Árboles de probabilidad

Completa el siguiente diagrama de árbol que representa el lanzamiento de una moneda trucada dos veces consecutivas, sabiendo que la probabilidad de sacar cara es $\frac{1}{3}$. A partir del árbol, calcula la probabilidad de obtener primero cara y luego cruz.

Una caja contiene $4$ bolas rojas y $6$ bolas azules. Se extrae una bola al azar, se anota su color, se devuelve a la caja y se extrae una segunda bola. Dibuja el diagrama de árbol correspondiente y calcula la probabilidad de obtener dos bolas azules.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Un jugador de básquetbol tiene una probabilidad de $0,8$ de encestar un tiro libre. Si lanza dos tiros libres de forma independiente, dibuja el árbol de probabilidades y determina cuál es la probabilidad de que falle los dos lanzamientos.

En un armario hay $5$ poleras blancas y $3$ negras. Se eligen dos poleras al azar, una tras otra y sin devolver la primera al armario. Calcula la probabilidad de que ambas poleras sean blancas.

En una urna hay $2$ bolas verdes y $3$ bolas amarillas. Extraemos una bola, la miramos y la dejamos fuera. Luego extraemos otra bola. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea verde y la segunda amarilla?

Se dispone de una baraja española de $40$ cartas. Se extraen tres cartas consecutivamente sin reemplazo. Calcula la probabilidad de que las tres cartas sean del mismo palo (oros, copas, espadas o bastos).

En una cafetería ofrecen dos tipos de menú: el $60\,\%$ de los clientes elige el menú del día y el $40\,\%$ elige el menú vegetariano. De los que eligen el menú del día, el $70\,\%$ pide café de postre. De los que eligen el menú vegetariano, el $80\,\%$ pide té. Calcula la probabilidad de que un cliente elegido al azar haya tomado el menú del día y además haya pedido café.

Lanzamos un dado de seis caras y, a continuación, extraemos una carta de una baraja española de $40$ cartas. Si en el dado sale un número par, ganamos si sacamos un Rey. Si en el dado sale un número impar, ganamos si sacamos un As. Calcula la probabilidad de sacar un número par en el dado y, además, ganar.

Para ir al trabajo, Marta puede ir en bus (con probabilidad $0,7$) o en bicicleta (con probabilidad $0,3$). Si va en bus, la probabilidad de llegar tarde es $0,2$. Si va en bicicleta, la probabilidad de llegar tarde es $0,05$. ¿Cuál es la probabilidad de que Marta vaya en bicicleta y llegue puntual?

Un estudiante tiene que realizar dos exámenes el mismo día. La probabilidad de aprobar el primero es $0,6$. Si aprueba el primero, se motiva y la probabilidad de aprobar el segundo sube a $0,8$. Sin embargo, si suspende el primero, se desanima y la probabilidad de aprobar el segundo baja a $0,3$. Construye el diagrama de árbol y calcula la probabilidad de que apruebe al menos uno de los dos exámenes.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Una bolsa contiene $5$ bolas blancas y $4$ bolas negras. Se extraen bolas de una en una y sin reemplazamiento hasta que salga una bola negra. ¿Cuál es la probabilidad de tener que realizar exactamente tres extracciones para que el juego termine?

El clima en una ciudad costera sigue un patrón curioso: si un día está soleado, la probabilidad de que al día siguiente llueva es $0,2$. Si un día llueve, la probabilidad de que al día siguiente siga lloviendo es $0,6$. Sabiendo que hoy es lunes y está soleado, ¿cuál es la probabilidad de que el miércoles llueva? Dibuja el diagrama de árbol correspondiente a los días Martes y Miércoles.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

En una fábrica de componentes electrónicos, tres máquinas (A, B y C) producen el $50\,\%$, el $30\,\%$ y el $20\,\%$ de las piezas, respectivamente. Los porcentajes de piezas defectuosas producidas por cada máquina son el $2\,\%$, el $4\,\%$ y el $5\,\%$. Apóyate en el diagrama de árbol para calcular la probabilidad de que una pieza elegida al azar sea defectuosa.

Tenemos dos urnas. La urna A contiene $3$ bolas rojas y $2$ negras. La urna B contiene $4$ bolas rojas y $5$ negras. Lanzamos una moneda al aire: si sale cara, extraemos una bola de la urna A; si sale cruz, extraemos una bola de la urna B. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea roja?

En un partido de tenis, si el primer saque de un jugador entra en el cuadro (probabilidad $0,6$), gana el punto con probabilidad $0,7$. Si el primer saque falla, realiza un segundo saque que entra con probabilidad $0,8$. Si el segundo saque entra, gana el punto con probabilidad $0,5$. Si el segundo saque también falla, comete doble falta y pierde el punto automáticamente. Calcula la probabilidad total de que el jugador gane el punto en ese servicio.

Se tienen dos cajas. La caja 1 contiene $4$ fichas azules y $2$ rojas. La caja 2 contiene $3$ fichas azules y $5$ rojas. Se extrae una ficha al azar de la caja 1 y se introduce en la caja 2. A continuación, se extrae una ficha de la caja 2. Calcula la probabilidad de que la ficha extraída de la caja 2 sea azul.

