Teorema de Pitágoras

Una escalera de bomberos se apoya en la fachada de un edificio. La base de la escalera está a $3\text{ m}$ de la pared y alcanza una altura de $4\text{ m}$ en la fachada. Calcula la longitud total de la escalera.

Un mástil de telecomunicaciones está sujeto por un cable tensado desde su extremo superior hasta un punto en el suelo. El cable mide $13\text{ m}$ y el mástil tiene una altura de $12\text{ m}$. Determina a qué distancia de la base del mástil está anclado el cable en el suelo.

Las dimensiones de una pantalla de computadora rectangular son $32\text{ cm}$ de ancho y $24\text{ cm}$ de alto. Calcula la longitud de su diagonal para saber el tamaño real de la pantalla.

Dos torres de $15\text{ m}$ y $20\text{ m}$ de altura están separadas por una distancia horizontal desconocida. Un pájaro vuela en línea recta desde la cima de la torre de $15\text{ m}$ hasta la base de la torre de $20\text{ m}$, recorriendo exactamente $25\text{ m}$. Calcula la distancia entre las bases de las torres. A continuación, si otro pájaro vuela en línea recta desde la cima de la torre de $20\text{ m}$ hasta la base de la torre de $15\text{ m}$, ¿qué distancia recorrerá?

Una plaza tiene forma de cuadrado con un lado de $50\text{ m}$. Si decides cruzarla en línea recta desde una esquina hasta la esquina opuesta, ¿qué distancia recorrerás?

Para construir una cometa con forma de rombo, se han cruzado dos varillas de madera que miden $60\text{ cm}$ y $80\text{ cm}$. Calcula la longitud del borde exterior de la cometa (el lado del rombo).

Para calcular el lado de una señal de tráfico reflectante con forma de rombo cuyas diagonales miden $16\text{ cm}$ y $12\text{ cm}$, Mario escribe en su cuaderno lo siguiente:

1. a) Identifica y explica detalladamente qué error conceptual cometió Mario al aplicar el teorema de Pitágoras directamente a las medidas de las diagonales.
2. b) Corrige el procedimiento justificando qué triángulo rectángulo se debe considerar y calcula la medida real del lado de la señal.

Quieres comprobar si un tablero rectangular de contrachapado podrá pasar en diagonal por el hueco de una puerta de tu colegio que mide $2{,}1\text{ m}$ de altura por $0{,}8\text{ m}$ de anchura.

1. a) Sin realizar el cálculo de la raíz cuadrada, haz una estimación razonada: explica por qué la diagonal del hueco debe ser necesariamente mayor que $2{,}1\text{ m}$ y menor que $2{,}9\text{ m}$, y propón un valor aproximado con un decimal justificando tu deducción.
2. b) Calcula la longitud exacta de la diagonal aplicando el teorema de Pitágoras (redondeando a dos decimales) y comprueba si tu estimación previa era coherente con las cotas establecidas.

Una señal de tráfico tiene forma de triángulo isósceles. Su base mide $60\text{ cm}$ y cada uno de los dos lados iguales mide $50\text{ cm}$. Calcula la altura $h$ de la señal.

El corte transversal de un canal de riego tiene forma de trapecio isósceles. La anchura en la parte superior es de $8\text{ m}$, la anchura en el fondo es de $2\text{ m}$ y la profundidad del canal es de $4\text{ m}$. Calcula la longitud de los lados inclinados $x$ del canal.

Un mosaico decorativo está formado por baldosas con forma de hexágono regular de $10\text{ cm}$ de lado. Calcula la apotema de una de estas baldosas.

Una parcela de terreno tiene forma de trapecio rectángulo. El lado perpendicular a las bases mide $12\text{ m}$, la base mayor mide $30\text{ m}$ y la base menor mide $25\text{ m}$. Calcula el perímetro total de la parcela.

El perímetro de una piscina con forma de rombo es de $52\text{ m}$ y una de sus diagonales mide $10\text{ m}$. Calcula la longitud de la otra diagonal y el área de la superficie de la piscina.

