Combinaciones: selecciones sin ordenación
En el campeonato interno de fútbol de tu colegio en El Alto juegan $8$ equipos y todos se enfrentan una sola vez contra todos. ¿Cuántos partidos hay que programar? ¿Y si te dicen que hubo $45$ partidos, cuántos equipos se anotaron? Para responder necesitas una herramienta que cuente grupos sin importar el orden: el número combinatorio.
El número combinatorio
Cuando eliges $k$ elementos de un total de $n$ y no importa el orden en que los eliges, cada grupo se cuenta una sola vez. A esa cantidad se la llama número combinatorio.
Su porqué: si importara el orden, habría $V_{n,k}$ selecciones. Pero cada grupo de $k$ elementos aparece $k!$ veces (una por cada orden posible). Por eso se divide por $k!$.
Para preparar una ensalada, dispones de $8$ ingredientes diferentes (lechuga, tomate, zanahoria, cebolla, pepino, atún, maíz y aceitunas). Calcula cuántas ensaladas…
Para preparar una ensalada, dispones de $8$ ingredientes diferentes (lechuga, tomate, zanahoria, cebolla, pepino, atún, maíz y aceitunas). Calcula cuántas ensaladas distintas de $4$ ingredientes puedes elaborar.
De una baraja española de $40$ cartas, se extraen simultáneamente $3$ cartas al azar. Determina cuántos resultados distintos se pueden obtener.
De una baraja española de $40$ cartas, se extraen simultáneamente $3$ cartas al azar. Determina cuántos resultados distintos se pueden obtener.
Para la asignatura de Lenguaje y Literatura de 4° de secundaria, el profesor ofrece una lista de 7 lecturas recomendadas, de las cuales cada estudiante debe elegir 3…
Para la asignatura de Lenguaje y Literatura de 4° de secundaria, el profesor ofrece una lista de 7 lecturas recomendadas, de las cuales cada estudiante debe elegir 3 para realizar un trabajo durante el trimestre. Sergio afirma con seguridad: «Para elegir el primer libro tengo 7 opciones; para el segundo, 6; y para el tercero, 5. Por tanto, en total hay $7 \cdot 6 \cdot 5 = 210$ formas posibles de elegir mis 3 lecturas».
- a) Identifica el error conceptual cometido por Sergio y explica por qué su cálculo genera un número mucho mayor que las elecciones reales.
- b) ¿Cuántas veces está contando Sergio cada posible grupo de 3 libros? Relaciona tu respuesta con las permutaciones de esos 3 elementos.
- c) Escribe la fórmula correcta utilizando la notación del número combinatorio $\binom{n}{k}$ y calcula cuántas selecciones distintas de 3 libros se pueden hacer realmente.
Contar parejas
Muchas situaciones son en el fondo «elegir $2$ de $n$»: partidos de un torneo, saludos, segmentos entre puntos. En todas, la pareja $(A, B)$ es la misma que $(B, A)$.
$$\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$$En un torneo de ajedrez participan $14$ jugadores. Si cada jugador debe enfrentarse una sola vez a todos los demás, determina el número total de partidas que se…
En un torneo de ajedrez participan $14$ jugadores. Si cada jugador debe enfrentarse una sola vez a todos los demás, determina el número total de partidas que se disputarán en el torneo.
En una reunión de trabajo hay $12$ personas. Al finalizar, todos se despiden estrechándose la mano una sola vez. Calcula cuántos apretones de manos se producen en total.
En una reunión de trabajo hay $12$ personas. Al finalizar, todos se despiden estrechándose la mano una sola vez. Calcula cuántos apretones de manos se producen en total.
Calcula el número total de diagonales que se pueden trazar en un polígono regular de $10$ lados (decágono).
Calcula el número total de diagonales que se pueden trazar en un polígono regular de $10$ lados (decágono).
Propiedades y triángulo de Tartaglia
Algunos números combinatorios se calculan sin hacer cuentas. Se explican con el significado de «elegir».