En una prueba de diagnóstico para una alergia, el $5\,\%$ de la población realmente tiene la alergia. Si una persona tiene la alergia, el test da positivo el $90\,\%$ de las veces. Si no la tiene, el test da negativo el $95\,\%$ de las veces. Dibuja un diagrama de árbol para ilustrar la situación y calcula la probabilidad de que una persona elegida al azar obtenga un resultado positivo en el test.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

En una ciudad, el $20\,\%$ de los conductores son jóvenes (menores de 25 años) y el $80\,\%$ son adultos. La probabilidad de que un conductor joven tenga un accidente en un año es $0,15$, mientras que para un adulto es $0,05$. Se selecciona un conductor al azar y resulta que ha tenido un accidente este año. Utilizando las ramas de un diagrama de árbol, calcula la probabilidad de que dicho conductor sea joven. (Expresa el resultado como fracción irreducible).

En un juego de mesa, un jugador debe superar un foso saltando sobre tres plataformas sucesivas. La probabilidad de resbalar en la primera plataforma es $\frac{1}{10}$. Si supera la primera, la probabilidad de resbalar en la segunda es $\frac{1}{5}$. Si supera la segunda, la probabilidad de resbalar en la tercera es $\frac{1}{4}$. Si resbala en cualquier plataforma, cae al foso y pierde. ¿Cuál es la probabilidad de que el jugador cruce el foso con éxito? Si sabemos que el jugador cayó al foso, ¿cuál es la probabilidad de que haya caído exactamente en la segunda plataforma?

En una competición, un arquero dispone de un máximo de tres flechas para dar en la diana. La probabilidad de acertar con la primera flecha es $0,4$. Si falla, ajusta su visor y la probabilidad de acertar con la segunda es $0,6$. Si vuelve a fallar, se pone nervioso y la probabilidad de acertar con la tercera es $0,3$. El arquero deja de disparar en el momento en que acierta. Calcula la probabilidad de que el arquero necesite realizar más de un disparo sabiendo que finalmente logró dar en la diana.

Según los registros del SENAMHI en una localidad del altiplano, en noviembre llueve el $10\,\%$ de los días. Los datos de la empresa municipal de transporte indican que, si llueve, la probabilidad de que una línea de micro sufra un retraso notable es de $0,40$; en cambio, si no llueve, esa probabilidad se reduce a $0,05$.\na) Antes de calcular nada, estima intuitivamente: si un día cualquiera de noviembre esa línea sufre un retraso notable, ¿crees que es más probable que haya llovido o que no haya llovido? Justifica brevemente tu intuición considerando el peso de cada tipo de día.\nb) Modela la situación con un diagrama de árbol y calcula la probabilidad total de que el micro sufra un retraso notable en un día de noviembre.\nc) Calcula mediante el teorema de Bayes la probabilidad de que haya llovido sabiendo que el micro ha llegado con retraso. Comprueba si tu estimación inicial del apartado a) era acertada o si has sufrido la «falacia de la tasa base».

Un filtro de seguridad analiza los correos entrantes de una entidad bancaria. Se sabe que el $10\,\%$ de los correos recibidos son fraudulentos (phishing) y el $90\,\%$ son legítimos. El sistema de detección clasifica correctamente como amenaza al $95\,\%$ de los correos que son phishing. Sin embargo, no es infalible con los correos legítimos: existe una probabilidad desconocida $p$ de «falso positivo» (un correo legítimo que el filtro marca erróneamente como amenaza).\nPara no colapsar al equipo de ciberseguridad con falsas alertas, la dirección exige que, cuando el filtro lance una alerta, la probabilidad de que el correo sea efectivamente phishing sea de al menos el $90\,\%$.\na) Modela el problema mediante un diagrama de árbol, dejando la probabilidad $p$ indicada en la rama correspondiente a los falsos positivos.\nb) Obtén la expresión algebraica, en función de $p$, de la probabilidad de que un correo sea phishing sabiendo que el filtro ha lanzado una alerta.\nc) Plantea y resuelve una inecuación para determinar el valor máximo admisible de $p$. Explica por qué, a pesar de que el filtro detecta el $95\,\%$ del phishing, la tasa de falsos positivos $p$ debe mantenerse en un valor extraordinariamente bajo.

Un sistema de alarma de una cámara acorazada tiene 3 sensores de movimiento. La probabilidad de que el sensor A falle ante una intrusión es $0,1$; la de que falle el sensor B es $0,05$; y la de que falle el sensor C es $0,2$. Los sensores actúan de forma totalmente independiente. Dibuja el diagrama de árbol correspondiente y calcula la probabilidad de que, ante una intrusión real, al menos un sensor se active y haga sonar la alarma.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

En una urna hay $x$ bolas blancas y $4$ bolas negras. Se extraen dos bolas sin reemplazamiento. Sabiendo que la probabilidad de que ambas bolas sean blancas es $\frac{1}{3}$, plantea la ecuación correspondiente apoyándote en un diagrama de árbol y determina el número inicial de bolas blancas $x$.

Dos equipos de e-sports, Alpha y Beta, juegan la final de un torneo al mejor de tres partidas (el primero que gane dos partidas es el campeón). Alpha es mejor equipo, por lo que su probabilidad de ganar cualquier partida es $0,6$. Las partidas no pueden terminar en empate. Dibuja el diagrama de árbol de los posibles desarrollos de la final y calcula la probabilidad de que el equipo Beta gane el torneo.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Una urna contiene $5$ bolas numeradas del $1$ al $5$. Se extraen bolas de una en una, sin reemplazamiento, hasta que la suma de los números extraídos sea mayor o igual que $6$. Dibuja el diagrama de árbol con todas las ramas posibles sabiendo que en la primera extracción salió la bola con el número $2$. A partir de tu árbol, calcula la probabilidad de que el juego termine exactamente en la tercera extracción.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.