Inecuaciones con dos incógnitas

Comprueba cuáles de los siguientes puntos son solución de la inecuación $3x - 2y \le 6$:

• $A(0, 0)$

• $B(4, 1)$

• $C(2, -1)$

• $D(-2, -5)$

Dada la inecuación $4x - 5y < 20$, indica razonadamente si los puntos situados exactamente sobre la recta $4x - 5y = 20$ forman parte de la región solución.

Lucía tiene que resolver la inecuación $2x - y < 0$. En su cuaderno escribe lo siguiente:

«Paso 1: Dibujo la recta continua de ecuación $2x - y = 0$.

Paso 2: Como el punto $(0, 0)$ es el más fácil de sustituir, compruebo si cumple la desigualdad: $2\cdot 0 - 0 < 0 \implies 0 < 0$.

Paso 3: Como $0 < 0$ es falso, sombreo el semiplano en el que no está el punto $(0, 0)$».

Identifica los dos errores conceptuales cometidos por Lucía, explica por qué su razonamiento es incorrecto y describe cómo debe corregirse el ejercicio eligiendo un punto de prueba adecuado.

Para determinar qué semiplano corresponde a la solución de la inecuación $y > -3x + 6$, dos compañeros de clase debaten sobre qué método emplear:

• Carlos afirma: «Como la variable $y$ ya está despejada con coeficiente positivo y el signo es $>$, el semiplano solución está formado obligatoriamente por todos los puntos situados por encima de la recta, así que no hace falta comprobar ningún punto».

• Alba responde: «Es más seguro usar siempre el punto $(0, 0)$, sustituirlo en la desigualdad original y sombrear el lado correspondiente según sea cierta o falsa».

1. a) Aplica ambos métodos para esta inecuación y comprueba si conducen a la misma región.
2. b) Analiza qué ocurriría con el método directo de Carlos si la inecuación de partida fuera $-2y > 6x - 12$. ¿Qué precaución matemática obligatoria exige su método frente a la aparente seguridad del método del punto de prueba?

Escribe la inecuación lineal con dos incógnitas cuya región solución está representada en la siguiente gráfica. Ten en cuenta si la línea de frontera es continua o discontinua.

Representa gráficamente en el plano cartesiano la región solución de la inecuación $x + 2y > 4$.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Escribe el sistema de inecuaciones cuya solución es la franja vertical comprendida entre $x = -2$ y $x = 3$, incluyendo ambas fronteras.

Encuentra el sistema de inecuaciones que define la región sombreada en la siguiente gráfica:

Una región del plano forma un trapecio cerrado cuyos vértices son los puntos $A(1, 1)$, $B(5, 1)$, $C(4, 4)$ y $D(1, 4)$, estando incluidos tanto sus cuatro lados como toda el área interior.

1. a) Obtén la ecuación de cada una de las cuatro rectas que forman los lados del trapecio.
2. b) Escribe el sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas cuya solución gráfica sea exactamente este recinto.
3. c) Utiliza un punto interior claro (por ejemplo, el punto $(2, 2)$) para justificar de forma analítica por qué has seleccionado el sentido de la desigualdad en cada una de las cuatro inecuaciones.

Determina si los puntos $P(1, 3)$, $Q(-1, 2)$ y $R(4, 0)$ pertenecen a la región factible definida por el siguiente sistema de inecuaciones:

$x + y \le 5$

$2x - y > -1$

Representa gráficamente el sistema de inecuaciones que define el cuarto cuadrante del plano cartesiano (donde la abscisa es positiva o nula y la ordenada es negativa o nula).

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Representa gráficamente la región factible determinada por el siguiente sistema de inecuaciones:

$2x + y \le 6$

$x - y \ge -1$

$y \ge 0$

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Representa el siguiente sistema de inecuaciones y describe con palabras la forma geométrica de la región solución:

$3x - y > 2$

$3x - y < 6$

Determina el sistema de inecuaciones que define la región acotada mostrada en la siguiente figura:

Escribe un sistema de inecuaciones cuya solución sea un cuadrado perfecto centrado en el origen de coordenadas, de lado $4$ unidades, con sus lados paralelos a los ejes cartesianos, y donde los puntos de los bordes estén incluidos.

Resuelve gráficamente el siguiente sistema y encuentra analíticamente las coordenadas de los vértices de la región factible:

$y \le 2x + 2$

$y \le -x + 5$

$y \ge 1$

Traduce el siguiente enunciado a una inecuación lineal con dos incógnitas: "El triple del peso de una caja grande ($x$) más el doble del peso de una caja pequeña ($y$) no supera los $50$ kg".

Para organizar una fiesta, se compran botellas de refresco a $14$ bolivianos cada una y bolsas de aperitivos a $21$ bolivianos cada una. Si el presupuesto máximo es de $210$ bolivianos y se desea comprar al menos una unidad de cada producto, plantea el sistema de inecuaciones correspondiente y da dos posibles combinaciones de compra válidas.

En un examen de $20$ preguntas, cada acierto suma $2$ puntos y cada error resta $1$ punto. Si para aprobar se necesita obtener al menos $15$ puntos, plantea la inecuación que relaciona el número de aciertos ($x$) y el número de errores ($y$). Teniendo en cuenta que $x \ge 0$, $y \ge 0$ y $x+y \le 20$, representa gráficamente la región de posibles combinaciones para aprobar.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Un taller fabrica bicicletas y triciclos. Cada bicicleta requiere $2$ ruedas y cada triciclo $3$ ruedas. En el almacén quedan $60$ ruedas. Además, se sabe que el número de bicicletas fabricadas debe ser al menos el doble que el de triciclos. Plantea el sistema de inecuaciones que modeliza esta situación.

