circ 0' 10'')$.
Un topógrafo mide un ángulo de inclinación en una ladera de $14^\circ 25'$. Calcula la tangente de este ángulo con cuatro decimales para conocer el coeficiente de…
Un topógrafo mide un ángulo de inclinación en una ladera de $14^\circ 25'$. Calcula la tangente de este ángulo con cuatro decimales para conocer el coeficiente de pendiente del terreno.
Un panel solar debe orientarse de forma que optimice la captación de luz. El porcentaje de eficiencia de captación viene dado por la expresión…
Un panel solar debe orientarse de forma que optimice la captación de luz. El porcentaje de eficiencia de captación viene dado por la expresión $E = 100 \cdot \cos(\alpha - 38^\circ 15')$, donde $\alpha$ es el ángulo de inclinación del panel. Si por restricciones del tejado el panel se instala con una inclinación $\alpha = 45^\circ 20'$, utiliza la calculadora para determinar su eficiencia $E$ redondeada a un decimal.
Funciones inversas: del valor al ángulo
Si conoces el valor de $\operatorname{sen} \alpha$ y quieres hallar $\alpha$, usas la función inversa: $\operatorname{sen}^{-1}$ o $\operatorname{arcsen}$. En la calculadora se obtiene con $\boxed{\text{SHIFT}}$ (o $\boxed{\text{2ndF}}$) seguida de $\boxed{\sin}$. Lo mismo vale para $\cos^{-1}$ y $\tan^{-1}$.
Utiliza la función inversa de la calculadora para encontrar el ángulo agudo $\alpha$, expresado en grados, minutos y segundos, sabiendo que $\sin \alpha = 0,456$.
Utiliza la función inversa de la calculadora para encontrar el ángulo agudo $\alpha$, expresado en grados, minutos y segundos, sabiendo que $\sin \alpha = 0,456$.
Determina el ángulo agudo $\beta$ en grados, minutos y segundos, si se conoce que su tangente es $\tan \beta = 2,15$.
Determina el ángulo agudo $\beta$ en grados, minutos y segundos, si se conoce que su tangente es $\tan \beta = 2,15$.
En una rampa de carga de un almacén, la longitud total de la rampa es de $15 \text{ m}$ y la altura vertical que salva es de $2,5 \text{ m}$. Calcula el ángulo de…
En una rampa de carga de un almacén, la longitud total de la rampa es de $15 \text{ m}$ y la altura vertical que salva es de $2,5 \text{ m}$. Calcula el ángulo de inclinación de la rampa con respecto a la horizontal, expresándolo en grados y minutos.
Recíprocas y cofunciones
La mayoría de las calculadoras científicas no tienen teclas para $\sec$, $\csc$ ni $\cot$. Se calcula $\cos$, $\operatorname{sen}$ o $\tan$ y luego se invierte con $\boxed{x^{-1}}$ o $\boxed{1/x}$.
Cofunciones
En un triángulo rectángulo, los dos ángulos agudos suman $90^\circ$. El cateto opuesto a uno es el adyacente al otro, y por eso:
Por ejemplo, $\operatorname{sen} 20^\circ = \cos 70^\circ \approx 0{,}3420$. Con eso, en el ejercicio $\operatorname{sen} 35^\circ + \cos 55^\circ$ ves enseguida que los dos sumandos valen lo mismo.
Calcula, redondeando a tres decimales, el valor de las razones trigonométricas recíprocas $\sec 55^\circ$, $\csc 20^\circ$ y $\cot 70^\circ$. Recuerda utilizar las…
Calcula, redondeando a tres decimales, el valor de las razones trigonométricas recíprocas $\sec 55^\circ$, $\csc 20^\circ$ y $\cot 70^\circ$. Recuerda utilizar las relaciones fundamentales inversas en tu calculadora.
Lucía quiere calcular la cosecante de $42^\circ$ para un problema de trigonometría. Para ello, pulsa en su calculadora la combinación…
Lucía quiere calcular la cosecante de $42^\circ$ para un problema de trigonometría. Para ello, pulsa en su calculadora la combinación $\boxed{\text{SHIFT}}\,\boxed{\sin}$ (que activa la función $\sin^{-1}$) y a continuación teclea $42$. Al darle al igual, la pantalla muestra un mensaje de «ERROR Matemático». Lucía concluye que la cosecante de $42^\circ$ no existe.
- a) Explica razonadamente los dos errores conceptuales que ha cometido Lucía: por qué la calculadora da error al introducir $\sin^{-1}(42)$ y por qué esa tecla no sirve para calcular la cosecante.
- b) Escribe la secuencia exacta de teclas que debe pulsar en una calculadora estándar para obtener $\csc 42^\circ$ y calcula su valor redondeado a cuatro cifras decimales asegurándote de que la calculadora está en el modo angular adecuado.
