Ejercicios: Notación científica

Escribe en notación científica los siguientes números decimales:

1. a) $450 000 000$
2. b) $0,000000032$
3. c) $12 500$
4. d) $0,000105$

Expresa en notación decimal ordinaria los siguientes números dados en notación científica:

1. a) $3,4 \cdot 10^5$
2. b) $1,89 \cdot 10^{-4}$
3. c) $7 \cdot 10^8$
4. d) $5,02 \cdot 10^{-6}$

Indica cuáles de los siguientes números no están correctamente escritos en notación científica y escríbelos de forma correcta:

1. a) $45,2 \cdot 10^3$
2. b) $0,8 \cdot 10^{-2}$
3. c) $3,1 \cdot 10^5$
4. d) $12 \cdot 10^{-4}$

Realiza las siguientes multiplicaciones agrupando los números y las potencias de base $10$. Expresa el resultado final en notación científica:

1. a) $(3 \cdot 10^4) \cdot (2 \cdot 10^5)$
2. b) $(4 \cdot 10^{-3}) \cdot (2 \cdot 10^{-4})$
3. c) $(5 \cdot 10^6) \cdot (3 \cdot 10^{-2})$

Efectúa las siguientes divisiones y da el resultado en notación científica:

1. a) $(8 \cdot 10^7) : (2 \cdot 10^3)$
2. b) $(9 \cdot 10^{-4}) : (3 \cdot 10^{-2})$
3. c) $(1,5 \cdot 10^5) : (3 \cdot 10^8)$

Calcula las siguientes sumas y restas que tienen el mismo exponente en la potencia de $10$:

1. a) $4,2 \cdot 10^5 + 3,1 \cdot 10^5$
2. b) $8,7 \cdot 10^{-3} - 2,5 \cdot 10^{-3}$
3. c) $5,5 \cdot 10^8 + 4,5 \cdot 10^8$

Ordena de menor a mayor los siguientes números escritos en notación científica:

$A = 3,2 \cdot 10^4$

$B = 4,1 \cdot 10^{-3}$

$C = 1,5 \cdot 10^4$

$D = 8,9 \cdot 10^{-4}$

$E = 2 \cdot 10^5$

Determina el orden de magnitud (la potencia de $10$ más cercana) de las siguientes cantidades expresadas en notación científica:

1. a) $4,8 \cdot 10^6$
2. b) $1,1 \cdot 10^{-5}$
3. c) $9,2 \cdot 10^{12}$
4. d) $2,5 \cdot 10^{-8}$

Marcos está resolviendo un ejercicio de laboratorio en el que debe calcular el producto de dos magnitudes: $A = 4 \cdot 10^5$ y $B = 3,5 \cdot 10^3$. En su cuaderno escribe el siguiente desarrollo:

1. a) Identifica y explica los dos errores conceptuales que ha cometido Marcos (uno en las propiedades de las potencias y otro al ajustar la mantisa a la definición de notación científica).
2. b) Muestra el procedimiento correcto paso a paso y escribe el resultado definitivo en notación científica.

Se desea calcular cuántas veces es mayor la distancia media de la Tierra a la Luna ($d_L = 3,84 \cdot 10^5\text{ km}$) que la longitud del ecuador terrestre ($L_E = 4,0 \cdot 10^4\text{ km}$).

1. a) Estima: Antes de realizar cualquier cálculo exacto, redondea la mantisa de $d_L$ al entero más próximo y calcula mentalmente el orden de magnitud aproximado del cociente $\frac{d_L}{L_E}$ (es decir, a cuántas vueltas completas al ecuador equivale aproximadamente un viaje a la Luna).
2. b) Calcula: Realiza ahora la división con los datos exactos aplicando las propiedades de la notación científica.
3. c) Comprueba: Compara el valor obtenido con tu estimación inicial y razona si tu resultado es coherente y físicamente verosímil.

Calcula las siguientes sumas y restas con distinto exponente, ajustando primero las potencias de $10$ para que coincidan. Expresa el resultado en notación científica:

1. a) $3,5 \cdot 10^6 + 4,2 \cdot 10^5$
2. b) $7,1 \cdot 10^{-4} - 5 \cdot 10^{-5}$

Un glóbulo rojo humano tiene un diámetro aproximado de $7,5 \cdot 10^{-6}$ metros. Si en un experimento de laboratorio lográramos alinear $4 \cdot 10^6$ glóbulos rojos uno tras otro, ¿qué longitud en metros alcanzaría la fila? Expresa el resultado en notación científica y en formato decimal ordinario.

La distancia media de la Tierra al Sol es de unos $1,5 \cdot 10^8$ km y la velocidad de la luz en el vacío es de $3 \cdot 10^5$ km/s. Utilizando la fórmula del movimiento rectilíneo uniforme ($t = \frac{d}{v}$), ¿cuántos segundos tarda la luz del Sol en llegar a la Tierra? Expresa el resultado en notación científica y luego conviértelo a minutos.

