Introducción a la combinatoria

Un restaurante ofrece un menú del día con $4$ primeros platos, $3$ segundos platos y $5$ postres. ¿De cuántas formas distintas se puede pedir un menú completo compuesto por un primero, un segundo y un postre?

En una biblioteca de aula hay $12$ novelas de ciencia ficción, $8$ de novela histórica y $5$ biografías. Si solo tienes tiempo para leer un libro este fin de semana, ¿cuántas opciones diferentes tienes para elegir?

Una marca de bicicletas fabrica un modelo que está disponible en $3$ tamaños diferentes de cuadro, $5$ colores y con $2$ tipos de frenos distintos. ¿Cuántas versiones diferentes de este modelo de bicicleta existen en el mercado?

Una contraseña para un sistema informático debe estar formada por $2$ letras del alfabeto (de $26$ letras posibles) seguidas de $3$ dígitos (del $0$ al $9$), o bien por $3$ letras seguidas de $2$ dígitos. Si se permite repetir tanto las letras como los dígitos, ¿cuántas contraseñas distintas se pueden crear en total?

En un colegio de Educación Secundaria de Santa Cruz de la Sierra hay $750$ estudiantes matriculados en total. Para gestionar el préstamo de computadoras portátiles, se genera una etiqueta identificativa para cada estudiante formada por una letra del abecedario español ($27$ letras oficiales, incluyendo la Ñ) seguida de una cifra par perteneciente al conjunto $\{0, 2, 4, 6, 8\}$.

1. a) Modela la situación mediante el principio de la multiplicación para calcular cuántas etiquetas identificativas distintas se pueden emitir con este formato.
2. b) Utiliza el principio del palomar para justificar rigurosamente por qué es seguro que habrá estudiantes con etiquetas idénticas asignadas.
3. c) Determina cuál es el número mínimo de estudiantes que, con total certeza matemática, compartirán exactamente la misma etiqueta en dicho colegio.

El Servicio Nacional de Meteorología e Hidrología (SENAMHI) clasifica las observaciones del viento en una estación de la cordillera Real según dos variables simultáneas: la dirección, que toma uno de los $8$ rumbos principales (N, NE, E, SE, S, SO, O, NO), y la fuerza, categorizada en $3$ niveles (flojo, moderado, fuerte).

1. a) Cada día se registran tres mediciones independientes: a las 08:00 h, a las 14:00 h y a las 20:00 h. Un «informe diario» consiste en la terna ordenada de estas tres mediciones completas (dirección y fuerza en cada una). Aplica el principio de la multiplicación para calcular cuántos informes diarios distintos pueden llegar a registrarse en teoría.
2. b) Una investigadora afirma: «Si analizamos únicamente la medición de las 14:00 h a lo largo de un año bisiesto ($366$ días), es matemáticamente seguro que habrá al menos una combinación de dirección y fuerza que se habrá repetido un mínimo de $16$ veces». Justifica formalmente si esta afirmación es verdadera o falsa utilizando el principio del palomar (identificando con claridad cuáles son los objetos o palomas y cuáles los grupos o palomares).
3. c) ¿Cuál es el número mínimo de días que deberían registrarse las mediciones de las 14:00 h para garantizar con total certeza matemática que alguna combinación se ha repetido al menos $20$ veces? Justifica tu respuesta.

Dibuja el diagrama de árbol para el experimento que consiste en lanzar una moneda regular y, a continuación, lanzar un dado con forma de tetraedro (con sus caras numeradas del $1$ al $4$). ¿Cuántos resultados posibles tiene este experimento compuesto?

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Para ir de la ciudad A a la ciudad B hay $3$ carreteras distintas, y para ir de la ciudad B a la ciudad C hay $2$ carreteras distintas.

• ¿De cuántas formas se puede viajar de A a C pasando obligatoriamente por B?

