Notación científica y unidades del Sistema Internacional

Escribe en notación científica los siguientes números decimales:

1. a) $450 000 000$
2. b) $0,000000032$
3. c) $12 500$
4. d) $0,000105$

Indica cuáles de los siguientes números no están correctamente escritos en notación científica y escríbelos de forma correcta:

1. a) $45,2 \cdot 10^3$
2. b) $0,8 \cdot 10^{-2}$
3. c) $3,1 \cdot 10^5$
4. d) $12 \cdot 10^{-4}$

Expresa en notación decimal ordinaria los siguientes números dados en notación científica:

1. a) $3,4 \cdot 10^5$
2. b) $1,89 \cdot 10^{-4}$
3. c) $7 \cdot 10^8$
4. d) $5,02 \cdot 10^{-6}$

Determina el orden de magnitud (la potencia de $10$ más cercana) de las siguientes cantidades expresadas en notación científica:

1. a) $4,8 \cdot 10^6$
2. b) $1,1 \cdot 10^{-5}$
3. c) $9,2 \cdot 10^{12}$
4. d) $2,5 \cdot 10^{-8}$

Se desea calcular cuántas veces es mayor la distancia media de la Tierra a la Luna ($d_L = 3,84 \cdot 10^5\text{ km}$) que la longitud del ecuador terrestre ($L_E = 4,0 \cdot 10^4\text{ km}$).

1. a) Estima: Antes de realizar cualquier cálculo exacto, redondea la mantisa de $d_L$ al entero más próximo y calcula mentalmente el orden de magnitud aproximado del cociente $\frac{d_L}{L_E}$ (es decir, a cuántas vueltas completas al ecuador equivale aproximadamente un viaje a la Luna).
2. b) Calcula: Realiza ahora la división con los datos exactos aplicando las propiedades de la notación científica.
3. c) Comprueba: Compara el valor obtenido con tu estimación inicial y razona si tu resultado es coherente y físicamente verosímil.

Un disco duro externo tiene una capacidad de almacenamiento de $2$ Terabytes (TB). Si una fotografía de alta resolución ocupa un promedio de $4 \cdot 10^6$ bytes, ¿cuántas fotografías se pueden almacenar como máximo en este disco duro?

Dato: Considera que $1$ TB equivale a $10^{12}$ bytes.

Según datos del Instituto Nacional de Estadística (INE), el consumo medio de agua en los hogares españoles es de aproximadamente $133\text{ litros}$ por habitante y día. En España residen alrededor de $4,8 \cdot 10^7$ personas.

1. a) Expresa el consumo de una persona en un día en metros cúbicos ($1\text{ m}^3 = 10^3\text{ litros}$) utilizando la notación científica.
2. b) Calcula el volumen total de agua consumido en los hogares de toda España durante un año no bisiesto ($3,65 \cdot 10^2\text{ días}$). Expresa el resultado en metros cúbicos en notación científica.
3. c) El embalse de Alarcón tiene una capacidad máxima aproximada de $1,1 \cdot 10^9\text{ m}^3$. ¿Cuántos embalses como este se necesitarían para abastecer el consumo doméstico anual español? Redondea a las décimas y explica brevemente la importancia del ahorro doméstico ante este volumen.

La distancia media de la Tierra al Sol es de unos $1,5 \cdot 10^8$ km y la velocidad de la luz en el vacío es de $3 \cdot 10^5$ km/s. Utilizando la fórmula del movimiento rectilíneo uniforme ($t = \frac{d}{v}$), ¿cuántos segundos tarda la luz del Sol en llegar a la Tierra? Expresa el resultado en notación científica y luego conviértelo a minutos.

Un centro de investigación necesita transferir una copia de seguridad masiva de $4,5$ Petabytes (PB) a un servidor en otra ciudad. La conexión de fibra óptica dedicada permite transferir datos a una velocidad constante de $3 \cdot 10^8$ bytes por segundo. Sabiendo que $1$ PB equivale a $10^{15}$ bytes, calcula cuántos días completos (y fracción de día si es necesario) tardará en finalizar la transferencia. Muestra los cálculos intermedios en notación científica.

Ordena de menor a mayor los siguientes números escritos en notación científica:

$A = 3,2 \cdot 10^4$

$B = 4,1 \cdot 10^{-3}$

$C = 1,5 \cdot 10^4$

$D = 8,9 \cdot 10^{-4}$

$E = 2 \cdot 10^5$

Realiza las siguientes multiplicaciones agrupando los números y las potencias de base $10$. Expresa el resultado final en notación científica:

1. a) $(3 \cdot 10^4) \cdot (2 \cdot 10^5)$
2. b) $(4 \cdot 10^{-3}) \cdot (2 \cdot 10^{-4})$
3. c) $(5 \cdot 10^6) \cdot (3 \cdot 10^{-2})$

Efectúa las siguientes divisiones y da el resultado en notación científica:

1. a) $(8 \cdot 10^7) : (2 \cdot 10^3)$
2. b) $(9 \cdot 10^{-4}) : (3 \cdot 10^{-2})$
3. c) $(1,5 \cdot 10^5) : (3 \cdot 10^8)$

Marcos está resolviendo un ejercicio de laboratorio en el que debe calcular el producto de dos magnitudes: $A = 4 \cdot 10^5$ y $B = 3,5 \cdot 10^3$. En su cuaderno escribe el siguiente desarrollo:

1. a) Identifica y explica los dos errores conceptuales que ha cometido Marcos (uno en las propiedades de las potencias y otro al ajustar la mantisa a la definición de notación científica).
2. b) Muestra el procedimiento correcto paso a paso y escribe el resultado definitivo en notación científica.

