Sistemas de ecuaciones no lineales

Resuelve el sistema formado por una ecuación lineal y una cuadrática:

$x - y = 2$

$x^2 + y^2 = 34$

Resuelve el siguiente sistema:

$x^2 - y^2 = 16$

$x + y = 8$

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineales:

$x^2 - x \cdot y + y^2 = 7$

$x + y = 5$

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineales:

$y = x^2 - 4x$

$y = x - 6$

Queremos diseñar un sistema de ecuaciones no lineales formado por una parábola vertical de la forma $y = x^2 + b$ y una recta de la forma $y = m\cdot x + n$.

1. a) Halla los valores de los parámetros $b$, $m$ y $n$ para que las únicas soluciones del sistema sean exactamente los puntos $(0, 2)$ y $(3, 11)$. Justifica cómo deduces cada valor a partir de las coordenadas dadas.
2. b) Escribe el sistema completo resultante y comprueba algebraicamente, resolviéndolo por igualación, que no existe ningún otro punto de corte entre ambas figuras.

En un sistema de posicionamiento y guiado de drones, un dron de vigilancia describe una trayectoria parabólica dada por la ecuación $y = x^2 - 4\cdot x + 7$, mientras que un haz de luz de balizamiento se emite en línea recta siguiendo la ecuación $y = 2\cdot x + k$, donde $k$ es un parámetro real que se puede regular variando la inclinación del emisor.

1. a) Plantea el sistema de ecuaciones formado por ambas trayectorias e iguala las expresiones para obtener una ecuación de segundo grado de la forma $a\cdot x^2 + b\cdot x + c = 0$ dependiente de $k$.
2. b) Sin dar valores al azar a $k$, utiliza el discriminante ($\Delta = b^2 - 4\cdot a\cdot c$) para determinar analíticamente qué condición debe cumplir $k$ para que:

• El haz de luz corte a la trayectoria del dron en dos puntos distintos.

• El haz de luz no alcance en ningún momento la trayectoria del dron.

• El haz de luz sea tangente a la trayectoria del dron (un único punto de contacto).

1. c) Para el valor de $k$ que produce tangencia, calcula las coordenadas exactas del punto de contacto $(x, y)$ y explica qué significado geométrico tiene que la ecuación cuadrática asociada posea una raíz doble.

Encuentra la solución del sistema:

$x + y = 7$

$x \cdot y = 12$

La suma de los cuadrados de dos números es $25$, y uno de ellos es $1$ unidad menor que el otro. Plantea un sistema de ecuaciones y encuentra los números.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones simétrico:

$x^2 + y^2 = 25$

$x \cdot y = 12$

Encuentra la solución del sistema:

$\frac{x}{y} = 3$

$x^2 - y^2 = 32$

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 4$

$x \cdot y = 18$

Resuelve el siguiente sistema que contiene una ecuación irracional:

$x + y = 10$

$\sqrt{x} - y = -4$

El área de una alfombra rectangular es de $6 \text{ m}^2$ y su perímetro mide $10 \text{ m}$. Plantea un sistema de ecuaciones no lineales y calcula las dimensiones de la alfombra.

El área de un rombo es de $24 \text{ cm}^2$ y la suma de las longitudes de sus diagonales es $14 \text{ cm}$. Determina la longitud de ambas diagonales planteando un sistema de ecuaciones.

En un colegio de Educación Secundaria Comunitaria Productiva del departamento de Santa Cruz se va a cercar un huerto escolar rectangular aprovechando un muro ya existente de $20\text{ m}$ de longitud, de modo que dicho muro sirve como uno de los lados y no necesita cerco. Con una partida presupuestaria se han comprado exactamente $28\text{ m}$ de malla metálica para cercar los otros tres lados (dos lados perpendiculares al muro, de longitud $x$, y un lado paralelo al muro, de longitud $y$). El departamento de Biología y Geología requiere que la superficie total de cultivo sea de $96\text{ m}^2$.