Halla los valores del parámetro $k$ para los cuales el punto $A(-1, 4)$ pertenece a la región solución de la inecuación $kx - 2y \le 3$.

Una empresa de transporte dispone de camiones de tipo A (capacidad de $3$ toneladas) y camiones de tipo B (capacidad de $5$ toneladas). Necesitan transportar al menos $45$ toneladas de mercancía. Por restricciones de personal, no pueden usar más de $12$ camiones en total. Plantea el sistema de inecuaciones y comprueba analíticamente si es posible realizar el transporte usando $4$ camiones del tipo A y $7$ del tipo B.

En una granja se crían gallinas y cerdos. Se sabe que el número máximo de animales que puede albergar la granja es de $100$. Además, por cuestiones de rentabilidad, la cantidad de cerdos no puede superar a la tercera parte de la cantidad de gallinas, y debe haber al menos $10$ cerdos. Plantea el sistema de inecuaciones y represéntalo gráficamente para encontrar la región de posibles combinaciones.

Dado el sistema de inecuaciones:

$x + 2y \le 7$

$ax - y \ge 1$

Calcula el valor del parámetro $a$ para que el punto $P(3, 2)$ sea un vértice de la región factible (es decir, se encuentre exactamente en la intersección de las dos rectas frontera).

Un agricultor quiere plantar tomates y pimientos en una parcela de $500 \text{ m}^2$. Por cada metro cuadrado de tomates necesita $4$ litros de agua a la semana, y por cada metro cuadrado de pimientos necesita $3$ litros. Dispone de un depósito que le proporciona como máximo $1800$ litros semanales. Si por motivos comerciales debe dedicar al menos $100 \text{ m}^2$ a los tomates y al menos $50 \text{ m}^2$ a los pimientos, plantea el sistema de inecuaciones y averigua si puede plantar $250 \text{ m}^2$ de cada hortaliza.

Un centro deportivo municipal ofrece abonos mensuales que combinan sesiones de natación ($x$, a $4$ bolivianos cada una) y sesiones de sala de fuerza ($y$, a $6$ bolivianos cada una). El abono exige no superar un presupuesto mensual de $48$ bolivianos ($4x + 6y \le 48$), asistir como mínimo a $3$ sesiones de natación ($x \ge 3$) y realizar al menos $2$ sesiones de fuerza ($y \ge 2$).

1. a) Antes de calcular nada, estima de forma intuitiva si un usuario podría contratar $7$ sesiones de natación y $4$ sesiones de fuerza con este abono. Justifica tu predicción.
2. b) Comprueba algebraicamente si la combinación estimada $(7, 4)$ pertenece a la región factible.
3. c) Calcula analíticamente las coordenadas de los tres vértices del polígono que delimita la región factible y determina cuál es el número máximo de sesiones totales (natación más fuerza) que permite disfrutar este abono.

Una cooperativa olivarera de Jaén comercializa dos formatos de aceite de oliva virgen extra: garrafas familiares de $5$ litros ($x$) y botellas gourmet de $1$ litro ($y$). Para la campaña navideña se establecen las siguientes restricciones operativas:

• El volumen total de aceite destinado a estos dos formatos no puede superar los $1\,500$ litros.

• Por limitaciones de suministro de vidrio, solo se dispone de material para envasar como máximo $600$ botellas gourmet.

• Para garantizar la rentabilidad, el volumen total envasado en garrafas debe ser, al menos, el triple que el volumen total envasado en botellas gourmet.

• Se exige preparar al menos una garrafa ($x \ge 1$) y al menos una botella ($y \ge 1$).

1. a) Modela el problema mediante un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas, prestando especial atención a cómo expresar algebraicamente la condición que compara los volúmenes envasados.
2. b) Determina analíticamente los vértices de la región factible e indica razonadamente si se trata de un recinto acotado o no acotado.
3. c) Comprueba si la cooperativa puede atender íntegramente un pedido de $220$ garrafas y $350$ botellas gourmet respetando todos los criterios anteriores.

Representa gráficamente la solución de la inecuación de segundo grado con dos incógnitas $y \ge x^2 - 4x + 3$.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Representa gráficamente la región del plano definida por el siguiente sistema mixto (una inecuación cuadrática y una lineal):

$y \le -x^2 + 2x + 3$

$x - y \le 1$

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

El tragaluz superior de un invernadero se diseña en un plano cartesiano (con medidas en metros) mediante una región acristalada comprendida entre una curva parabólica y una viga recta:

1. El borde superior es una parábola con vértice en $(0, 4)$ que corta al eje horizontal en $(-2, 0)$ y $(2, 0)$. El marco de esta parábola sí forma parte de la zona acristalada.

2. El borde inferior es una recta que une los puntos $(-2, 0)$ y $(1, 3)$, pero por motivos de dilatación estructural, esta línea divisoria no incluye el cristal (frontera discontinua).

3. La zona transparente se sitúa estrictamente por encima de dicha recta y por debajo o sobre la parábola.

1. a) Deduce algebraicamente la ecuación de la parábola $y = ax^2 + c$ y la ecuación explícita de la recta frontera.
2. b) Escribe el sistema de inecuaciones que delimita la zona con cristal, diferenciando con precisión los símbolos de desigualdad estricta y no estricta.
3. c) Averigua analíticamente los dos puntos de corte donde se unen ambas fronteras y razona formalmente si el punto $(0, 2)$ pertenece o no a la zona acristalada.