Logaritmos

Calcula el valor de los siguientes logaritmos aplicando directamente la definición:

• $\log_2 64$

• $\log_3 \frac{1}{9}$

• $\log_{10} 0,001$

• $\log_5 \sqrt{5}$

Halla el valor de la incógnita $x$ en cada caso utilizando la definición de logaritmo:

• $\log_x 81 = 4$

• $\log_2 x = 5$

• $\log_7 x = -2$

La gráfica de una función logarítmica de la forma $f(x) = \log_a (x + b)$ pasa por el origen de coordenadas $(0,0)$ y por el punto $(6, 1)$.

1. a) Determina de forma razonada los valores exactos de los parámetros $a$ y $b$.
2. b) A partir de los valores hallados, indica el dominio de definición de la función y la ecuación de su asíntota vertical.
3. c) Plantea y resuelve la ecuación necesaria para calcular el valor de $x$ que cumple $f(x) = 3$.

Sabiendo que $\log 2 \approx 0,301$ y $\log 3 \approx 0,477$, calcula el valor numérico aproximado de $\log 6$ y $\log 1,5$ utilizando las propiedades de los logaritmos.

Reduce a un solo logaritmo la siguiente expresión matemática y calcula su valor numérico:

$\log 5 + \log 20 - \log 10$

Aplica las propiedades de los logaritmos a la inversa para expresar la siguiente combinación como un único logaritmo:

$3 \log x + \frac{1}{2} \log y$

Desarrolla la siguiente expresión logarítmica aplicando todas las propiedades posibles, de manera que quede expresada en función de $\log x$, $\log y$ y $\log z$:

$\log \left( \frac{x^3 \cdot \sqrt{y}}{z^2} \right)$

Agrupa la siguiente expresión algebraica en un único logaritmo, aplicando las propiedades correspondientes:

$2 \log a - 3 \log b + \log c - \frac{1}{3} \log d$

Sabiendo exclusivamente que $\log 2 \approx 0,301$, calcula el valor aproximado de $\log 25$ y de $\log \sqrt[3]{0,02}$ sin introducir la operación directa en la calculadora, apoyándote solo en las propiedades de los logaritmos.

Utiliza la fórmula del cambio de base para calcular el valor de $\log_5 120$ empleando únicamente la tecla del logaritmo decimal ($\log$) o neperiano ($\ln$) de tu calculadora. Redondea el resultado a tres cifras decimales.

Sin utilizar la calculadora en el primer paso, acota el valor de $\log_3 50$ entre dos números enteros consecutivos justificando tu respuesta a partir de las potencias de la base $3$. A continuación, utiliza la fórmula del cambio de base y la calculadora para obtener su valor aproximado redondeado a dos cifras decimales. Por último, comprueba si el resultado numérico es coherente con tu estimación inicial y razona si dicho valor se encuentra más cerca del extremo inferior o del superior del intervalo que habías deducido.

Para resolver la ecuación $\log_2 x + \log_4 x = 6$, dos estudiantes proponen estrategias diferentes:

• Método de Alejandro: Expresar $\log_4 x$ en base $2$ utilizando la fórmula del cambio de base y despejar $\log_2 x$.

• Método de Berta: Transformar el primer término usando la propiedad $\log_2 x = \log_4 (x^2)$ para sumar directamente los logaritmos en base $4$ mediante el logaritmo de un producto.

1. a) Desarrolla por completo la resolución siguiendo el método de Alejandro.
2. b) Demuestra formalmente que la equivalencia propuesta por Berta, $\log_2 x = \log_4 (x^2)$, es cierta para todo $x > 0$ mediante el cambio de base, y termina de resolver la ecuación con su procedimiento comprobando que llegas a la misma solución.
3. c) Compara ambos caminos: ¿cuál de los dos métodos consideras más seguro frente a posibles errores de dominio o manipulación algebraica? Justifica tu respuesta.

Simplifica la siguiente expresión logarítmica combinada y calcula su valor numérico exacto sin utilizar la calculadora:

$\frac{\log_2 8 + \log_3 81 - \log 1000}{\log_5 125 \cdot \log_4 \sqrt{4}}$

Demuestra, utilizando la fórmula del cambio de base y las propiedades fundamentales de los logaritmos, que $\log_a b \cdot \log_b a = 1$ para cualesquiera números $a, b > 0$ y distintos de $1$. Una vez demostrado, aplica este resultado para calcular mentalmente el valor de $\log_8 2$ sabiendo previamente que $\log_2 8 = 3$.

