Ejercicios: Sistemas de ecuaciones no lineales

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineales:

$y = x^2 - 4x$

$y = x - 6$

Encuentra la solución del sistema:

$x + y = 7$

$x \cdot y = 12$

Resuelve el sistema formado por una ecuación lineal y una cuadrática:

$x - y = 2$

$x^2 + y^2 = 34$

El producto de dos números enteros positivos es $156$ y uno de ellos es el consecutivo del otro. Plantea un sistema de ecuaciones y encuentra dichos números.

El área de una alfombra rectangular es de $6 \text{ m}^2$ y su perímetro mide $10 \text{ m}$. Plantea un sistema de ecuaciones no lineales y calcula las dimensiones de la alfombra.

Resuelve el siguiente sistema:

$x^2 - y^2 = 16$

$x + y = 8$

La suma de los cuadrados de dos números es $25$, y uno de ellos es $1$ unidad menor que el otro. Plantea un sistema de ecuaciones y encuentra los números.

Encuentra la solución del sistema:

$\frac{x}{y} = 3$

$x^2 - y^2 = 32$

Sara intenta resolver el siguiente sistema de ecuaciones no lineales, que describe dos números cuya diferencia es $3$ y la suma de sus cuadrados es $29$:

Para ello, despeja $x = y + 3$ en la primera ecuación y sustituye en la segunda, escribiendo en su cuaderno:

Y concluye que la única solución es $y = \sqrt{10}$, $x = 3 + \sqrt{10}$.

1. a) Identifica los dos errores conceptuales graves que ha cometido Sara en su desarrollo y explica detalladamente por qué son incorrectos.
2. b) Resuelve el sistema de forma correcta, mostrando todos los pasos algebraicos, e indica todas las parejas de soluciones $(x, y)$ válidas.

Queremos diseñar un sistema de ecuaciones no lineales formado por una parábola vertical de la forma $y = x^2 + b$ y una recta de la forma $y = m\cdot x + n$.

1. a) Halla los valores de los parámetros $b$, $m$ y $n$ para que las únicas soluciones del sistema sean exactamente los puntos $(0, 2)$ y $(3, 11)$. Justifica cómo deduces cada valor a partir de las coordenadas dadas.
2. b) Escribe el sistema completo resultante y comprueba algebraicamente, resolviéndolo por igualación, que no existe ningún otro punto de corte entre ambas figuras.

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide $13 \text{ cm}$. Se sabe que uno de los catetos mide $7 \text{ cm}$ más que el otro. Plantea un sistema de ecuaciones no lineales para calcular la longitud de los dos catetos.

La suma de dos números es $15$ y la suma de sus inversos es $\frac{5}{18}$. Plantea un sistema de ecuaciones y encuentra los números.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 4$

$x \cdot y = 18$

Un grupo de estudiantes compra un regalo para un compañero por $840$ bolivianos, a pagar a partes iguales. A última hora se unen $2$ estudiantes más, lo que hace que cada uno de los iniciales ponga $21$ bolivianos menos. ¿Cuántos estudiantes había al principio y cuánto pagaba cada uno?

Una parcela rectangular tiene un área de $600 \text{ m}^2$. Si se reduce su largo en $5 \text{ m}$ y se aumenta su ancho en $5 \text{ m}$, el área sigue siendo la misma. Calcula las dimensiones originales de la parcela.

Resuelve el siguiente sistema que contiene una ecuación irracional:

$x + y = 10$

$\sqrt{x} - y = -4$

El producto de las edades de dos hermanos es $96$. Dentro de $4$ años, el producto de sus edades será $192$. ¿Cuáles son sus edades actuales?

El área de un rombo es de $24 \text{ cm}^2$ y la suma de las longitudes de sus diagonales es $14 \text{ cm}$. Determina la longitud de ambas diagonales planteando un sistema de ecuaciones.

En un colegio de Educación Secundaria Comunitaria Productiva del departamento de Santa Cruz se va a cercar un huerto escolar rectangular aprovechando un muro ya existente de $20\text{ m}$ de longitud, de modo que dicho muro sirve como uno de los lados y no necesita cerco. Con una partida presupuestaria se han comprado exactamente $28\text{ m}$ de malla metálica para cercar los otros tres lados (dos lados perpendiculares al muro, de longitud $x$, y un lado paralelo al muro, de longitud $y$). El departamento de Biología y Geología requiere que la superficie total de cultivo sea de $96\text{ m}^2$.

1. a) Antes de plantear el sistema, realiza una estimación razonada: sabiendo que el lado $y$ no puede medir más de los $20\text{ m}$ del muro disponible, ¿es posible que el lado $x$ mida menos de $4\text{ m}$ o más de $11\text{ m}$? Argumenta tu respuesta analizando conjuntamente el cerco disponible y el área requerida.
2. b) Plantea el sistema de ecuaciones no lineales (perímetro y área) y resuélvelo por sustitución.
3. c) Comprueba si las soluciones matemáticas obtenidas son coherentes con tu estimación inicial y determina las dimensiones reales que puede tener el huerto teniendo en cuenta la limitación física del muro.

Para resolver el siguiente sistema simétrico de ecuaciones no lineales:

dos estudiantes de 4° de secundaria proponen caminos diferentes:

• Método de Laura (Sustitución): Despejar $y = 15 - x$ en la primera ecuación, sustituir en la segunda, desarrollar el cuadrado del binomio y resolver la ecuación de segundo grado en $x$.