• Dibuja el diagrama de árbol correspondiente a este viaje.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Dos equipos de básquetbol, Alfa y Beta, juegan una eliminatoria al mejor de $3$ partidos (el primero que consiga ganar $2$ partidos se clasifica). Los empates no son posibles. Dibuja el diagrama de árbol con todos los desarrollos posibles de la eliminatoria. ¿De cuántas formas distintas puede transcurrir la serie de partidos?

En una urna hay $3$ bolas rojas y $2$ bolas azules. Se extraen dos bolas consecutivamente y sin devolverlas a la urna (sin reemplazamiento). Dibuja el diagrama de árbol del experimento y calcula cuántos resultados distintos se pueden obtener si tenemos en cuenta el orden de extracción y el color de las bolas.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Dos amigos, Ionut y Diana, juegan a un juego de mesa compuesto por varias rondas. El ganador final del juego será el primero que logre ganar $2$ rondas consecutivas o bien $3$ rondas en total a lo largo de la partida. Sabiendo que los empates no son posibles en ninguna ronda, dibuja el diagrama de árbol correspondiente y determina el número máximo de rondas que pueden llegar a jugar y cuántos desarrollos distintos tiene el juego.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Utilizando únicamente los dígitos del conjunto $\{1, 2, 3, 4, 5\}$:

• ¿Cuántos números de $4$ cifras distintas se pueden formar?

• ¿Cuántos de esos números formados son pares?

Un examen tipo test consta de $10$ preguntas. Cada pregunta tiene $4$ opciones de respuesta, de las cuales solo una es correcta.

• ¿De cuántas formas diferentes se puede contestar el examen si es obligatorio marcar una opción en todas las preguntas?

• ¿De cuántas formas se podría contestar si se permite dejar preguntas en blanco?

Observa la cuadrícula de la figura. Un robot se desplaza desde el punto A hasta el punto B moviéndose únicamente hacia la derecha o hacia arriba a través de las líneas de la cuadrícula. ¿Cuántos caminos diferentes puede tomar el robot para llegar a su destino?

Se quiere diseñar una bandera con $3$ franjas verticales utilizando una paleta de $5$ colores disponibles.

• ¿De cuántas formas se puede colorear si dos franjas adyacentes no pueden tener el mismo color?

• ¿De cuántas formas se puede colorear si, además de la condición anterior, la primera y la última franja también deben ser obligatoriamente de colores distintos?

En el sistema de numeración decimal, consideramos todos los números enteros comprendidos entre el $1000$ y el $9999$ (ambos inclusive). ¿Cuántos de estos números contienen la cifra $7$ al menos una vez en su escritura?

En una clase de $20$ alumnos se debe elegir un equipo directivo formado por un presidente, un vicepresidente y un secretario (cargos distintos que no puede ocupar la misma persona simultáneamente). Una vez elegido el equipo directivo, se debe escoger a un delegado de deportes entre los $17$ alumnos restantes. ¿De cuántas formas diferentes se puede realizar todo este proceso de selección?

Un número capicúa es aquel que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda (por ejemplo, el número $35153$).

• ¿Cuántos números capicúas de $5$ cifras existen en total?

• ¿Cuántos de esos números capicúas de $5$ cifras son números pares?

Para proteger una bicicleta en el colegio, se utiliza un candado de combinación de $3$ ruedas giratorias, cada una con los dígitos del $0$ al $9$. El dueño establece que la clave no puede empezar por $0$ y que las tres cifras deben ser distintas entre sí.

1. a) Antes de realizar cualquier cálculo exacto, estima de forma intuitiva si el número total de claves posibles será menor de $300$, estará entre $300$ y $700$, o será mayor de $700$. Justifica brevemente en qué basas tu intuición inicial.
2. b) Modela la situación mediante el principio de la multiplicación y calcula el número exacto de claves distintas que cumplen esas condiciones.
3. c) Comprueba si tu estimación inicial fue acertada y reflexiona sobre cómo cambia el resultado si se permitiese repetir dígitos (manteniendo el primer dígito distinto de $0$).