Una antena vertical está sujeta por dos cables anclados en el suelo a lados opuestos de la base. Un cable mide $15\text{ m}$ y está anclado a $9\text{ m}$ de la base. El otro cable está anclado a $16\text{ m}$ de la base. Calcula la altura de la antena y la longitud del segundo cable.

Una torre vertical de telecomunicaciones de $24\text{ m}$ de altura está sujeta al suelo mediante dos cables tensos anclados en los puntos $A$ y $B$, situados en lados opuestos respecto a la base de la torre $P$ y alineados con ella. El cable anclado en $A$ mide $25\text{ m}$ y el anclado en $B$ mide $30\text{ m}$. Se desea calcular la distancia total en el suelo entre ambos anclajes, $d(A,B)$.

Dos estudiantes proponen métodos diferentes:

• Hugo afirma: «Puedo considerar directamente el triángulo grande formado por los dos cables y la distancia del suelo, así que $d(A,B) = \sqrt{25^2 + 30^2}$».

• Sofía afirma: «Ese método no es válido; hay que aplicar Pitágoras a cada lado de la torre por separado y sumar los catetos de la base: $d(A,B) = \sqrt{25^2 - 24^2} + \sqrt{30^2 - 24^2}$».

1. a) Evalúa la validez de la propuesta de Hugo explicando por qué falla desde el punto de vista de las hipótesis geométricas del teorema de Pitágoras.
2. b) Desarrolla el método de Sofía para calcular la distancia $d(A,B)$ exacta y con un decimal.
3. c) Imagina un caso hipotético distinto en el que los dos cables formaran entre sí un ángulo recto ($90^\circ$) en la cúspide de la torre. En ese escenario, ¿cuál de las dos estrategias sería más directa para hallar $d(A,B)$? Justifica tu respuesta comparando ambos caminos.

Una tubería cilíndrica transporta agua. El radio de la tubería es de $13\text{ cm}$ y la superficie del agua forma una cuerda horizontal de $24\text{ cm}$ de ancho. Si el nivel del agua está por debajo del centro de la tubería, ¿cuál es la profundidad máxima del agua $h$?

En una pieza circular de madera de $25\text{ cm}$ de radio, se realizan dos cortes rectos y paralelos. Uno de los cortes tiene una longitud de $48\text{ cm}$ y el otro de $40\text{ cm}$. Si ambos cortes se realizan a lados opuestos del centro del círculo, calcula la distancia perpendicular que separa a los dos cortes.

Un logotipo está formado por un triángulo isósceles inscrito en una circunferencia. La base del triángulo mide $16\text{ cm}$ y su altura relativa a la base mide $18\text{ cm}$. Calcula el radio de la circunferencia en la que está inscrito el triángulo.

Un transporte especial de mercancías debe atravesar un túnel de montaña de un solo sentido cuya sección transversal es un semicírculo perfecto de radio $R = 5\text{ m}$. La calzada ocupa el diámetro horizontal del semicírculo. El vehículo transporta un contenedor de sección transversal rectangular de $3{,}6\text{ m}$ de anchura total. La normativa de seguridad exige que el vehículo circule centrado en la calzada y que se mantenga un margen de seguridad vertical de al menos $0{,}4\text{ m}$ entre la esquina superior del contenedor y la bóveda del túnel.

1. a) Modela la sección del túnel mediante un sistema geométrico identificando el triángulo rectángulo que relaciona el radio del túnel, la semianchura del contenedor y la cota máxima del techo sobre su esquina.
2. b) Aplica el teorema de Pitágoras para deducir la altura máxima total que puede tener el contenedor para circular legalmente por el túnel centrado, redondeando a dos decimales.
3. c) Por obras en la calzada, se desvía el camión hacia la derecha, de modo que el lateral derecho del contenedor queda a solo $0{,}5\text{ m}$ del borde exterior de la calzada del túnel. Razona geométricamente si la altura admisible aumentará o disminuirá respecto al caso centrado y calcula analíticamente la nueva altura máxima permitida.

Para transportar una barra de metal rígida, se dispone de una caja con forma de ortoedro (prisma rectangular) cuyas dimensiones son $80\text{ cm}$ de largo, $60\text{ cm}$ de ancho y $50\text{ cm}$ de alto. Calcula la longitud máxima que puede tener la barra para que quepa completamente dentro de la caja cerrada.

