Forma polar y trigonométrica de un número complejo
En un videojuego hecho por estudiantes de El Alto, un personaje está a 3 unidades del centro de la pantalla y hay que girarlo $60^\circ$ alrededor de ese centro. Con coordenadas cartesianas $(a; b)$ tendrías que usar senos y cosenos del ángulo. ¿Habrá una forma de escribir el punto que convierta el giro en una simple suma de ángulos? Sí: describir el afijo de un complejo con su distancia al origen y su ángulo. Al final de la página volvemos al personaje.
Módulo y argumento: las coordenadas polares de $z$
Hasta ahora ubicabas el afijo de $z = a + bi$ con el par $(a; b)$. También puedes ubicarlo con su distancia al origen y el ángulo que forma con el semieje real positivo: son las coordenadas polares.
Argumentos equivalentes
Sumar o restar vueltas completas ($360^\circ$) deja el vector en el mismo lugar. Entonces, para $r, s > 0$: $r_\alpha = s_\beta$ si y solo si $r = s$ y $\alpha = \beta + 360^\circ k$ con $k$ entero. Por eso el argumento se suele dar entre $0^\circ$ y $360^\circ$: así cada complejo no nulo tiene una única forma polar «estándar».
Expresa el número complejo $z = 3 + 3\sqrt{3}i$ en forma polar y en forma trigonométrica.
Expresa el número complejo $z = 3 + 3\sqrt{3}i$ en forma polar y en forma trigonométrica.
Observa la representación en el plano complejo del vector que define a $z$. Determina su módulo y su argumento, y escribe su expresión en forma polar y trigonométrica.
Observa la representación en el plano complejo del vector que define a $z$. Determina su módulo y su argumento, y escribe su expresión en forma polar y trigonométrica.
Marcos tiene que pasar el número complejo $z = -2 + 2\sqrt{3}i$ a forma polar. En su examen escribe: «…
Marcos tiene que pasar el número complejo $z = -2 + 2\sqrt{3}i$ a forma polar. En su examen escribe:
«$r = \sqrt{(-2)^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$.
$\alpha = \arctan\left(\frac{2\sqrt{3}}{-2}\right) = \arctan(-\sqrt{3}) = -60^\circ = 300^\circ$.
Por tanto, $z = 4_{300^\circ}$».
Identifica el error conceptual que ha cometido Marcos al determinar el argumento, explica analizando los signos de la parte real y de la parte imaginaria en qué cuadrante debe situarse el afijo de $z$ y escribe la forma polar correcta con su argumento principal en el intervalo $[0^\circ, 360^\circ)$.
De polar a binómica: forma trigonométrica
Si tienes $r$ y $\alpha$, recuperar $a$ y $b$ es trigonometría del triángulo rectángulo: el cateto adyacente es $a = r\cos\alpha$ y el opuesto es $b = r\,\operatorname{sen}\alpha$.
Dado el número complejo en forma polar $z = 4_{120^\circ}$, determina su expresión en forma binómica.
Dado el número complejo en forma polar $z = 4_{120^\circ}$, determina su expresión en forma binómica.
Un brazo robótico articulado consta de dos segmentos. El primer segmento se representa en el plano complejo por el vector $z_1 = 5_{60^\circ}$. El segundo segmento,…
Un brazo robótico articulado consta de dos segmentos. El primer segmento se representa en el plano complejo por el vector $z_1 = 5_{60^\circ}$. El segundo segmento, $z_2$, tiene una longitud de $3$ unidades y está rotado $45^\circ$ en sentido antihorario respecto a la dirección de $z_1$. Calcula la posición final del extremo del brazo robótico (es decir, $z_1 + z_2$) en forma binómica, redondeando a dos decimales.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Una boya oceanográfica de Puertos del Estado fondeada frente a la costa gallega registra la acción combinada del viento y la corriente marina para los modelos de…
Una boya oceanográfica de Puertos del Estado fondeada frente a la costa gallega registra la acción combinada del viento y la corriente marina para los modelos de predicción de AEMET. La fuerza sobre el sensor se modeliza en el plano complejo, donde el semieje real positivo apunta hacia el Este y el semieje imaginario positivo apunta hacia el Norte (las fuerzas se expresan en kilonewtons, $\text{kN}$).