Las filas del triángulo de Tartaglia son justamente los números combinatorios: la fila $n$ contiene $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \dots, \binom{n}{n}$.
Regularidades del triángulo
Mira las primeras filas del triángulo (la fila $0$ es el $1$ de arriba):
| Fila | Números | Suma |
|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 1 | 2 |
| 2 | 1 2 1 | 4 |
| 3 | 1 3 3 1 | 8 |
| 4 | 1 4 6 4 1 | 16 |
| 5 | 1 5 10 10 5 1 | 32 |
-
Pares e impares. Si pintas los números pares de un color y los impares de otro (es decir, miras los restos al dividir por $2$), aparecen triangulitos que se repiten: es una figura que se parece a sí misma. Lo mismo ocurre con los múltiplos de $3$, de $5$, etc.
-
Segunda diagonal. Los números $\binom{n}{1}$ son $1, 2, 3, 4, \dots$: los naturales.
-
Tercera diagonal. Los números $\binom{n}{2}$ son $1, 3, 6, 10, 15, \dots$. Cuentan las parejas que se pueden formar con $n$ elementos: por ejemplo, $\binom{5}{2} = 10$ son los apretones de manos entre $5$ personas.
Un examen consta de $10$ preguntas. El profesor indica que los alumnos deben elegir y responder únicamente $6$ de ellas. Determina de cuántas formas distintas puede un…
Un examen consta de $10$ preguntas. El profesor indica que los alumnos deben elegir y responder únicamente $6$ de ellas. Determina de cuántas formas distintas puede un alumno seleccionar las preguntas a responder.
Halla el valor de $x$ en la siguiente igualdad entre números combinatorios, sabiendo que $x \neq 4$: $\binom{x}{4} = \binom{x}{7}$
Halla el valor de $x$ en la siguiente igualdad entre números combinatorios, sabiendo que $x \neq 4$:
$\binom{x}{4} = \binom{x}{7}$
Calcula el valor de la siguiente expresión utilizando las propiedades de los números combinatorios: $\binom{8}{3} + \binom{8}{4}$
Calcula el valor de la siguiente expresión utilizando las propiedades de los números combinatorios:
$\binom{8}{3} + \binom{8}{4}$
Selecciones con condiciones
Si el grupo debe tener cantidades fijas de cada tipo, se cuenta cada bloque por separado y se multiplica. Por ejemplo, con $6$ estudiantes de 4.° A y $8$ de 4.° B, ¿cuántas comisiones hay con $2$ de uno y $3$ del otro?
Una empresa necesita formar un equipo de proyecto compuesto por $3$ ingenieros y $2$ economistas. Si en la plantilla hay $8$ ingenieros y $5$ economistas disponibles,…
Una empresa necesita formar un equipo de proyecto compuesto por $3$ ingenieros y $2$ economistas. Si en la plantilla hay $8$ ingenieros y $5$ economistas disponibles, calcula cuántos equipos distintos se pueden formar.
En un cuestionario de $12$ preguntas, debes contestar obligatoriamente un total de $8$. Sin embargo, las $3$ primeras preguntas son de respuesta obligatoria. Determina…
En un cuestionario de $12$ preguntas, debes contestar obligatoriamente un total de $8$. Sin embargo, las $3$ primeras preguntas son de respuesta obligatoria. Determina de cuántas formas diferentes puedes completar tu selección de preguntas.
Se extraen $5$ cartas simultáneamente de una baraja española de $40$ cartas (dividida en $4$ palos de $10$ cartas cada uno). Determina en cuántos de los resultados…
Se extraen $5$ cartas simultáneamente de una baraja española de $40$ cartas (dividida en $4$ palos de $10$ cartas cada uno). Determina en cuántos de los resultados posibles hay exactamente $3$ cartas del palo de oros.
«Al menos»: casos o complemento
Cuando dicen «al menos uno», hay dos caminos seguros.
-
Por casos: sumas los casos disjuntos («exactamente $1$», «exactamente $2$», …).
-
Por complemento: al total le restas los casos que no cumplen.