La Gran Pirámide de Guiza tiene una base cuadrada. Supongamos que el lado de su base mide $230\text{ m}$ y que la longitud de una de sus aristas laterales (desde un vértice de la base hasta la cúspide) es de $219\text{ m}$. Calcula la altura $h$ de la pirámide.

Una habitación tiene forma de ortoedro de dimensiones $5\text{ m}$ de largo, $4\text{ m}$ de ancho y $3\text{ m}$ de alto. Una araña se encuentra en una esquina del techo y quiere llegar a la esquina opuesta del piso caminando por las paredes, el techo o el piso. Si la araña toma el camino más corto posible, calcula dicha distancia. (Pista: imagina el desarrollo plano de la habitación).

En un mapa topográfico del Instituto Geográfico Militar (IGM) a escala $1:25\,000$, la distancia en línea recta entre la estación del Paso de La Cumbre y el refugio del Chacaltaya es de $7{,}6\text{ cm}$. Las curvas de nivel señalan que la estación se encuentra a una altitud de $1860\text{ m}$ y el refugio a $2260\text{ m}$.

1. a) Modela el perfil del terreno mediante un triángulo rectángulo, indicando qué representan los catetos y la hipotenusa en la realidad física.
2. b) Calcula la distancia geométrica real en línea recta que separa ambos puntos a través de la ladera, expresando el resultado en metros redondeados a las unidades.
3. c) Si un senderista mantiene un ritmo medio constante de ascenso de $1{,}8\text{ km/h}$ a lo largo de esa línea recta, calcula cuántos minutos tardará en completar la subida.

En el diseño de la cubierta de una nave industrial, la estructura principal forma un triángulo rectángulo. La altura relativa a la hipotenusa divide a esta en dos segmentos de $4\text{ m}$ y $9\text{ m}$. Aplica el teorema de la altura para calcular la longitud de dicha altura.

En un parque, un parterre de flores tiene forma de triángulo rectángulo. La hipotenusa mide $25\text{ m}$ y la proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa mide $9\text{ m}$. Utiliza el teorema del cateto para calcular la longitud de ese cateto.

El tejado de una casa tiene forma de triángulo rectángulo apoyado sobre su hipotenusa. La altura del tejado respecto a la base horizontal es de $6\text{ m}$ y la proyección de una de las vertientes (cateto) sobre la base es de $8\text{ m}$. Calcula la longitud de la otra proyección y la medida de los dos lados inclinados del tejado.

En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa mide $12\text{ cm}$ y uno de los catetos mide $15\text{ cm}$. Utilizando los teoremas del cateto y de la altura, o el teorema de Pitágoras iterativamente, calcula la longitud de la hipotenusa $a$ y del otro cateto $c$.

En un jardín, se quiere delimitar una zona con forma de triángulo rectángulo. Se sabe que las longitudes de sus tres lados son tres números enteros pares consecutivos. Plantea la ecuación correspondiente usando el teorema de Pitágoras y determina las longitudes de los tres lados.

Un puente tiene una estructura lateral en forma de trapecio escaleno. Las bases horizontales miden $40\text{ m}$ y $26\text{ m}$, y los lados oblicuos miden $13\text{ m}$ y $15\text{ m}$. Planteando un sistema de ecuaciones con el teorema de Pitágoras, calcula la altura del trapecio.

La dirección de urbanismo de un municipio va a delimitar un jardín con forma de triángulo rectángulo. Se ha fijado como condición que el perímetro total del jardín debe ser exactamente de $60\text{ m}$ y que la hipotenusa mida $26\text{ m}$.

1. a) Plantea una ecuación de segundo grado que permita hallar la longitud de los catetos a partir de los datos dados, definiendo con claridad qué representa la incógnita $x$.
2. b) Resuelve la ecuación planteada para determinar las dimensiones exactas de ambos catetos.
3. c) Justifica algebraicamente si sería posible diseñar otro jardín con forma de triángulo rectángulo con esa misma hipotenusa de $26\text{ m}$ pero con un perímetro total de $68\text{ m}$.