El sensor detecta una fuerza debida a la corriente de $F_1 = 3\sqrt{3} - 3i\text{ kN}$. Simultáneamente, una racha de viento introduce una segunda fuerza $F_2$ cuyo módulo es de $6\text{ kN}$ y cuyo afijo forma un ángulo de $150^\circ$ en sentido antihorario respecto al vector de la corriente $F_1$.
- a) Determina el módulo y el argumento principal de $F_1$ para expresar esta fuerza en forma polar e indica en qué cuadrante geográfico actúa la corriente marina.
- b) Deduce la forma polar de la fuerza del viento $F_2$ en el sistema general del plano complejo y halla su expresión en forma binómica exacta.
- c) Calcula la fuerza neta $F_{\text{total}} = F_1 + F_2$ en forma binómica, exprésala en forma polar e interpreta físicamente el resultado: ¿con qué intensidad total y en qué dirección geográfica neta empuja el agua a la boya?
Conjugado y opuesto en forma polar
En binómica, conjugar cambia el signo de $b$, y el opuesto cambia los dos signos. En polar se ve en el ángulo: conjugar refleja el vector respecto del eje real, y el opuesto lo gira media vuelta.
Halla el conjugado y el opuesto del número complejo $z = 6_{45^\circ}$. Expresa ambos resultados en forma polar con argumentos positivos comprendidos entre $0^\circ$ y…
Halla el conjugado y el opuesto del número complejo $z = 6_{45^\circ}$. Expresa ambos resultados en forma polar con argumentos positivos comprendidos entre $0^\circ$ y $360^\circ$.
Se busca un número complejo $z$ cuyo afijo se sitúa en el cuarto cuadrante y cuya distancia al origen de coordenadas es igual a $6$. Se sabe que su conjugado, $\bar{z}$,…
Se busca un número complejo $z$ cuyo afijo se sitúa en el cuarto cuadrante y cuya distancia al origen de coordenadas es igual a $6$. Se sabe que su conjugado, $\bar{z}$, cumple que su parte real es exactamente la mitad de su módulo ($a = r/2$). Determina razonadamente el argumento de $\bar{z}$, deduce la forma polar de $z$ con su argumento en el intervalo $[0^\circ, 360^\circ)$ y halla la forma binómica exacta de su opuesto, $-z$.
Para calcular la forma binómica del opuesto del conjugado del número complejo $z = 4_{150^\circ}$, es decir, $-\bar{z}$, dos estudiantes debaten sobre qué estrategia es…
Para calcular la forma binómica del opuesto del conjugado del número complejo $z = 4_{150^\circ}$, es decir, $-\bar{z}$, dos estudiantes debaten sobre qué estrategia es más conveniente:
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Método 1 (vía binómica): convertir primero $z = 4_{150^\circ}$ a forma binómica usando $a = r\cos\alpha$ y $b = r\sin\alpha$, calcular después su conjugado $\bar{z} = a - bi$, y finalmente cambiar el signo de ambas componentes para obtener $-\bar{z}$.
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Método 2 (vía polar): calcular directamente el argumento de $-\bar{z}$ utilizando las propiedades del argumento del conjugado ($\arg(\bar{z}) = -\alpha$) y del opuesto ($\arg(-w) = \arg(w) + 180^\circ$), simplificar el ángulo resultante en $[0^\circ, 360^\circ)$ sabiendo que el módulo no varía, y pasar únicamente a forma binómica el resultado final.
Aplica ambos métodos paso a paso para hallar $-\bar{z}$ en forma binómica y argumenta cuál de los dos caminos minimiza el riesgo de cometer errores de cálculo con los signos y las razones trigonométricas.
Producto, cociente e inverso
La gran ventaja de la forma polar: multiplicar y dividir se vuelve muy simple.
¿Por qué? Multiplicando en forma trigonométrica:
$r(\cos\alpha + i\,\operatorname{sen}\alpha) \cdot s(\cos\beta + i\,\operatorname{sen}\beta) = rs\,[(\cos\alpha\cos\beta - \operatorname{sen}\alpha\,\operatorname{sen}\beta) + i(\operatorname{sen}\alpha\cos\beta + \cos\alpha\,\operatorname{sen}\beta)]$
y las fórmulas del seno y del coseno de una suma convierten los paréntesis en $\cos(\alpha + \beta)$ y $\operatorname{sen}(\alpha + \beta)$. El cociente sale de que dividir es multiplicar por el inverso.
