Representación de funciones

Halla el dominio de definición de la función radical $f(x) = \sqrt{2x - 8}$.

El tiempo $t$ (en segundos) que tarda en caer al suelo un objeto que se suelta desde una altura $h$ (en metros) se aproxima con la función radical $t(h) = \sqrt{\frac{2h}{9,8}}$. Calcula el dominio de la función en este contexto y determina el tiempo que tarda en caer un objeto soltado desde $4,9$ metros de altura.

Un taxista cobra una bajada de bandera de $21$ bolivianos y $10,50$ bolivianos por cada kilómetro recorrido. Escribe la expresión algebraica de la función que relaciona el costo del trayecto con los kilómetros recorridos.

Observa la gráfica de la recta y determina su pendiente, su ordenada al origen y su expresión algebraica.

Determina las coordenadas del vértice y la ecuación del eje de simetría de la parábola $f(x) = x^2 - 6x + 5$.

A partir de la parábola base $y = x^2$ (en trazo discontinuo), se ha realizado una traslación para obtener la parábola en trazo continuo. Escribe la expresión algebraica de la nueva parábola e indica el vector de traslación aplicado.

Para representar con precisión la función cuadrática $f(x) = 2x^2 - 12x + 10$ y determinar su eje de simetría y su vértice, dos estudiantes defienden estrategias distintas:

• Irene propone transformar la expresión algebraica completando cuadrados hasta obtener la forma canónica $f(x) = a(x - p)^2 + q$.

• Sergio propone resolver primero la ecuación $2x^2 - 12x + 10 = 0$ con la fórmula general, promediar las dos raíces para situar el eje de simetría en el punto medio y sustituir esa abscisa en la función para hallar el vértice.

1. a) Aplica paso a paso ambos métodos para encontrar las coordenadas del vértice y el eje de simetría.
2. b) Compara los dos caminos: ¿qué ventajas y desventajas tiene cada uno? Justifica en qué situación concreta (por ejemplo, atendiendo al signo del discriminante de la ecuación) el método de Sergio deja de ser aplicable de forma directa en el conjunto de los números reales, mientras que el procedimiento de Irene sigue funcionando sin ningún obstáculo.

El beneficio de la venta de poleras de la fiesta de fin de año, en bolivianos, viene dado por la función $B(x) = -14x^2 + 840x - 7\,000$, donde $x$ es el número de poleras vendidas en cientos. ¿Cuántas poleras deben vender para maximizar el beneficio y cuál es dicho beneficio máximo?

En una prueba de atletismo escolar en Bolivia, el lanzamiento de bala de una deportista describe una trayectoria parabólica dada por la función $h(x) = -0,05x^2 + 0,6x + 1,8$, donde $x$ es la distancia horizontal recorrida en metros y $h(x)$ es la altura del artefacto sobre el suelo en metros.

1. a) Antes de calcular con fórmulas, estima de forma razonada entre qué valores enteros estará la distancia en la que se alcanza la altura máxima y si la marca final superará los $14\text{ m}$, apoyándote en el significado de la ordenada en el origen y en la rapidez con la que cambia la trayectoria.
2. b) Calcula con exactitud las coordenadas del vértice y el alcance total del lanzamiento (corte con el suelo, $h(x) = 0$). Compara los valores numéricos obtenidos con tus estimaciones previas y valora si el modelo matemático es coherente con la realidad de este deporte.

Un granjero dispone de $120$ metros de valla para cercar un terreno rectangular adyacente a un río recto. Sabiendo que no necesita vallar el lado que da al río, escribe la función que proporciona el área del terreno en función de la anchura $x$ perpendicular al río. ¿Qué dimensiones maximizan el área y cuál es el área máxima?

Indica cuáles son las asíntotas vertical y horizontal de la función de proporcionalidad inversa $f(x) = \frac{2}{x-3} + 4$.

