Funciones potenciales

Identifica cuáles de las siguientes expresiones algebraicas corresponden a una función potencial:

• $f(x) = 3x^2$

• $g(x) = 2^x$

• $h(x) = \frac{5}{x^3}$

• $i(x) = x^{1/2}$

Escribe la expresión algebraica de la función que asocia a cada número real positivo su raíz cúbica, expresándola en forma de potencia con exponente fraccionario.

Dada la función potencial $f(x) = 2x^4$, calcula el valor de sus imágenes para $x = -2$, $x = 0$ y $x = 3$.

Halla el valor del coeficiente $k$ de la función potencial $f(x) = k \cdot x^3$ sabiendo que su gráfica pasa por el punto de coordenadas $(2, 40)$.

Sabiendo que la gráfica de una función potencial de la forma $f(x) = x^n$ pasa por el punto $(3, 81)$, averigua el valor del exponente $n$.

Una función potencial viene dada por la expresión $f(x) = a \cdot x^n$. Halla los valores exactos del coeficiente $a$ y del exponente $n$ sabiendo que la gráfica pasa por los puntos $(1, 5)$ y $(2, 40)$.

Halla la expresión analítica de la función potencial $f(x) = a \cdot x^n$ sabiendo que su gráfica pasa por los puntos $(2, 2)$ y $(8, 16)$. Expresa el exponente $n$ en forma de fracción irreducible.

Una función potencial de la forma $f(x) = a \cdot x^n$ pasa por los puntos $A(2, 6)$ y $B(6, 54)$. Para determinar los valores exactos de los parámetros $a$ y $n$, dos compañeros de clase plantean caminos distintos:\n- Método de Javier (Cociente directo): Plantea el sistema $\begin{cases} 6 = a \cdot 2^n \\ 54 = a \cdot 6^n \end{cases}$, divide la segunda ecuación entre la primera para cancelar el coeficiente $a$ y agrupa las potencias con la misma base: $\frac{54}{6} = \left(\frac{6}{2}\right)^n \implies 9 = 3^n$.\n- Método de Elena (Linealización logarítmica): Toma logaritmos decimales a ambos lados de cada ecuación para transformar el sistema en uno lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas, $\log(a)$ y $n$, resolviéndolo a continuación por reducción.\na) Completa los pasos del método de Javier y calcula los valores de $n$ y de $a$.\nb) Compara ambos procedimientos y justifica cuál de los dos es más eficiente en este caso particular.\nc) Explica qué característica tendrían que tener las coordenadas de los puntos para que el método de Javier no se pudiera resolver de forma inmediata a simple vista y estuviera justificado recurrir al método de Elena.

Indica cuál es el dominio de definición y determina el tipo de simetría (par, impar o ninguna) de la función potencial $f(x) = x^6$.

Determina analíticamente los puntos de corte entre las gráficas de las funciones potenciales $f(x) = x^2$ y $g(x) = x^4$.

Observa la siguiente gráfica que muestra dos funciones potenciales en el primer cuadrante.

Sabiendo que las expresiones analíticas corresponden a $y = x^2$ e $y = x^3$, identifica cuál es $f(x)$ y cuál es $g(x)$. A partir de la gráfica y de las expresiones, determina en qué intervalo estrictamente positivo la función cúbica toma valores menores que la cuadrática.

Indica el dominio de definición y las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales de la función potencial $f(x) = x^{-2}$.

Dada la función $f(x) = -3x^{-3}$, determina su dominio de definición, su recorrido y estudia analíticamente si presenta algún tipo de simetría (par o impar).

Escribe la expresión algebraica de una función potencial de la forma $f(x) = a \cdot x^n$ que cumpla simultáneamente las siguientes condiciones:\na) Su exponente $n$ es un número entero negativo y su gráfica es simétrica respecto al eje $Y$ (función par, donde $f(-x) = f(x)$).\nb) Posee una asíntota vertical en $x = 0$ y una asíntota horizontal en $y = 0$.\nc) Su gráfica pasa por el punto $P(2; 0,75)$.\nJustifica la elección del valor de $n$ más sencillo posible que verifique las condiciones y calcula con detalle el valor del coeficiente $a$, expresándolo en forma de fracción irreducible o número decimal.