Multiplicar por $1_\theta$ no cambia el módulo y suma $\theta$ al argumento: es un giro de $\theta$ alrededor del origen en sentido antihorario. También sirve para ubicar vectores consecutivos: si un segmento está girado $\theta$ respecto de otro, su argumento es el del otro más $\theta$.
Calcula el producto de los números complejos $z_1 = 2_{30^\circ}$ y $z_2 = 5_{45^\circ}$. Expresa el resultado en forma polar.
Calcula el producto de los números complejos $z_1 = 2_{30^\circ}$ y $z_2 = 5_{45^\circ}$. Expresa el resultado en forma polar.
Realiza la división de los números complejos $z_1 = 12_{150^\circ}$ y $z_2 = 3_{60^\circ}$. Expresa el resultado final en forma trigonométrica.
Realiza la división de los números complejos $z_1 = 12_{150^\circ}$ y $z_2 = 3_{60^\circ}$. Expresa el resultado final en forma trigonométrica.
En un circuito de corriente alterna, el voltaje se representa mediante el número complejo $V = 220_{30^\circ}$ y la impedancia mediante $Z = 10_{-15^\circ}$. La ley de…
En un circuito de corriente alterna, el voltaje se representa mediante el número complejo $V = 220_{30^\circ}$ y la impedancia mediante $Z = 10_{-15^\circ}$. La ley de Ohm para corriente alterna establece que la intensidad es $I = \frac{V}{Z}$. Calcula la intensidad $I$ en forma polar y exprésala posteriormente en forma binómica.
En el desarrollo de un videojuego 2D, la posición de un personaje viene dada por el afijo del número complejo $z = 4 - 4i$. El motor gráfico aplica una rotación de…
En el desarrollo de un videojuego 2D, la posición de un personaje viene dada por el afijo del número complejo $z = 4 - 4i$. El motor gráfico aplica una rotación de $60^\circ$ en sentido antihorario multiplicando su posición por el complejo $w = 1_{60^\circ}$. Determina la nueva posición del personaje en forma binómica.
Halla el inverso del número complejo $z = 4_{210^\circ}$ y exprésalo en forma binómica. Comprueba que el producto de $z$ por su inverso da como resultado la unidad real.
Halla el inverso del número complejo $z = 4_{210^\circ}$ y exprésalo en forma binómica. Comprueba que el producto de $z$ por su inverso da como resultado la unidad real.
Determina el valor de $a \in \mathbb{R}$ para que el argumento del número complejo $z = \frac{a + 2i}{1 + i}$ sea de $45^\circ$.
Determina el valor de $a \in \mathbb{R}$ para que el argumento del número complejo $z = \frac{a + 2i}{1 + i}$ sea de $45^\circ$.
Encuentra dos números complejos $z_1$ y $z_2$ sabiendo que su cociente es $\frac{z_1}{z_2} = 2_{120^\circ}$ y que su producto es $z_1 \cdot z_2 = 18_{60^\circ}$. Expresa…
Encuentra dos números complejos $z_1$ y $z_2$ sabiendo que su cociente es $\frac{z_1}{z_2} = 2_{120^\circ}$ y que su producto es $z_1 \cdot z_2 = 18_{60^\circ}$. Expresa ambos números en forma polar.
Se consideran dos números complejos no nulos, $z_1 = r_\alpha$ y $z_2 = s_\beta$, con argumentos principales expresados en el intervalo $[0^\circ, 360^\circ)$. Se…
Se consideran dos números complejos no nulos, $z_1 = r_\alpha$ y $z_2 = s_\beta$, con argumentos principales expresados en el intervalo $[0^\circ, 360^\circ)$. Se dispone de la siguiente información sobre ellos:
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El producto de sus módulos es $r \cdot s = 12$ y el cociente de sus módulos $r / s$ es igual a $3$.
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El cociente $z_1 / z_2$ es un número imaginario puro con parte imaginaria estrictamente negativa.