Un disco duro externo tiene una capacidad de almacenamiento de $2$ Terabytes (TB). Si una fotografía de alta resolución ocupa un promedio de $4 \cdot 10^6$ bytes, ¿cuántas fotografías se pueden almacenar como máximo en este disco duro?

Dato: Considera que $1$ TB equivale a $10^{12}$ bytes.

El Producto Interno Bruto (PIB) de un país europeo asciende a $1,2 \cdot 10^{12}$ bolivianos. Si la población total del país es de $4 \cdot 10^7$ habitantes, ¿cuál es el PIB per cápita (bolivianos por habitante)? Expresa el resultado en notación científica y en bolivianos ordinarios.

En física de partículas se sabe que la masa de un electrón es aproximadamente $9,1 \cdot 10^{-31}$ kg y la masa de un protón es unos $1,67 \cdot 10^{-27}$ kg. Calcula cuántas veces es más masivo un protón que un electrón. Expresa la solución en notación científica con dos cifras decimales.

Resuelve la siguiente operación combinada respetando la jerarquía de las operaciones y da el resultado final ajustado en notación científica:

$\frac{(4,2 \cdot 10^5) \cdot (2 \cdot 10^{-3})}{3 \cdot 10^4}$

Un embalse de agua para consumo humano contiene $4,5 \cdot 10^3$ hectómetros cúbicos ($hm^3$). Sabiendo que $1$ $hm^3$ equivale a $10^9$ litros, expresa la capacidad total del embalse en litros utilizando notación científica. Si la ciudad a la que abastece consume $5 \cdot 10^7$ litros de agua diariamente, ¿para cuántos días hay reservas suficientes?

Según datos del Instituto Nacional de Estadística (INE), el consumo medio de agua en los hogares españoles es de aproximadamente $133\text{ litros}$ por habitante y día. En España residen alrededor de $4,8 \cdot 10^7$ personas.

1. a) Expresa el consumo de una persona en un día en metros cúbicos ($1\text{ m}^3 = 10^3\text{ litros}$) utilizando la notación científica.
2. b) Calcula el volumen total de agua consumido en los hogares de toda España durante un año no bisiesto ($3,65 \cdot 10^2\text{ días}$). Expresa el resultado en metros cúbicos en notación científica.
3. c) El embalse de Alarcón tiene una capacidad máxima aproximada de $1,1 \cdot 10^9\text{ m}^3$. ¿Cuántos embalses como este se necesitarían para abastecer el consumo doméstico anual español? Redondea a las décimas y explica brevemente la importancia del ahorro doméstico ante este volumen.

Para calcular el valor exacto de la expresión:

tres estudiantes proponen estrategias distintas:

• Estrategia A (Elena): Convertir los tres sumandos a notación decimal con todos sus ceros a la izquierda, sumarlos y restarlos en columna, y finalmente pasar el resultado a notación científica.

• Estrategia B (Bernat): Transformar todos los términos para que compartan la potencia del término mayor ($10^{-4}$), sacar factor común a esa potencia, operar las mantisas y reajustar si fuera necesario.

• Estrategia C (Clara): Transformar todos los términos a la potencia del menor exponente ($10^{-6}$), operar las mantisas enteras resultantes y luego reajustar a notación científica.

1. a) Resuelve la operación siguiendo la Estrategia B y expresa el resultado en notación científica.
2. b) Evalúa críticamente la Estrategia A: ¿qué riesgos matemáticos y prácticos conlleva al trabajar con exponentes muy pequeños o muy grandes?
3. c) Compara la Estrategia B y la Estrategia C: ¿cuál de las dos minimiza la probabilidad de tener que reajustar la mantisa al final para que quede en el intervalo $[1, 10)$? Justifica cuál recomendarías utilizar de forma general.

Para realizar estimaciones astronómicas, la Tierra se puede aproximar a una esfera perfecta con un radio $R = 6,37 \cdot 10^3$ km. Sabiendo que el volumen de una esfera se calcula mediante la fórmula $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, calcula el volumen de la Tierra en $km^3$. Expresa el resultado final en notación científica redondeando a dos cifras decimales. (Usa $\pi \approx 3,14$).

Efectúa la siguiente operación combinada con sumas y restas en el numerador y denominador. Expresa el resultado final estrictamente en notación científica:

$\frac{3,6 \cdot 10^{12} + 4,1 \cdot 10^{11}}{2 \cdot 10^{-3} - 5 \cdot 10^{-4}}$

Plantea y resuelve la siguiente ecuación de primer grado en la que los coeficientes están expresados en notación científica. Despeja la incógnita $x$ y expresa su valor en notación científica:

$(2,5 \cdot 10^4) \cdot x + 3 \cdot 10^5 = 1,8 \cdot 10^6$

La energía cinética ($E_c$) de un cuerpo en movimiento se calcula con la expresión $E_c = \frac{1}{2} m v^2$, donde $m$ es la masa en kg y $v$ es la velocidad en m/s. Calcula la energía cinética de un asteroide de masa $m = 4,5 \cdot 10^{14}$ kg que viaja por el espacio a una velocidad de $v = 2 \cdot 10^4$ m/s. Expresa el resultado en Julios (J) usando notación científica.