El radio $r$ (en cm) de una mancha circular de aceite que se extiende por el agua crece con el tiempo $t$ (en minutos) según la función potencial $r(t) = 2 \cdot t^{1/2}$. Calcula el radio de la mancha a los $0,25$ minutos y averigua cuánto tiempo debe pasar para que el radio de la mancha sea exactamente de $4$ cm.

Dada la función potencial con exponente fraccionario $f(x) = x^{2/3}$:

• Determina su dominio de definición.

• Calcula los valores exactos de $f(8)$ y $f(-8)$.

• Razona analíticamente si la función es par, impar o ninguna de las dos.

Lucía está analizando las propiedades de dos funciones potenciales, $f(x) = 3 \cdot x^{-2}$ y $g(x) = 2 \cdot x^{1/4}$, y escribe en su libreta:\n1. «Como $f(0) = 3 \cdot 0^{-2} = 0$, la gráfica de $f$ corta al eje $Y$ en el origen $(0, 0)$».\n2. «Para la función $g$, como la raíz cuarta de $16$ es $2$, si introducimos un valor negativo se obtiene $g(-16) = 2 \cdot (-16)^{1/4} = 2 \cdot (-2) = -4$, por lo que su dominio abarca todos los números reales».\nIdentifica razonadamente el error conceptual cometido en cada una de las dos afirmaciones, explica por qué su cálculo es incorrecto e indica cuál es el dominio real correcto de cada una de estas funciones.

El siguiente gráfico muestra tres funciones potenciales cuyas expresiones son $y = x^{-1}$, $y = x^{-2}$ e $y = x^{1/2}$.

Asocia cada curva (A, B y C) con su expresión analítica correspondiente, justificando tu respuesta basándote en el dominio, la paridad y el comportamiento asintótico de cada una.

Determina analíticamente los puntos de intersección entre la función cúbica $f(x) = 8x^3$ y la función de proporcionalidad inversa $g(x) = x^{-1}$.

Se desea diseñar la fórmula de una función potencial $f(x) = a \cdot x^n$ que modele la concentración residual de una sustancia y que cumpla simultáneamente cuatro condiciones matemáticas:

1. Su dominio no incluye valores negativos ni el cero, estando restringido de forma natural a $(0, +\infty)$.

2. Presenta como asíntotas los ejes cartesianos: una asíntota vertical en $x = 0$ y una asíntota horizontal en $y = 0$.

3. Si multiplicamos el valor de la variable independiente por $9$, el valor que devuelve la función se reduce exactamente a la tercera parte; es decir, $f(9x) = \frac{1}{3} \cdot f(x)$ para todo $x > 0$.

4. La gráfica pasa por el punto $P(4; 2,5)$.

1. a) A partir de las condiciones 1 y 2, deduce razonadamente si el exponente $n$ debe ser positivo o negativo, y por qué debe ser una fracción con denominador par.

1. b) Aplica la condición 3 para hallar el valor exacto del exponente $n$.

1. c) Determina el valor de la constante $a$ usando las coordenadas del punto $P$ y escribe la función final tanto en forma de potencia como en forma de radical.

Expresa mediante una función potencial el área $A$ de un círculo en función de su radio $r$. ¿Cuál es el grado de esta función potencial?

La intensidad de la luz $I$ que recibe un objeto es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia $d$ al foco luminoso, lo que se modeliza mediante la función potencial $I(d) = k \cdot d^{-2}$. Si a una distancia de $2$ metros la intensidad es de $100$ lux, halla la expresión completa de la función y calcula la intensidad que recibirá el objeto a $5$ metros de distancia.

La energía cinética de un cuerpo en movimiento viene dada por la fórmula $E_c(v) = \frac{1}{2} m v^2$. Si la masa de un vehículo es de $1200$ kg, expresa su energía cinética como una función potencial dependiente de su velocidad $v$ (en m/s) y calcula la energía que posee cuando circula a $20$ m/s.

El volumen de una esfera en función de su radio se calcula mediante la fórmula $V(r) = \frac{4}{3}\pi r^3$. Despeja el radio $r$ para expresarlo como una función potencial dependiente del volumen $V$. Utiliza esta nueva función para calcular el radio aproximado de una esfera que tiene un volumen de $1000$ cm$^3$ (toma $\pi \approx 3,14$).