Sabiendo que $\sec \alpha = 1,8$ y que $\alpha$ es un ángulo agudo, utiliza la calculadora para hallar primero el valor de $\alpha$ en grados, minutos y segundos, y a…
Sabiendo que $\sec \alpha = 1,8$ y que $\alpha$ es un ángulo agudo, utiliza la calculadora para hallar primero el valor de $\alpha$ en grados, minutos y segundos, y a continuación calcula el valor de $\sin \alpha$ redondeado a tres decimales.
En un sistema mecánico de poleas, la tensión $T$ (en Newtons) de una correa de transmisión viene dada por la fórmula $T = 500 \cdot \csc(22^\circ 30')$. Calcula el valor…
En un sistema mecánico de poleas, la tensión $T$ (en Newtons) de una correa de transmisión viene dada por la fórmula $T = 500 \cdot \csc(22^\circ 30')$. Calcula el valor de la tensión $T$ redondeando a dos decimales, detallando qué operaciones equivalentes introduces en la calculadora para obtener la cosecante.
Grados o radianes
Además del sistema sexagesimal existe el sistema circular, que mide los ángulos en radianes. Una vuelta completa mide $360^\circ$ o $2\pi$ radianes; media vuelta, $180^\circ$ o $\pi$ radianes.
¿Por qué? $360^\circ$ equivalen a $2\pi$ rad; al simplificar entre 2 queda $180^\circ = \pi$ rad, y de ahí sale la proporción.
Cuando el enunciado da un ángulo sin el símbolo $^\circ$, como $\operatorname{sen}(1{,}2)$, está en radianes: pasa la calculadora a modo RAD. Y para pedir un resultado en radianes, por ejemplo con $\tan^{-1}$, también tienes que estar en RAD.
Expresa en radianes los siguientes ángulos dados en grados sexagesimales, utilizando el valor de $\pi$ de tu calculadora y redondeando a tres cifras decimales:…
Expresa en radianes los siguientes ángulos dados en grados sexagesimales, utilizando el valor de $\pi$ de tu calculadora y redondeando a tres cifras decimales: $40^\circ$, $115^\circ$ y $250^\circ$.
Calcula el valor de $\sin(1,2)$ y $\cos(0,8)$ asumiendo que los ángulos están en radianes. Expresa el resultado con cuatro cifras decimales tras configurar correctamente…
Calcula el valor de $\sin(1,2)$ y $\cos(0,8)$ asumiendo que los ángulos están en radianes. Expresa el resultado con cuatro cifras decimales tras configurar correctamente el modo de tu calculadora.
Evalúa la siguiente expresión trigonométrica asumiendo que los ángulos están dados en radianes: $M = \sin(1,5) \cdot \cos(0,5) - \tan(0,8)$. Expresa el resultado final…
Evalúa la siguiente expresión trigonométrica asumiendo que los ángulos están dados en radianes:
$M = \sin(1,5) \cdot \cos(0,5) - \tan(0,8)$.
Expresa el resultado final redondeado a tres decimales.
Problemas con triángulos rectángulos
Con la calculadora ya puedes resolver situaciones reales. El método: dibuja el triángulo, marca el ángulo, elige la función que relaciona el dato con la incógnita, despeja y calcula.
En problemas de visuales, el ángulo de elevación se mide hacia arriba desde la horizontal y el ángulo de depresión hacia abajo.
En un proyecto de arquitectura, un tejado tiene una pendiente del $28\%$. Sabiendo que el porcentaje de pendiente equivale a la tangente del ángulo de inclinación…
En un proyecto de arquitectura, un tejado tiene una pendiente del $28\%$. Sabiendo que el porcentaje de pendiente equivale a la tangente del ángulo de inclinación multiplicada por $100$, utiliza la calculadora para hallar dicho ángulo en grados, minutos y segundos.
Una antena de telefonía proyecta una sombra de $34,5 \text{ m}$ sobre el suelo horizontal cuando el sol se encuentra a un ángulo de elevación de $42^\circ 15'$. Calcula…
Una antena de telefonía proyecta una sombra de $34,5 \text{ m}$ sobre el suelo horizontal cuando el sol se encuentra a un ángulo de elevación de $42^\circ 15'$. Calcula la altura de la antena redondeando a un decimal.
En la red de carreteras de España, la Dirección General de Tráfico (DGT) utiliza señales de peligro (como la P-16a) que indican pendientes pronunciadas en porcentaje. En…
En la red de carreteras de España, la Dirección General de Tráfico (DGT) utiliza señales de peligro (como la P-16a) que indican pendientes pronunciadas en porcentaje. En el puerto de Pajares (Asturias), un tramo presenta una señal de pendiente descendente del $14\%$, lo que significa que la calzada desciende $14\text{ m}$ por cada $100\text{ m}$ de avance en horizontal.
- a) Modela la pendiente mediante un triángulo rectángulo y escribe la razón trigonométrica que permite hallar el ángulo de inclinación $\alpha$ del tramo respecto a la horizontal.
- b) Utiliza la calculadora en modo DEG para calcular $\alpha$ en grados decimales y, a continuación, exprésalo en grados, minutos y segundos sexagesimales.