Calcula las siguientes sumas y restas que tienen el mismo exponente en la potencia de $10$:

1. a) $4,2 \cdot 10^5 + 3,1 \cdot 10^5$
2. b) $8,7 \cdot 10^{-3} - 2,5 \cdot 10^{-3}$
3. c) $5,5 \cdot 10^8 + 4,5 \cdot 10^8$

Para calcular el valor exacto de la expresión:

tres estudiantes proponen estrategias distintas:

• Estrategia A (Elena): Convertir los tres sumandos a notación decimal con todos sus ceros a la izquierda, sumarlos y restarlos en columna, y finalmente pasar el resultado a notación científica.

• Estrategia B (Bernat): Transformar todos los términos para que compartan la potencia del término mayor ($10^{-4}$), sacar factor común a esa potencia, operar las mantisas y reajustar si fuera necesario.

• Estrategia C (Clara): Transformar todos los términos a la potencia del menor exponente ($10^{-6}$), operar las mantisas enteras resultantes y luego reajustar a notación científica.

1. a) Resuelve la operación siguiendo la Estrategia B y expresa el resultado en notación científica.
2. b) Evalúa críticamente la Estrategia A: ¿qué riesgos matemáticos y prácticos conlleva al trabajar con exponentes muy pequeños o muy grandes?
3. c) Compara la Estrategia B y la Estrategia C: ¿cuál de las dos minimiza la probabilidad de tener que reajustar la mantisa al final para que quede en el intervalo $[1, 10)$? Justifica cuál recomendarías utilizar de forma general.

Efectúa la siguiente operación combinada con sumas y restas en el numerador y denominador. Expresa el resultado final estrictamente en notación científica:

$\frac{3,6 \cdot 10^{12} + 4,1 \cdot 10^{11}}{2 \cdot 10^{-3} - 5 \cdot 10^{-4}}$

Un glóbulo rojo humano tiene un diámetro aproximado de $7,5 \cdot 10^{-6}$ metros. Si en un experimento de laboratorio lográramos alinear $4 \cdot 10^6$ glóbulos rojos uno tras otro, ¿qué longitud en metros alcanzaría la fila? Expresa el resultado en notación científica y en formato decimal ordinario.

El Producto Interno Bruto (PIB) de un país europeo asciende a $1,2 \cdot 10^{12}$ bolivianos. Si la población total del país es de $4 \cdot 10^7$ habitantes, ¿cuál es el PIB per cápita (bolivianos por habitante)? Expresa el resultado en notación científica y en bolivianos ordinarios.

Un embalse de agua para consumo humano contiene $4,5 \cdot 10^3$ hectómetros cúbicos ($hm^3$). Sabiendo que $1$ $hm^3$ equivale a $10^9$ litros, expresa la capacidad total del embalse en litros utilizando notación científica. Si la ciudad a la que abastece consume $5 \cdot 10^7$ litros de agua diariamente, ¿para cuántos días hay reservas suficientes?

Calcula las siguientes sumas y restas con distinto exponente, ajustando primero las potencias de $10$ para que coincidan. Expresa el resultado en notación científica:

1. a) $3,5 \cdot 10^6 + 4,2 \cdot 10^5$
2. b) $7,1 \cdot 10^{-4} - 5 \cdot 10^{-5}$

Resuelve la siguiente operación combinada respetando la jerarquía de las operaciones y da el resultado final ajustado en notación científica:

$\frac{(4,2 \cdot 10^5) \cdot (2 \cdot 10^{-3})}{3 \cdot 10^4}$

Plantea y resuelve la siguiente ecuación de primer grado en la que los coeficientes están expresados en notación científica. Despeja la incógnita $x$ y expresa su valor en notación científica:

$(2,5 \cdot 10^4) \cdot x + 3 \cdot 10^5 = 1,8 \cdot 10^6$

Para realizar estimaciones astronómicas, la Tierra se puede aproximar a una esfera perfecta con un radio $R = 6,37 \cdot 10^3$ km. Sabiendo que el volumen de una esfera se calcula mediante la fórmula $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, calcula el volumen de la Tierra en $km^3$. Expresa el resultado final en notación científica redondeando a dos cifras decimales. (Usa $\pi \approx 3,14$).