1. a) Antes de plantear el sistema, realiza una estimación razonada: sabiendo que el lado $y$ no puede medir más de los $20\text{ m}$ del muro disponible, ¿es posible que el lado $x$ mida menos de $4\text{ m}$ o más de $11\text{ m}$? Argumenta tu respuesta analizando conjuntamente el cerco disponible y el área requerida.
2. b) Plantea el sistema de ecuaciones no lineales (perímetro y área) y resuélvelo por sustitución.
3. c) Comprueba si las soluciones matemáticas obtenidas son coherentes con tu estimación inicial y determina las dimensiones reales que puede tener el huerto teniendo en cuenta la limitación física del muro.

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide $13 \text{ cm}$. Se sabe que uno de los catetos mide $7 \text{ cm}$ más que el otro. Plantea un sistema de ecuaciones no lineales para calcular la longitud de los dos catetos.

En un parque se va a construir una zona de juegos rectangular rodeada por un camino de césped artificial de $1 \text{ m}$ de ancho en todo su perímetro. El área de la zona de juegos debe ser de $48 \text{ m}^2$ y el área total (zona de juegos más camino) debe ser de $96 \text{ m}^2$. Plantea un sistema de ecuaciones para hallar las dimensiones de la zona de juegos.

Un alambre de $40 \text{ cm}$ de longitud se corta en dos trozos. Con uno de los trozos se forma un cuadrado y con el otro se forma un rectángulo cuya base es el doble que su altura. Si la suma de las áreas de ambas figuras es de $48 \text{ cm}^2$, ¿cuánto mide cada trozo de alambre?

El producto de dos números enteros positivos es $156$ y uno de ellos es el consecutivo del otro. Plantea un sistema de ecuaciones y encuentra dichos números.

Un grupo de estudiantes compra un regalo para un compañero por $840$ bolivianos, a pagar a partes iguales. A última hora se unen $2$ estudiantes más, lo que hace que cada uno de los iniciales ponga $21$ bolivianos menos. ¿Cuántos estudiantes había al principio y cuánto pagaba cada uno?

Una agencia de viajes organiza una excursión por un costo total de $4\,200$ bolivianos. Poco antes de salir, $5$ personas cancelan su viaje, lo que obliga a los demás a pagar $28$ bolivianos más cada uno para cubrir el costo total. ¿Cuántas personas fueron finalmente a la excursión y cuánto pagó cada una?

La suma de dos números es $15$ y la suma de sus inversos es $\frac{5}{18}$. Plantea un sistema de ecuaciones y encuentra los números.

Una parcela rectangular tiene un área de $600 \text{ m}^2$. Si se reduce su largo en $5 \text{ m}$ y se aumenta su ancho en $5 \text{ m}$, el área sigue siendo la misma. Calcula las dimensiones originales de la parcela.

El producto de las edades de dos hermanos es $96$. Dentro de $4$ años, el producto de sus edades será $192$. ¿Cuáles son sus edades actuales?

Un número está formado por dos cifras. El producto de dichas cifras es $18$. Si a ese número se le restan $27$ unidades, se obtiene otro número con las mismas cifras pero en orden inverso. ¿Cuál es el número original? (Recuerda que un número de dos cifras $xy$ se expresa algebraicamente como $10x + y$).

Un ciclista recorre una distancia de $120 \text{ km}$ a velocidad constante. Si hubiera viajado $5 \text{ km/h}$ más rápido, habría tardado $2$ horas menos en completar el mismo recorrido. Plantea un sistema de ecuaciones para calcular la velocidad del ciclista y el tiempo que tardó.

Un envase cilíndrico cerrado tiene un área total (área lateral más las dos bases) de $150\pi \text{ cm}^2$. Se sabe además que la suma del radio de la base y la altura del cilindro es de $15 \text{ cm}$. Calcula el radio y la altura del envase. (Recuerda que el área total de un cilindro es $A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$).