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El afijo del opuesto de $z_2$, es decir, $-z_2$, se sitúa sobre la bisectriz del cuarto cuadrante.
- a) A partir de las propiedades del módulo y de la posición geométrica del opuesto, determina el valor exacto del módulo $s$ y del argumento $\beta$ de $z_2$.
- b) Utilizando la condición sobre el cociente $z_1 / z_2$, determina el módulo $r$ y todos los posibles argumentos principales $\alpha \in [0^\circ, 360^\circ)$ de $z_1$.
- c) Escribe las soluciones encontradas para $z_1$ y $z_2$ en forma trigonométrica exacta y comprueba analíticamente que el cociente $z_1 / z_2$ cumple todas las condiciones impuestas.
Potencias: fórmula de Moivre
Elevar a la $n$ es multiplicar $n$ veces por el mismo número: los módulos se multiplican (queda $r^n$) y los ángulos se suman $n$ veces (queda $n\alpha$).
Cuando $r = 1$ la fórmula se usa para deducir identidades trigonométricas. Por ejemplo, con $n = 2$:
$(\cos\alpha + i\,\operatorname{sen}\alpha)^2 = \cos 2\alpha + i\,\operatorname{sen} 2\alpha.$
Si desarrollas el cuadrado a la izquierda, $\cos^2\alpha - \sin^2\alpha + 2i\,\sin\alpha\cos\alpha$, e igualas partes reales e imaginarias, queda $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \operatorname{sen}^2\alpha$ y $\operatorname{sen} 2\alpha = 2\,\operatorname{sen}\alpha\cos\alpha$. Con exponente 3 se procede igual, desarrollando el cubo del binomio.
También conviene saber que las potencias de un complejo de módulo 1 se repiten: si $z = 1_{120^\circ}$, entonces $z^3 = 1_{360^\circ} = 1$, y a partir de ahí $z^4 = z$, $z^5 = z^2$, etc. Para exponentes grandes, divide el exponente entre 3 y quédate con el resto.
Aplica la fórmula de Moivre para calcular la potencia cuarta del número complejo $z = 2_{20^\circ}$. Expresa el resultado en forma polar.
Aplica la fórmula de Moivre para calcular la potencia cuarta del número complejo $z = 2_{20^\circ}$. Expresa el resultado en forma polar.
Calcula el valor de la expresión $\frac{(1 - \sqrt{3}i)^5}{(-2+2i)^3}$. Para ello, convierte previamente el numerador y el denominador a forma polar.
Calcula el valor de la expresión $\frac{(1 - \sqrt{3}i)^5}{(-2+2i)^3}$. Para ello, convierte previamente el numerador y el denominador a forma polar.
En un experimento de óptica, el desfase entre dos ondas de luz se modela multiplicando sus representaciones complejas. Si la primera onda es $z_1 = 3_{45^\circ}$ y la…
En un experimento de óptica, el desfase entre dos ondas de luz se modela multiplicando sus representaciones complejas. Si la primera onda es $z_1 = 3_{45^\circ}$ y la segunda es $z_2 = 2_{135^\circ}$, halla en forma trigonométrica el resultado de $z_1 \cdot z_2^2$.
Utiliza la fórmula de Moivre para desarrollar la expresión $(\cos \alpha + i \sin \alpha)^3$. A partir de la igualdad entre las partes reales e imaginarias, deduce las…
Utiliza la fórmula de Moivre para desarrollar la expresión $(\cos \alpha + i \sin \alpha)^3$. A partir de la igualdad entre las partes reales e imaginarias, deduce las identidades trigonométricas para $\cos(3\alpha)$ y $\sin(3\alpha)$ en función de $\cos \alpha$ y $\sin \alpha$.
Sea el número complejo $z = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$. Demuestra que $z^3 = 1$ y, a continuación, calcula el valor de la expresión…
Sea el número complejo $z = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$. Demuestra que $z^3 = 1$ y, a continuación, calcula el valor de la expresión $S = z^{2023} + z^{2024} + z^{2025}$.
Raíces n-ésimas y ecuaciones
Una raíz $n$-ésima de $w$ es un número $z$ tal que $z^n = w$. Si $z = \rho_\theta$ y $w = r_\alpha$, por Moivre debe ser $\rho^n = r$ y $n\theta = \alpha + 360^\circ k$. De ahí sale la fórmula.