La energía cinética ($E_c$) de un cuerpo en movimiento se calcula con la expresión $E_c = \frac{1}{2} m v^2$, donde $m$ es la masa en kg y $v$ es la velocidad en m/s. Calcula la energía cinética de un asteroide de masa $m = 4,5 \cdot 10^{14}$ kg que viaja por el espacio a una velocidad de $v = 2 \cdot 10^4$ m/s. Expresa el resultado en Julios (J) usando notación científica.

La Ley de Gravitación Universal de Newton establece que la fuerza de atracción entre dos cuerpos viene dada por $F = G \frac{m_1 \cdot m_2}{d^2}$.

Sabiendo que la constante de gravitación es $G = 6,67 \cdot 10^{-11}$ $N \cdot m^2/kg^2$, la masa de la Tierra es $m_1 = 5,97 \cdot 10^{24}$ kg, la masa de la Luna es $m_2 = 7,35 \cdot 10^{22}$ kg y la distancia media entre sus centros es $d = 3,84 \cdot 10^8$ m, calcula la fuerza de gravedad $F$ en Newtons ($N$). Expresa el resultado en notación científica redondeando a dos cifras decimales.

En física de partículas se sabe que la masa de un electrón es aproximadamente $9,1 \cdot 10^{-31}$ kg y la masa de un protón es unos $1,67 \cdot 10^{-27}$ kg. Calcula cuántas veces es más masivo un protón que un electrón. Expresa la solución en notación científica con dos cifras decimales.

Un video recién subido tiene $5 \cdot 10^4$ visualizaciones y se observa que esa cifra se duplica cada día. Si el crecimiento sigue el modelo $V = V_0 \cdot 2^t$ (donde $t$ son los días), ¿cuántas visualizaciones habrá al cabo de $10$ días? Expresa el resultado final en notación científica. (Dato de ayuda: $2^{10} = 1024$).

Un vaso contiene exactamente $18$ gramos de agua pura ($H_2O$). En química, se sabe que $18$ gramos equivalen a $1$ mol de agua y que $1$ mol de cualquier sustancia contiene el Número de Avogadro ($6,022 \cdot 10^{23}$) de moléculas. A partir de estos datos, calcula la masa en kilogramos de una sola molécula de agua. Expresa el resultado final en notación científica.

Se conocen dos números $A$ y $B$ expresados rigurosamente en notación científica: $A = m \cdot 10^x$ y $B = k \cdot 10^y$, donde las mantisas $m$ y $k$ son números naturales ($m, k \in \{1, 2, 3, \dots, 9\}$) y los órdenes de magnitud $x$ e $y$ son números enteros ($x, y \in \mathbb{Z}$).

Se sabe que:

• Su producto es $A \cdot B = 2,4 \cdot 10^{11}$.

• Su cociente es $\frac{A}{B} = 1,5 \cdot 10^4$.

1. a) Plantea las relaciones que deben cumplir las mantisas $m$ y $k$ y los exponentes $x$ e $y$, teniendo en cuenta si el producto $m \cdot k$ o el cociente $\frac{m}{k}$ requieren reajustar la potencia de $10$.
2. b) Deduce analíticamente el único par de números naturales $(m, k)$ que satisface ambas condiciones simultáneamente dentro de la notación científica. Explica por qué se descartan otras parejas que también cumplen $\frac{m}{k} = 1,5$.
3. c) Calcula los valores enteros de $x$ e $y$, y escribe explícitamente los números $A$ y $B$.

Durante un episodio de lluvias torrenciales en el este peninsular, la Agencia Estatal de Meteorología (AEMET) registró una precipitación acumulada de $180\text{ litros}$ por metro cuadrado sobre una comarca cuya cuenca hidrográfica tiene una superficie de $1,2 \cdot 10^3\text{ km}^2$.

1. a) Sabiendo que $1\text{ km}^2 = 10^6\text{ m}^2$ y que $1\text{ m}^3 = 10^3\text{ litros}$, calcula el volumen total de agua caída sobre la cuenca en metros cúbicos y exprésalo en notación científica.
2. b) Los modelos hidrológicos estiman que el $60\,\%$ de esa agua caída escurre hacia el cauce del río principal (el resto se infiltra o evapora). Si el río tiene una capacidad máxima de desagüe seguro de $4,5 \cdot 10^2\text{ m}^3/\text{s}$ antes de desbordarse, calcula cuántas horas tardaría el cauce en evacuar dicho volumen si fluyera de manera ininterrumpida a su caudal máximo.
3. c) Si la tormenta descargó todo ese volumen de agua en un intervalo de tan solo $6\text{ horas}$ y se supone que la escorrentía llega al cauce durante esas mismas horas, sin retenciones en la cuenca, compara este tiempo con el resultado obtenido en el apartado anterior y justifica matemáticamente por qué una inundación de gran magnitud resultaba físicamente inevitable, sin necesidad de conocer la orografía detallada de la zona.