Calcula el valor de las siguientes expresiones numéricas utilizando las propiedades de los factoriales:

• $\frac{8!}{6!}$

• $4! + 3!$

Expresa los siguientes productos utilizando la notación matemática de factorial:

• $15 \cdot 14 \cdot 13$

• $7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$

Simplifica la expresión algebraica $\frac{(x+2)!}{x!}$ y, a continuación, resuelve la ecuación $\frac{(x+2)!}{x!} = 72$.

Resuelve la siguiente ecuación con factoriales, sabiendo que $n$ es un número natural:

Demuestra algebraicamente la siguiente identidad válida para cualquier número natural $n \ge 1$:

Una vez demostrada, aplica este resultado para simplificar y calcular el valor exacto de la expresión $\frac{10! + 9!}{11!}$.

En un club de lectura juvenil quieren asignar a cada socio un carné con un código personalizado. El código se compone siempre de una vocal mayúscula (elegida entre el conjunto $\{A, E, I, O, U\}$) seguida de una secuencia de $k$ dígitos impares distintos (elegidos del conjunto $\{1, 3, 5, 7, 9\}$).

La persona encargada de la base de datos observa que, con las condiciones fijadas, se pueden generar exactamente $300$ códigos diferentes.

1. a) Plantea una expresión general en función de $k$ para el número total de códigos posibles aplicando el principio de la multiplicación.
2. b) Resuelve el problema inverso: determina de forma razonada cuántos dígitos impares ($k$) debe contener cada código para obtener exactamente esos $300$ códigos.

En el cajón de una cómoda hay calcetines sueltos de $3$ colores distintos (negros, blancos y azules). Si hay un apagón y sacas calcetines a oscuras, ¿cuál es el número mínimo de calcetines que debes extraer para asegurarte de tener al menos un par del mismo color?

En un colegio hay $400$ estudiantes matriculados.

• Justifica matemáticamente por qué puedes asegurar que al menos dos alumnos cumplen años el mismo día del año.

• ¿Cuántos alumnos se necesitarían como mínimo en el colegio para garantizar que al menos tres de ellos comparten fecha de cumpleaños? (Considera años no bisiestos de $365$ días).

Se eligen al azar $5$ puntos en el interior de un cuadrado de lado $2\text{ cm}$. Demuestra, utilizando el principio del palomar, que siempre habrá al menos dos puntos cuya distancia entre ellos sea menor o igual a $\sqrt{2}\text{ cm}$. (Pista: divide el cuadrado en regiones estratégicas).

En el servicio de emergencias de un hospital de provincia deben cubrirse las guardias del fin de semana asignando a un médico para el sábado y a otro diferente para el domingo, elegidos entre un equipo de $6$ profesionales disponibles: Ana, Blas, Clara, David, Elena y Félix. Por motivos de descanso tras una intervención previa, Ana y Blas no pueden coincidir en el mismo fin de semana (es decir, no puede ocurrir que uno haga guardia el sábado y el otro el domingo).

Para calcular el número de turnos válidos posibles, dos residentes sugieren estrategias distintas:

• Estrategia A (Recuento directo por casos): Sumar las opciones en las que no participa ninguno de los dos médicos incompatibles y las opciones en las que participa exactamente uno de ellos.

• Estrategia B (Recuento por complementario): Calcular todas las asignaciones posibles de médicos distintos para sábado y domingo sin restricciones y restar los casos prohibidos en los que coinciden Ana y Blas.

1. a) Desarrolla detalladamente los cálculos paso a paso siguiendo la Estrategia A y después siguiendo la Estrategia B, comprobando que ambos caminos conducen al mismo resultado numérico.
2. b) Compara ambos procedimientos y justifica cuál de los dos resulta más ventajoso y menos propenso a errores si el equipo estuviese compuesto por $25$ médicos en lugar de $6$, manteniendo la misma restricción entre Ana y Blas.