• Método de Marcos (Identidades notables): Elevar al cuadrado ambos miembros de la primera ecuación para obtener $(x + y)^2 = 225$, aplicar el desarrollo $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2\cdot x\cdot y$, sustituir $x^2 + y^2 = 117$ para calcular directamente el producto $x\cdot y$, y plantear a partir de la suma $S$ y el producto $P$ la ecuación $t^2 - S\cdot t + P = 0$.

1. a) Resuelve el sistema siguiendo detalladamente el método de Laura.
2. b) Resuelve el sistema siguiendo detalladamente el método de Marcos.
3. c) Compara ambos procedimientos: ¿cuál de los dos caminos requiere cálculos aritméticos más simples y presenta menor riesgo de cometer errores con los signos? Justifica cuál elegirías si los números del enunciado fuesen mucho mayores.

Un alambre de $40 \text{ cm}$ de longitud se corta en dos trozos. Con uno de los trozos se forma un cuadrado y con el otro se forma un rectángulo cuya base es el doble que su altura. Si la suma de las áreas de ambas figuras es de $48 \text{ cm}^2$, ¿cuánto mide cada trozo de alambre?

Un número está formado por dos cifras. El producto de dichas cifras es $18$. Si a ese número se le restan $27$ unidades, se obtiene otro número con las mismas cifras pero en orden inverso. ¿Cuál es el número original? (Recuerda que un número de dos cifras $xy$ se expresa algebraicamente como $10x + y$).

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones simétrico:

$x^2 + y^2 = 25$

$x \cdot y = 12$

Una agencia de viajes organiza una excursión por un costo total de $4\,200$ bolivianos. Poco antes de salir, $5$ personas cancelan su viaje, lo que obliga a los demás a pagar $28$ bolivianos más cada uno para cubrir el costo total. ¿Cuántas personas fueron finalmente a la excursión y cuánto pagó cada una?

En un parque se va a construir una zona de juegos rectangular rodeada por un camino de césped artificial de $1 \text{ m}$ de ancho en todo su perímetro. El área de la zona de juegos debe ser de $48 \text{ m}^2$ y el área total (zona de juegos más camino) debe ser de $96 \text{ m}^2$. Plantea un sistema de ecuaciones para hallar las dimensiones de la zona de juegos.

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineales:

$x^2 - x \cdot y + y^2 = 7$

$x + y = 5$

Un ciclista recorre una distancia de $120 \text{ km}$ a velocidad constante. Si hubiera viajado $5 \text{ km/h}$ más rápido, habría tardado $2$ horas menos en completar el mismo recorrido. Plantea un sistema de ecuaciones para calcular la velocidad del ciclista y el tiempo que tardó.

Un envase cilíndrico cerrado tiene un área total (área lateral más las dos bases) de $150\pi \text{ cm}^2$. Se sabe además que la suma del radio de la base y la altura del cilindro es de $15 \text{ cm}$. Calcula el radio y la altura del envase. (Recuerda que el área total de un cilindro es $A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$).

Una cooperativa agraria en el departamento de Santa Cruz proyecta la instalación de una estructura rectangular para placas solares destinadas al autoconsumo de sus bombas de pozo. La memoria técnica impone tres condiciones de diseño:

1. Por motivos de resistencia estructural y anclaje de cables diagonales, la diagonal del rectángulo debe medir exactamente $17\text{ m}$.

2. Para garantizar la potencia pico requerida por los motores, la superficie de captación solar debe ser exactamente de $120\text{ m}^2$.

3. Para evitar sombras proyectadas entre filas contiguas de paneles según las tablas de radiación solar en la zona, la longitud (lado mayor, $x$) debe superar a la anchura (lado menor, $y$) en al menos $6\text{ m}$.

1. a) Plantea un sistema de ecuaciones no lineales que relacione las dimensiones $x$ e $y$ a partir de la diagonal y del área.
2. b) Resuelve el sistema aplicando identidades notables para calcular $(x+y)^2$ y $(x-y)^2$, deduciendo todas las posibles soluciones matemáticas de las dimensiones.
3. c) Interpreta los resultados obtenidos en el contexto del proyecto y determina si las dimensiones de la estructura son viables bajo la restricción técnica de la separación mínima frente a sombras. Justifica tu conclusión.

En un sistema de posicionamiento y guiado de drones, un dron de vigilancia describe una trayectoria parabólica dada por la ecuación $y = x^2 - 4\cdot x + 7$, mientras que un haz de luz de balizamiento se emite en línea recta siguiendo la ecuación $y = 2\cdot x + k$, donde $k$ es un parámetro real que se puede regular variando la inclinación del emisor.

1. a) Plantea el sistema de ecuaciones formado por ambas trayectorias e iguala las expresiones para obtener una ecuación de segundo grado de la forma $a\cdot x^2 + b\cdot x + c = 0$ dependiente de $k$.
2. b) Sin dar valores al azar a $k$, utiliza el discriminante ($\Delta = b^2 - 4\cdot a\cdot c$) para determinar analíticamente qué condición debe cumplir $k$ para que:

• El haz de luz corte a la trayectoria del dron en dos puntos distintos.

• El haz de luz no alcance en ningún momento la trayectoria del dron.

• El haz de luz sea tangente a la trayectoria del dron (un único punto de contacto).

1. c) Para el valor de $k$ que produce tangencia, calcula las coordenadas exactas del punto de contacto $(x, y)$ y explica qué significado geométrico tiene que la ecuación cuadrática asociada posea una raíz doble.