Calcula el valor de $x$ en la ecuación exponencial $3^x = 45$. Expresa el resultado final redondeado a las centésimas (puedes hacer uso de la calculadora para el paso final).

Resuelve la ecuación logarítmica $\log_3 (2x + 5) = 2$ aplicando la definición de logaritmo para despejar la incógnita $x$.

Una población de bacterias se duplica cada hora que pasa. Si inicialmente hay $1500$ bacterias, la cantidad de bacterias al cabo de $t$ horas viene dada por la función $P(t) = 1500 \cdot 2^t$. ¿Cuánto tiempo exacto debe pasar para que la población alcance la cifra de $100000$ bacterias?

Un vehículo nuevo tiene un costo inicial de $168\,000$ bolivianos. Debido al desgaste del mercado, cada año su valor se deprecia un $12\,\%$. La función que describe su valor residual al cabo de $t$ años es $V(t) = 168\,000 \cdot (0,88)^t$. ¿Cuántos años deben pasar para que el valor del auto se reduzca exactamente a la mitad de su precio original?

Resuelve la ecuación exponencial $5^{x+1} = 2^{3x-2}$ tomando logaritmos decimales en ambos miembros y despejando la incógnita $x$. Expresa el resultado final redondeado a las milésimas.

En una conocida red social, el número de seguidores de una cuenta de contenido viral crece siguiendo un modelo exponencial $S(t) = S_0 \cdot k^t$, donde $t$ se mide en días. Se sabe que el día inicial ($t = 0$) la cuenta tenía $200$ seguidores y el día $5$ alcanzó los $6400$ seguidores. Calcula primero el valor exacto de la constante de crecimiento $k$. A continuación, determina en qué día exacto superará la barrera del millón de seguidores.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones logarítmicas, hallando los valores de $x$ e $y$:

El pH de una disolución química se define mediante la fórmula $pH = -\log [H^+]$, donde $[H^+]$ representa la concentración de iones de hidrógeno medida en mol/L. Si una muestra de jugo de limón tiene una concentración de iones de hidrógeno de $10^{-3}$ mol/L, ¿cuál es el valor de su pH?

La normativa de protección contra la contaminación acústica de un municipio boliviano fija en $30\text{ dB}$ el límite máximo permitido en el interior de un dormitorio durante el periodo nocturno. La relación entre el nivel de presión sonora $L$ (en decibelios, $\text{dB}$) y la intensidad física del sonido $I$ (en $\text{W/m}^2$) viene dada por:

donde $I_0 = 10^{-12}\text{ W/m}^2$ es el umbral de audición humano.

1. a) Calcula la intensidad física $I$ que corresponde exactamente al límite legal de $30\text{ dB}$.
2. b) Durante unas obras de urgencia en la calle se miden en el dormitorio $50\text{ dB}$. Un vecino afirma que el sonido es «menos del doble de intenso» porque $50$ no llega a ser el doble de $30$. Rebate matemáticamente su afirmación calculando cuántas veces es más intensa la onda sonora de las obras en comparación con el límite legal de la ordenanza.

El Observatorio San Calixto registró una serie sísmica en el sur de Bolivia en la que destacaron dos movimientos de tierra: el sismo principal $T_1$, de magnitud $M_1 = 4{,}4$, y una réplica posterior $T_2$, de magnitud $M_2 = 3{,}1$. La magnitud en la escala de Richter se define como $M = \log\left(\frac{A}{A_0}\right)$, donde $A$ es la amplitud máxima registrada por el sismógrafo y $A_0$ es una amplitud de calibración.

1. a) Demuestra, aplicando propiedades de los logaritmos, que el cociente entre las amplitudes de ambos terremotos viene dado por $\frac{A_1}{A_2} = 10^{M_1 - M_2}$, sin necesidad de conocer el valor de $A_0$.
2. b) Calcula cuántas veces fue mayor la amplitud del movimiento de suelo de $T_1$ respecto a la de $T_2$.
3. c) Un tercer sismo $T_3$ produjo una amplitud de onda exactamente el triple de la amplitud de $T_1$ ($A_3 = 3 \cdot A_1$). Sabiendo que $\log 3 \approx 0{,}477$, calcula la magnitud exacta $M_3$ de este tercer temblor y razona por qué triplicar la amplitud física del sismo no equivale en absoluto a triplicar su magnitud en la escala Richter.