Un hospital debe formar un equipo de guardia nocturna de $5$ personas, seleccionado de un grupo de $7$ médicos y $6$ enfermeros. Calcula cuántos equipos distintos se…
Un hospital debe formar un equipo de guardia nocturna de $5$ personas, seleccionado de un grupo de $7$ médicos y $6$ enfermeros. Calcula cuántos equipos distintos se pueden formar si la normativa exige que el equipo contenga al menos $3$ médicos.
En una cuadrícula formada por $9$ puntos distribuidos en $3$ filas y $3$ columnas, determina cuántos triángulos distintos se pueden formar utilizando estos puntos como…
En una cuadrícula formada por $9$ puntos distribuidos en $3$ filas y $3$ columnas, determina cuántos triángulos distintos se pueden formar utilizando estos puntos como vértices. Ten en cuenta que tres puntos alineados no forman un triángulo.
Una urna contiene $6$ bolas rojas, $5$ bolas azules y $4$ bolas verdes. Se extraen $4$ bolas simultáneamente. Calcula cuántos resultados distintos contienen exactamente…
Una urna contiene $6$ bolas rojas, $5$ bolas azules y $4$ bolas verdes. Se extraen $4$ bolas simultáneamente. Calcula cuántos resultados distintos contienen exactamente $2$ bolas rojas y al menos $1$ bola azul.
Caminos en una cuadrícula
Un repartidor en bicicleta por las cuadras de Cochabamba (o un robot) va de $A$ a $B$ moviéndose solo hacia la derecha (D) o hacia arriba (U). Cada camino es una lista de pasos, por ejemplo D D U D U.
Aquí todo camino tiene $5 + 3 = 8$ pasos. Alcanza con decidir en cuáles $3$ de los $8$ lugares va «arriba»: los otros $5$ son «derecha».
Un robot se desplaza por una cuadrícula desde el punto $A$ hasta el punto $B$. Solo puede realizar movimientos hacia la derecha o hacia arriba, avanzando una…
Un robot se desplaza por una cuadrícula desde el punto $A$ hasta el punto $B$. Solo puede realizar movimientos hacia la derecha o hacia arriba, avanzando una intersección en cada paso. Calcula el número de trayectorias distintas que puede seguir.
Un robot se desplaza por una cuadrícula desde el nodo $A$ hasta el nodo $B$, moviéndose únicamente hacia la derecha y hacia arriba. Debe pasar obligatoriamente por el…
Un robot se desplaza por una cuadrícula desde el nodo $A$ hasta el nodo $B$, moviéndose únicamente hacia la derecha y hacia arriba. Debe pasar obligatoriamente por el nodo $C$ para recoger un paquete. Determina cuántas rutas válidas existen.
En el trazado ortogonal del centro de la ciudad de Cochabamba, un repartidor de paquetería en bicicleta debe desplazarse desde el cruce A hasta el cruce B. Para…
En el trazado ortogonal del centro de la ciudad de Cochabamba, un repartidor de paquetería en bicicleta debe desplazarse desde el cruce A hasta el cruce B. Para optimizar su ruta, el repartidor únicamente avanza hacia el este o hacia el norte en cada cruce, requiriendo un trayecto exacto de 5 cuadras hacia el este y 3 cuadras hacia el norte (un total de 8 cuadras de desplazamiento).
- a) Modela el trayecto mediante combinatoria: explica por qué cualquier ruta óptima de 8 cuadras equivale a elegir los turnos de avance en una de las dos direcciones y calcula cuántas rutas distintas unen A con B mediante la expresión $\binom{m+p}{m}$.
- b) La Alcaldía ha cerrado por obras el cruce intermedio C, situado exactamente a 2 cuadras al este y 1 cuadra al norte del punto A. Modela cuántas de las rutas posibles pasarían forzosamente por el cruce C y deduce cuántas rutas alternativas libres de obras quedan disponibles para el repartidor.