Marcos tiene que representar la función racional $f(x) = \dfrac{3}{x-2} + 4$. En su cuaderno de trabajo escribe: «Como el denominador se anula en $x = 2$, la asíntota horizontal es $x = 2$. Y como la constante sumada al final es $4$, la asíntota vertical es $y = 4$. Por tanto, la gráfica no puede cortar a ninguno de los dos ejes coordenados». Localiza los dos errores conceptuales que ha cometido Marcos, explica con tus palabras por qué confunde el comportamiento de las asíntotas y corrige su análisis determinando las ecuaciones correctas de ambas asíntotas y las coordenadas del punto de corte con el eje $Y$.

El alquiler de un bus para una excursión escolar cuesta $4\,200$ bolivianos. Escribe la función $C(x)$ que determina el costo por alumno en función del número de alumnos $x$ que asistan. Si a última hora se retiran $5$ alumnos, escribe la nueva función de costo por alumno y halla cuánto pagará cada uno si originalmente iban a ir $30$ alumnos.

Dada la función de proporcionalidad inversa $f(x) = \frac{3x - 1}{x + 2}$, halla la expresión de su función inversa $f^{-1}(x)$. Comprueba analíticamente que las asíntotas verticales y horizontales se intercambian entre $f(x)$ y $f^{-1}(x)$.

Determina los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$ de la función racional $f(x) = \frac{ax + 2}{bx + c}$ sabiendo que tiene una asíntota vertical en $x = 1$, una asíntota horizontal en $y = 3$ y pasa por el punto $(2, 8)$.

En un concurso de preguntas, los puntos acumulados se duplican en cada ronda superada. Si comienzas con $100$ puntos, escribe la función exponencial $P(r)$ que proporciona los puntos en función del número de rondas $r$ superadas.

Se invierten $35\,000$ bolivianos en un depósito bancario que ofrece un interés compuesto anual del $4\%$. Escribe la función exponencial que modeliza el capital acumulado al cabo de $t$ años y calcula el capital disponible tras $5$ años.

La cantidad de Carbono-14 en un resto fósil disminuye exponencialmente según la función $N(t) = N_0 \cdot (0,5)^{\frac{t}{5730}}$, donde $N_0$ es la cantidad inicial y $t$ el tiempo en años. Si un hueso conserva solo el $12,5\%$ de su Carbono-14 original, ¿cuántos años han transcurrido?

Determina el dominio de la función logarítmica $f(x) = \log_3(x - 5)$.

El nivel de intensidad sonora $L$, en decibelios (dB), se calcula mediante la función logarítmica $L(I) = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right)$, donde $I$ es la intensidad del sonido e $I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2$ es el umbral de audición. Calcula el nivel de intensidad sonora de una conversación normal cuya intensidad es $I = 10^{-6} \text{ W/m}^2$.

La siguiente gráfica muestra la velocidad de un ciclista en función del tiempo. Determina la expresión algebraica de la función definida a trozos que la representa.

Una empresa pública de abastecimiento de agua en Bolivia factura el consumo doméstico bimestral para fomentar el ahorro responsable mediante una tarifa por tramos. La cuota fija del servicio es de $12$ bolivianos al bimestre. El consumo de agua se factura según las siguientes reglas:

• Los primeros $20\text{ m}^3$ consumidos tienen un precio reducido de $0,50$ bolivianos por cada $\text{m}^3$.

• Para consumos superiores a $20\text{ m}^3$ y hasta un máximo de $50\text{ m}^3$, los primeros $20\text{ m}^3$ se facturan a la tarifa reducida y cada metro cúbico adicional que exceda de $20$ cuesta $1,20$ bolivianos.

• Todo consumo que supere los $50\text{ m}^3$ se cobra abonando los tramos anteriores más $2,00$ bolivianos por cada metro cúbico que sobrepase los $50\text{ m}^3$.

Escribe la expresión analítica de la función a trozos $C(x)$ que relaciona el costo total de la factura (en bolivianos) en función de los metros cúbicos $x$ consumidos. Explica cómo calculas los términos independientes de cada tramo para garantizar que la función sea continua y no se produzca ningún salto injustificado en el importe.