La tasa metabólica basal $T$ (en kcal/día) de los mamíferos se modeliza en función de su masa corporal $M$ (en kg) mediante la función potencial de Kleiber: $T(M) = 70 \cdot M^{3/4}$. Calcula la tasa metabólica basal de un perro de $16$ kg. A continuación, averigua la masa aproximada de un animal cuya tasa metabólica es de $7000$ kcal/día.

La tercera ley de Kepler establece que el cuadrado del período orbital $T$ de un planeta es directamente proporcional al cubo de su distancia media al Sol $R$, es decir, $T^2 = k \cdot R^3$. Si para la Tierra se cumple que $T = 1$ año y $R = 1$ UA (Unidad Astronómica), expresa el período $T$ como una función potencial dependiente de $R$. Utiliza esta función para calcular el período orbital de Júpiter, sabiendo que su distancia media al Sol es de $5,2$ UA.

La fuerza de resistencia aerodinámica que experimenta un ciclista es proporcional al cuadrado de su velocidad, lo que se expresa como $F(v) = k \cdot v^2$. A una velocidad de $10$ m/s, la fuerza medida es de $30$ N. Demuestra analíticamente por qué factor exacto se multiplica la fuerza de resistencia si el ciclista duplica su velocidad (pasando de una velocidad genérica $v_0$ a $2v_0$) y calcula la nueva fuerza cuando circula a $20$ m/s.

El costo de producción de un componente electrónico disminuye a medida que aumenta el número de unidades fabricadas según la función potencial $C(x) = 35\,000 \cdot x^{-1/2}$, donde $x$ es la cantidad de componentes y $C(x)$ es el costo unitario en bolivianos. Calcula el costo unitario de producir $100$ componentes y determina cuántos componentes se deben fabricar en total para que el costo unitario se reduzca a $175$ bolivianos.

En un parque eólico de Aragón, la potencia eléctrica $P$ (en kilovatios, kW) producida por un aerogenerador se modeliza mediante la función potencial $P(v) = k \cdot v^3$, donde $v$ representa la velocidad del viento (en m/s). Los datos de telemetría indican que con una velocidad de viento de $5\text{ m/s}$, la potencia generada es de $50\text{ kW}$.\na) Antes de realizar ningún cálculo algebraico, realiza una estimación razonada: si la velocidad del viento se duplica hasta los $10\text{ m/s}$, ¿la potencia se duplicará ($100\text{ kW}$), se cuadruplicará ($200\text{ kW}$) o aumentará todavía más? Justifica tu conjetura a partir de las propiedades del exponente cúbico.\nb) Halla el valor exacto de la constante $k$ a partir del dato inicial.\nc) Calcula analíticamente la potencia $P(10)$ y comprueba si tu estimación era correcta calculando la razón exacta entre $P(10)$ y $P(5)$.

Según estudios técnicos de la Dirección General de Tráfico (DGT), la distancia de frenado $d$ (en metros) de un automóvil sobre asfalto seco hasta detenerse completamente se modeliza mediante una función potencial $d(v) = a \cdot v^n$, donde $v$ es la velocidad de circulación (en km/h). En las pruebas de homologación se observa que a $40\text{ km/h}$ la distancia de frenado es de $8\text{ metros}$, mientras que a $80\text{ km/h}$ asciende a $32\text{ metros}$.\na) Determina analíticamente la expresión de la función deduciendo el exponente entero $n$ y la constante $a$.\nb) En Bolivia, la velocidad máxima en travesías urbanas de un único carril por sentido se redujo de $50\text{ km/h}$ a $30\text{ km/h}$. Calcula la distancia de frenado asociada a cada velocidad y determina el porcentaje exacto de reducción que supone esta medida.\nc) Un conductor asegura: «Si manejo a $140\text{ km/h}$ por una autopista en vez del límite de $120\text{ km/h}$, como solo voy un $16,7\,\%$ más rápido, mi distancia de frenado apenas aumentará ese mismo porcentaje». Refuta matemáticamente su argumento a partir del comportamiento de la función potencial y calcula el incremento porcentual real de su distancia de frenado.