- c) Supón que el repartidor debe entregar obligatoriamente un paquete urgente en el cruce D (ubicado a 4 cuadras al este y 2 al norte de A) y que el cruce C continúa cerrado. Plantea y calcula la expresión combinatoria que determina cuántas rutas distintas permiten ir de A hasta B pasando obligatoriamente por D pero evitando en todo momento el cruce cortado C.
Combinaciones con repetición
En una salteñería quieres llevar $5$ salteñas y hay $3$ sabores (carne, pollo y charque). Puedes repetir sabores y el orden no importa: importa solo cuántas de cada uno. Eso es una combinación con repetición, $CR_{n,k}$: elegir $k$ unidades entre $n$ tipos.
Un truco para contarlas: representa cada pedido con $k$ círculos (las unidades) y $n-1$ barras que separan los tipos. Por ejemplo, $8$ entradas entre $4$ amigos, con reparto $2$, $3$, $0$, $3$:
Hay $k + (n-1)$ lugares en total, y alcanza con elegir cuáles son las barras (o los círculos).
En una pastelería se venden $6$ tipos diferentes de pasteles. Determina de cuántas formas distintas se pueden comprar $4$ pasteles, teniendo en cuenta que se pueden…
En una pastelería se venden $6$ tipos diferentes de pasteles. Determina de cuántas formas distintas se pueden comprar $4$ pasteles, teniendo en cuenta que se pueden elegir varios del mismo tipo.
Dispones de $8$ entradas idénticas para un concierto y quieres repartirlas entre tus $4$ mejores amigos. Calcula de cuántas formas puedes distribuirlas, sabiendo que a…
Dispones de $8$ entradas idénticas para un concierto y quieres repartirlas entre tus $4$ mejores amigos. Calcula de cuántas formas puedes distribuirlas, sabiendo que a un amigo le pueden tocar varias entradas o incluso ninguna.
En una heladería ofrecen $5$ sabores diferentes. Quieres comprar $8$ tarrinas de helado para una fiesta, pero deseas asegurarte de llevar al menos una tarrina de cada…
En una heladería ofrecen $5$ sabores diferentes. Quieres comprar $8$ tarrinas de helado para una fiesta, pero deseas asegurarte de llevar al menos una tarrina de cada uno de los $5$ sabores. Calcula de cuántas formas distintas puedes hacer tu pedido.
Ecuaciones combinatorias
Si la incógnita está en el número combinatorio, desarrolla el factorial, simplifica y resuelve la ecuación que queda (muchas veces de segundo grado, con la fórmula general).
Resuelve la siguiente ecuación para encontrar el valor del número natural $n$: $C_{n, 2} = 45$
Resuelve la siguiente ecuación para encontrar el valor del número natural $n$:
$C_{n, 2} = 45$
Encuentra el valor de $x$ que satisface la siguiente ecuación combinatoria: $\binom{x}{2} + \binom{x-1}{2} = 25$
Encuentra el valor de $x$ que satisface la siguiente ecuación combinatoria:
$\binom{x}{2} + \binom{x-1}{2} = 25$
En un torneo regional de pádel federado en Castilla-La Mancha, la fase previa se disputa por grupos independientes. En cada grupo, todas las parejas inscritas juegan…
En un torneo regional de pádel federado en Castilla-La Mancha, la fase previa se disputa por grupos independientes. En cada grupo, todas las parejas inscritas juegan exactamente un partido contra cada una de las demás parejas de su mismo grupo (sistema de liga a una sola vuelta). Al cerrar el acta de la fase previa, la organización confirma que en el Grupo A se han disputado exactamente 45 partidos en total.
- a) Escribe una ecuación combinatoria utilizando la notación $\binom{n}{k}$ donde intervenga el número desconocido $n$ de parejas inscritas en el Grupo A.
- b) Desarrolla algebraicamente el número combinatorio para transformar la igualdad en una ecuación de segundo grado en forma general.
- c) Resuelve la ecuación, analiza las dos soluciones obtenidas descartando razonadamente la que carezca de sentido en este contexto e indica cuántas parejas competían en dicho grupo.