¿Por qué solo $n$ valores de $k$? Para $k = n$ el ángulo aumenta en $360^\circ$ y se repite la raíz de $k = 0$.
Para resolver una ecuación del tipo $z^n = w$, pasa $w$ a polar y aplica la fórmula. Por ejemplo, $z^3 = -8$: como $-8 = 8_{180^\circ}$, las raíces tienen módulo $2$ y argumentos $60^\circ, 180^\circ, 300^\circ$. En binómica: $1 + \sqrt{3}\,i$, $-2$ y $1 - \sqrt{3}\,i$.
Si la ecuación tiene la forma de una cuadrática en $z^k$ (bicuadrática, o con $z^6$ y $z^3$), haz un cambio de variable. Por ejemplo, $z^4 + 3z^2 - 4 = 0$: con $w = z^2$ queda $w^2 + 3w - 4 = 0$, con soluciones $w = 1$ y $w = -4$. Luego resuelves $z^2 = 1$ (da $\pm 1$) y $z^2 = -4 = 4_{180^\circ}$ (da $2_{90^\circ} = 2i$ y $2_{270^\circ} = -2i$).
Calcula las raíces cuadradas del número complejo $z = 9_{80^\circ}$ y expresa los resultados en forma polar.
Calcula las raíces cuadradas del número complejo $z = 9_{80^\circ}$ y expresa los resultados en forma polar.
Halla las tres raíces cúbicas del número complejo $z = 8i$. Expresa los resultados en forma polar y justifica geométricamente la figura que forman sus afijos en el plano…
Halla las tres raíces cúbicas del número complejo $z = 8i$. Expresa los resultados en forma polar y justifica geométricamente la figura que forman sus afijos en el plano complejo.
Resuelve la ecuación $z^4 + 81 = 0$ utilizando la forma polar de los números complejos. Expresa las cuatro soluciones obtenidas en forma binómica.
Resuelve la ecuación $z^4 + 81 = 0$ utilizando la forma polar de los números complejos. Expresa las cuatro soluciones obtenidas en forma binómica.
Los vértices de un hexágono regular centrado en el origen del plano complejo corresponden a las raíces sextas de un número complejo $W$. Si uno de los vértices del…
Los vértices de un hexágono regular centrado en el origen del plano complejo corresponden a las raíces sextas de un número complejo $W$. Si uno de los vértices del hexágono es el afijo del número $z_1 = 2_{30^\circ}$, determina el valor del número complejo $W$ en forma binómica y calcula el área exacta del hexágono.
Halla todos los números complejos $z$ que satisfacen la ecuación $z^6 - 7z^3 - 8 = 0$. Expresa las soluciones en forma polar. (Pista: realiza un cambio de variable).
Halla todos los números complejos $z$ que satisfacen la ecuación $z^6 - 7z^3 - 8 = 0$. Expresa las soluciones en forma polar. (Pista: realiza un cambio de variable).
Cinco fuerzas coplanarias de igual magnitud $F = 10\text{ N}$ se aplican sobre un punto material situado en el origen. Las direcciones de estas fuerzas corresponden a…
Cinco fuerzas coplanarias de igual magnitud $F = 10\text{ N}$ se aplican sobre un punto material situado en el origen. Las direcciones de estas fuerzas corresponden a los afijos de las raíces quintas del número complejo $z = 100000_{0^\circ}$. Demuestra matemáticamente, utilizando las propiedades de los números complejos en forma polar, que la fuerza resultante es nula.
Calcula el perímetro del polígono formado por los afijos de las soluciones de la ecuación $z^4 + 2z^2 + 4 = 0$ en el plano complejo.
Calcula el perímetro del polígono formado por los afijos de las soluciones de la ecuación $z^4 + 2z^2 + 4 = 0$ en el plano complejo.
Vuelve al principio: el personaje a 3 unidades del centro, en la dirección de $10^\circ$, es $3_{10^\circ}$. Para girarlo $60^\circ$ se lo multiplica por $1_{60^\circ}$ y queda $3_{70^\circ}$: el giro es solo sumar ángulos.