Un video recién subido tiene $5 \cdot 10^4$ visualizaciones y se observa que esa cifra se duplica cada día. Si el crecimiento sigue el modelo $V = V_0 \cdot 2^t$ (donde $t$ son los días), ¿cuántas visualizaciones habrá al cabo de $10$ días? Expresa el resultado final en notación científica. (Dato de ayuda: $2^{10} = 1024$).

La Ley de Gravitación Universal de Newton establece que la fuerza de atracción entre dos cuerpos viene dada por $F = G \frac{m_1 \cdot m_2}{d^2}$.

Sabiendo que la constante de gravitación es $G = 6,67 \cdot 10^{-11}$ $N \cdot m^2/kg^2$, la masa de la Tierra es $m_1 = 5,97 \cdot 10^{24}$ kg, la masa de la Luna es $m_2 = 7,35 \cdot 10^{22}$ kg y la distancia media entre sus centros es $d = 3,84 \cdot 10^8$ m, calcula la fuerza de gravedad $F$ en Newtons ($N$). Expresa el resultado en notación científica redondeando a dos cifras decimales.

Un vaso contiene exactamente $18$ gramos de agua pura ($H_2O$). En química, se sabe que $18$ gramos equivalen a $1$ mol de agua y que $1$ mol de cualquier sustancia contiene el Número de Avogadro ($6,022 \cdot 10^{23}$) de moléculas. A partir de estos datos, calcula la masa en kilogramos de una sola molécula de agua. Expresa el resultado final en notación científica.

Un centro de investigación necesita transferir una copia de seguridad masiva de $4,5$ Petabytes (PB) a un servidor en otra ciudad. La conexión de fibra óptica dedicada permite transferir datos a una velocidad constante de $3 \cdot 10^8$ bytes por segundo. Sabiendo que $1$ PB equivale a $10^{15}$ bytes, calcula cuántos días completos (y fracción de día si es necesario) tardará en finalizar la transferencia. Muestra los cálculos intermedios en notación científica.

Se conocen dos números $A$ y $B$ expresados rigurosamente en notación científica: $A = m \cdot 10^x$ y $B = k \cdot 10^y$, donde las mantisas $m$ y $k$ son números naturales ($m, k \in \{1, 2, 3, \dots, 9\}$) y los órdenes de magnitud $x$ e $y$ son números enteros ($x, y \in \mathbb{Z}$).

Se sabe que:

• Su producto es $A \cdot B = 2,4 \cdot 10^{11}$.

• Su cociente es $\frac{A}{B} = 1,5 \cdot 10^4$.

1. a) Plantea las relaciones que deben cumplir las mantisas $m$ y $k$ y los exponentes $x$ e $y$, teniendo en cuenta si el producto $m \cdot k$ o el cociente $\frac{m}{k}$ requieren reajustar la potencia de $10$.
2. b) Deduce analíticamente el único par de números naturales $(m, k)$ que satisface ambas condiciones simultáneamente dentro de la notación científica. Explica por qué se descartan otras parejas que también cumplen $\frac{m}{k} = 1,5$.
3. c) Calcula los valores enteros de $x$ e $y$, y escribe explícitamente los números $A$ y $B$.

Durante un episodio de lluvias torrenciales en el este peninsular, la Agencia Estatal de Meteorología (AEMET) registró una precipitación acumulada de $180\text{ litros}$ por metro cuadrado sobre una comarca cuya cuenca hidrográfica tiene una superficie de $1,2 \cdot 10^3\text{ km}^2$.

1. a) Sabiendo que $1\text{ km}^2 = 10^6\text{ m}^2$ y que $1\text{ m}^3 = 10^3\text{ litros}$, calcula el volumen total de agua caída sobre la cuenca en metros cúbicos y exprésalo en notación científica.
2. b) Los modelos hidrológicos estiman que el $60\,\%$ de esa agua caída escurre hacia el cauce del río principal (el resto se infiltra o evapora). Si el río tiene una capacidad máxima de desagüe seguro de $4,5 \cdot 10^2\text{ m}^3/\text{s}$ antes de desbordarse, calcula cuántas horas tardaría el cauce en evacuar dicho volumen si fluyera de manera ininterrumpida a su caudal máximo.
3. c) Si la tormenta descargó todo ese volumen de agua en un intervalo de tan solo $6\text{ horas}$ y se supone que la escorrentía llega al cauce durante esas mismas horas, sin retenciones en la cuenca, compara este tiempo con el resultado obtenido en el apartado anterior y justifica matemáticamente por qué una inundación de gran magnitud resultaba físicamente inevitable, sin necesidad de conocer la orografía detallada de la zona.