Reto del tema. ¿Cómo se mide la energía de un sismo? Analiza la relación no lineal entre magnitud y energía con datos oficiales.

1. Búsqueda de datos: Entra en el catálogo de sismos del Observatorio San Calixto y anota tres sismos recientes en Bolivia con magnitudes aproximadas $M_1 \approx 2,0$, $M_2 \approx 3,5$ y $M_3 \ge 4,5$.

2. Álgebra y notación: La energía liberada (en joules) responde a $E = 10^{4,8} \cdot 10^{1,5M}$. Expresa $10^{1,5M}$ como radical usando potencias de exponente racional ($\sqrt{10^{3M}}$). Emplea las propiedades de las potencias para calcular $E$ en notación científica para tus tres valores y determina cuántas veces es más energético $M_3$ que $M_1$.

3. Modelización digital: Despeja $M$ para obtener la función logarítmica $M(E) = \frac{2}{3}(\log E - 4,8)$. Representa en GeoGebra esta función y su inversa (radical o potencia fraccionaria).

4. Informe final: Redacta un documento breve (una página) que incluya la tabla de datos del Observatorio San Calixto, los cálculos, el gráfico y una explicación de por qué aumentos decimales de magnitud multiplican drásticamente la energía destructiva.

Se valorará:

• Obtención rigurosa de datos reales del Observatorio San Calixto y cálculo correcto de la energía en notación científica.

• Manejo algebraico preciso entre exponentes enteros, racionales, radicales y logaritmos.

• Representación e interpretación gráfica adecuada del modelo en GeoGebra.

La magnitud de un terremoto en la escala de Richter se calcula mediante la fórmula $M = \log \left( \frac{A}{A_0} \right)$, donde $A$ es la amplitud máxima de las ondas sísmicas y $A_0$ es una amplitud de referencia estándar. Si un terremoto concreto registra una amplitud $1000$ veces mayor que $A_0$, ¿cuál es su magnitud en la escala de Richter? Además, determina cuántas veces mayor es la amplitud de un terremoto de magnitud $6$ respecto a uno de magnitud $4$.

Un capital de $35\,000$ bolivianos se deposita en un banco a un interés compuesto del $3,5\,\%$ anual. ¿Cuántos años completos deben transcurrir para que el capital acumulado supere los $49\,000$ bolivianos?

Recuerda que la fórmula del capital final es $C_f = C_i \cdot \left(1 + \frac{r}{100}\right)^t$.

El nivel de intensidad sonora, medido en decibelios (dB), se calcula con la fórmula física $L = 10 \cdot \log \left( \frac{I}{I_0} \right)$, donde $I$ es la intensidad del sonido en $\text{W/m}^2$ e $I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2$ representa el umbral mínimo de audición humana. Si el ruido del tráfico intenso en una avenida registra un nivel de $85$ dB, ¿cuál es su intensidad acústica $I$? Si una taladradora de obra emite con el doble de intensidad acústica que dicho tráfico, ¿cuántos decibelios exactos registrará el sonómetro?

La cantidad de Carbono-14 ($C-14$) en un resto arqueológico orgánico sigue la ley de desintegración radiactiva $N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$, donde la constante de desintegración es $\lambda \approx 0,0001209$ y $t$ es el tiempo transcurrido en años. Si en un fragmento de hueso prehistórico se detecta mediante análisis de laboratorio que solo queda un $30\,\%$ de su cantidad original de $C-14$ (es decir, $N(t) = 0,30 \cdot N_0$), ¿cuál es la antigüedad estimada del hueso?

El siguiente gráfico representa el crecimiento poblacional de dos colonias de bacterias, A y B, en un laboratorio. La escala del eje vertical (que indica el número de bacterias $N(t)$) es logarítmica en base 10, mientras que el eje horizontal (tiempo en horas) es de escala lineal. Observando la recta que describe el comportamiento de la colonia A, halla su función exponencial asociada $N(t) = N_0 \cdot 10^{k \cdot t}$, sabiendo que pasa exactamente por los puntos $(0, 10^2)$ y $(4, 10^4)$. ¿En qué instante $t$ la colonia A alcanzará exactamente el millón de bacterias ($10^6$)?