Una boya oceanográfica instalada frente a las costas de Galicia monitoriza las oscilaciones de las mareas. La altura del nivel del mar $h(t)$ (en metros) respecto a un fondo de referencia sigue un comportamiento periódico de periodo $T = 12\text{ h}$. Durante un ciclo básico $t \in [0, 12]$, la altura se modeliza mediante dos tramos parabólicos:

• Tramo de bajamar (en torno al nivel mínimo), para $t \in [0, 6]$: $h(t) = a(t - 3)^2 + 1$.

• Tramo de pleamar (en torno al nivel máximo), para $t \in [6, 12]$: $h(t) = -a(t - 9)^2 + k$.

Se sabe por los registros del puerto que el nivel del mar varía de forma continua (sin saltos bruscos), que la bajamar mínima es de $1\text{ m}$ y que la pleamar máxima es de $5\text{ m}$.

1. a) Deduce los valores exactos de los parámetros $a$ y $k$. Justifica tu razonamiento a partir de las coordenadas de los vértices y de la condición de continuidad en el instante de cambio de tramo ($t = 6\text{ h}$).
2. b) Sin necesidad de definir nuevas fórmulas para tiempos posteriores, determina razonadamente la altura del mar en los instantes $t = 27\text{ h}$ y $t = 66\text{ h}$ basándote exclusivamente en la propiedad formal de periodicidad $h(t + T) = h(t)$.

Dada la función definida a trozos $f(x) = \begin{cases} 2x+1 & \text{si } x < 0 \\ x^2 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$, calcula los valores numéricos de $f(-2)$, $f(0)$ y $f(3)$.

Expresa la función $f(x) = |x^2 - 5x + 6|$ como una función definida a trozos sin utilizar el valor absoluto. Indica en qué intervalos la función cuadrática original era negativa antes de aplicar el valor absoluto.

El costo mensual de la factura de agua en un municipio se calcula mediante una función definida por tramos: una cuota fija de $70$ bolivianos que incluye los primeros $15 \text{ m}^3$, un costo de $3,50$ bolivianos por $\text{m}^3$ adicional para el consumo entre $15 \text{ m}^3$ y $30 \text{ m}^3$, y un costo de $8,40$ bolivianos por cada $\text{m}^3$ que exceda los $30 \text{ m}^3$. Escribe la expresión analítica de la función costo $C(x)$ en función de los metros cúbicos totales consumidos $x$.

La altura $h(t)$ en metros de una cabina de una noria de feria respecto al suelo en función del tiempo $t$ en minutos viene dada por $h(t) = 12 + 10\sin\left(\frac{\pi}{4}t\right)$. ¿Cuál es la altura máxima y mínima que alcanza la noria? ¿Cuánto tarda en dar una vuelta completa?

Halla la expresión algebraica de una función cuadrática de la forma $f(x) = ax^2 + bx + c$ que cumpla simultáneamente estas tres condiciones geométricas: tiene su vértice en el punto $V(3, 4)$, corta al eje de ordenadas (eje $Y$) en el punto $(0, -5)$ y sus ramas se abren hacia abajo. Explica paso a paso cómo deduces los coeficientes $a$, $b$ y $c$ a partir de la simetría de la parábola y las propiedades del vértice, sin limitarte a resolver mecánicamente un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

La trayectoria de un proyectil describe una parábola de ecuación $y = ax^2 + bx + c$. Sabiendo que el proyectil se lanza desde el punto $(0, 3)$, alcanza su altura máxima en el punto $(2, 7)$ y cae al suelo, halla la expresión algebraica de la parábola y determina a qué distancia horizontal del punto de lanzamiento impactará.

La gráfica muestra la intersección entre la recta $y = -x + 5$ y la hipérbola $y = \frac{4}{x}$. Calcula de forma analítica las coordenadas exactas de los puntos de corte $A$ y $B$.