- c) Un sistema de frenado automático de un vehículo importado requiere el ángulo programado en radianes. Convierte el ángulo $\alpha$ a radianes con cuatro cifras decimales multiplicando por el factor correspondiente. Comprueba después el resultado configurando la calculadora en modo RAD y calculando de nuevo la razón inversa directa. Explica qué sucedería con el cálculo si un técnico olvida cambiar el modo de la calculadora de RAD a DEG en futuras mediciones.
Identidades y ecuaciones sencillas
Entre las funciones valen relaciones fundamentales, por ejemplo $\operatorname{sen}^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ (viene de Pitágoras con hipotenusa 1) y $\tan \alpha = \dfrac{\operatorname{sen} \alpha}{\cos \alpha}$. Con ellas se puede pasar de una función a otra sin hallar el ángulo: si $\cos \alpha = 0{,}6$, entonces $\operatorname{sen} \alpha = \sqrt{1 - 0{,}6^2} = 0{,}8$ para $\alpha$ agudo.
Para una ecuación como $\operatorname{sen} x = 0{,}6$ entre $0^\circ$ y $360^\circ$, la calculadora da solo una solución, $x_1 \approx 36^\circ 52'$. Como el seno también es positivo en el segundo cuadrante, hay otra: $x_2 = 180^\circ - x_1 \approx 143^\circ 8'$.
Comprueba numéricamente la identidad fundamental $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ para un ángulo $\alpha = 37^\circ 42' 15''$. Escribe los valores intermedios del…
Comprueba numéricamente la identidad fundamental $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ para un ángulo $\alpha = 37^\circ 42' 15''$. Escribe los valores intermedios del seno y del coseno redondeados a cuatro decimales antes de elevarlos al cuadrado y sumarlos.
Evalúa con tu calculadora la expresión $K = \sin(\arccos 0,6)$. A continuación, demuestra algebraicamente utilizando las identidades trigonométricas fundamentales por…
Evalúa con tu calculadora la expresión $K = \sin(\arccos 0,6)$. A continuación, demuestra algebraicamente utilizando las identidades trigonométricas fundamentales por qué el resultado numérico obtenido es exacto y racional.
Resuelve la ecuación trigonométrica $3 \sin x - 2 = 0$ utilizando la calculadora para encontrar todos los posibles valores del ángulo $x$ comprendidos entre $0^\circ$ y…
Resuelve la ecuación trigonométrica $3 \sin x - 2 = 0$ utilizando la calculadora para encontrar todos los posibles valores del ángulo $x$ comprendidos entre $0^\circ$ y $360^\circ$. Expresa los resultados finales en grados y minutos.
Aplicaciones: refracción, peralte y errores
En física e ingeniería las funciones trigonométricas aparecen dentro de fórmulas. El método es el mismo de siempre: despeja la función trigonométrica, calcula el número y usa la función inversa para hallar el ángulo.
Si aproximas un valor exacto por otro, el error absoluto es $|\text{valor exacto} - \text{valor aproximado}|$ y el error relativo es el error absoluto dividido entre el valor exacto (se suele dar en porcentaje).
En un experimento de física óptica, un rayo de luz pasa del aire al agua. La ley de Snell establece que $n_1 \cdot \sin \theta_1 = n_2 \cdot \sin \theta_2$. Si el índice…
En un experimento de física óptica, un rayo de luz pasa del aire al agua. La ley de Snell establece que $n_1 \cdot \sin \theta_1 = n_2 \cdot \sin \theta_2$. Si el índice de refracción del aire es $n_1 = 1$, el del agua es $n_2 = 1,33$ y el ángulo de incidencia es $\theta_1 = 52^\circ 30'$, calcula el ángulo de refracción $\theta_2$ en grados, minutos y segundos.
Un ingeniero civil diseña una curva peraltada para una carretera. La fórmula física que relaciona el ángulo de peralte $\theta$, la velocidad $v$ (en m/s), el radio de…
Un ingeniero civil diseña una curva peraltada para una carretera. La fórmula física que relaciona el ángulo de peralte $\theta$, la velocidad $v$ (en m/s), el radio de la curva $R$ (en m) y la gravedad $g = 9,8 \text{ m/s}^2$ es $\tan \theta = \frac{v^2}{R \cdot g}$. Si una curva de $150 \text{ m}$ de radio se diseña para una velocidad máxima de $90 \text{ km/h}$, calcula el ángulo de peralte $\theta$ en grados, minutos y segundos.
Para ángulos muy pequeños, el valor del seno se aproxima al valor del ángulo expresado en radianes. Calcula el error absoluto y el error relativo que se comete al…
Para ángulos muy pequeños, el valor del seno se aproxima al valor del ángulo expresado en radianes. Calcula el error absoluto y el error relativo que se comete al aproximar el valor de $\sin 1^\circ$ por el valor de $1^\circ$ convertido a radianes. Expresa el error relativo en porcentaje con dos cifras decimales.