Ejercicios: Inversa de una matriz usando determinantes

En una pequeña empresa de logística, se registra la cantidad de palés de tres tipos de productos en tres almacenes distintos mediante la siguiente matriz $A$:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

Calcula el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus para verificar la consistencia de los datos de inventario.

Un ingeniero está diseñando un sistema de control automático. Para que el sistema sea estable, la matriz de coeficientes $M$ no debe ser singular (su determinante debe ser distinto de cero). Dada la matriz:

$M = \begin{pmatrix} m & 4 \\ 1 & m \end{pmatrix}$

Determina para qué valores del parámetro real $m$ la matriz $M$ es singular y, por tanto, el sistema no tendría inversa.

Dada la matriz de orden 2:

$A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$

Calcula razonadamente, aplicando las propiedades de los determinantes:

• a) El valor de $|A|$.

• b) El valor del determinante de su traspuesta, $|A^t|$.

• c) El valor de $|2A|$.

En un videojuego de estrategia, las coordenadas de transformación de una unidad se gestionan mediante la matriz $B$:

$B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$

Halla la matriz adjunta, $Adj(B)$, y comprueba si la matriz $B$ admite matriz inversa calculando previamente su determinante.

Calcula la matriz inversa $A^{-1}$ de la siguiente matriz utilizando el método de los determinantes:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

Recuerda que la fórmula es $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot (Adj(A))^t$.

Se sabe que el determinante de una matriz cuadrada $X$ de orden 3 es $|X| = -4$. Sin calcular los elementos de las matrices, obtén el valor de los siguientes determinantes:

• a) $|X^{-1}|$

• b) $|X^2|$

• c) $|X \cdot X^t|$

Resuelve la ecuación matricial $A \cdot X = B$, donde:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}$

Para ello, calcula primero la inversa de $A$ mediante determinantes y despeja la matriz $X$.

Una de las aplicaciones más interesantes de los determinantes en geometría es el cálculo de áreas. El área de un triángulo cuyos vértices son $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$ y $(x_3, y_3)$ viene dada por la fórmula:

$Area = \frac{1}{2} \cdot | \det \begin{pmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{pmatrix} |$

Calcula el área del triángulo representado en el siguiente gráfico cuyos vértices son $P(1, 1)$, $Q(5, 2)$ y $R(2, 4)$.

Hugo debe resolver la ecuación matricial $A \cdot X + B = C$, donde:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$

En su examen, Hugo escribe el siguiente desarrollo:

1. Despeja la ecuación como $A \cdot X = C - B = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$.

2. Halla $|A| = 1 \cdot 3 - 2 \cdot 1 = 1 \ne 0$, deduciendo que existe matriz inversa $A^{-1}$.

3. Calcula los adjuntos de $A$: $A_{11}=3$, $A_{12}=-1$, $A_{21}=-2$, $A_{22}=1$, y escribe directamente $\operatorname{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$.

4. Afirma que $A^{-1} = \dfrac{1}{|A|} \cdot \operatorname{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$.

5. Finalmente, calcula la solución como $X = (C - B) \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -9 & 4 \end{pmatrix}$.

Realiza las siguientes tareas:

1. a) Localiza y explica de forma razonada los dos errores conceptuales que ha cometido Hugo (uno en la obtención de $A^{-1}$ y otro en el aislamiento de $X$).
2. b) Corrige ambos fallos: calcula la matriz inversa $A^{-1}$ correcta mediante la fórmula de los adjuntos y determina la matriz $X$ que satisface la ecuación original.

Dada la matriz cuadrada de orden $3$:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

1. a) Antes de calcular ninguna matriz adjunta o inversa, deduce de forma razonada el signo y el valor exacto de $|A^{-1}|$ y de $|\operatorname{Adj}(A)|$ utilizando exclusivamente el determinante $|A|$ y las propiedades teóricas de los determinantes.
2. b) Calcula paso a paso los 9 adjuntos de $A$, construye la matriz de adjuntos $\operatorname{Adj}(A)$ y obtén la matriz inversa $A^{-1}$ aplicando la fórmula $A^{-1} = \dfrac{1}{|A|} \cdot (\operatorname{Adj}(A))^t$.
3. c) Comprueba la coherencia de tus deducciones calculando directamente el determinante de la matriz $\operatorname{Adj}(A)$ que has obtenido en el apartado b), y verificando que el producto matricial $A \cdot A^{-1}$ da como resultado la matriz identidad $I_3$.

Dada la matriz $A$ dependiente del parámetro real $k$:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & k & 3 \\ 4 & 1 & -k \end{pmatrix}$$

1. a) Determina de forma razonada para qué valores de $k$ la matriz $A$ no posee matriz inversa.
2. b) Para el caso $k = 0$, calcula la matriz inversa $A^{-1}$ utilizando el método de los adjuntos.

Sean $A$ y $B$ dos matrices cuadradas de orden 3 tales que $|A| = 2$ y $|B| = -3$. Utilizando las propiedades de los determinantes, calcula el valor de los siguientes determinantes:

1. a) $|A^t \cdot B|$
2. b) $|(2A)^{-1}|$
3. c) $|A \cdot B^{-1} \cdot A^2|$
4. d) $|B \cdot adj(B)|$ (Recuerda la relación entre una matriz, su adjunta y su determinante).

Resuelve la siguiente ecuación matricial $X \cdot A + B = C$, donde:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Justifica previamente por qué es posible encontrar la matriz inversa de $A$ y despeja la incógnita $X$ antes de realizar los cálculos numéricos.

En el diseño de un filtro digital para señales de audio, se utiliza una matriz de transferencia $H$ definida como:

$$H(x) = \begin{pmatrix} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{pmatrix}$$

1. a) Halla los valores del parámetro real $x$ para los cuales el determinante de la matriz es nulo.

1. b) Para $x = 2$, calcula la matriz inversa $H^{-1}$. ¿Qué significado tiene que el determinante sea muy próximo a cero en aplicaciones de ingeniería?

Considera la matriz $M = \begin{pmatrix} a & 0 & 2 \\ a & a & 1 \\ 0 & a & -1 \end{pmatrix}$.

1. a) Calcula $|M|$ en función de $a$.
2. b) Determina el rango de la matriz $M$ según los valores de $a$.
3. c) Para $a = 1$, resuelve la ecuación matricial $M \cdot X = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$.

Sabiendo que el determinante de una matriz $A = \begin{pmatrix} x & y & z \\ p & q & r \\ a & b & c \end{pmatrix}$ es igual a $5$, utiliza las propiedades de los determinantes para calcular, sin desarrollar por Sarrus, el valor del determinante de la siguiente matriz $B$:

$$B = \begin{pmatrix} 2x & 2y & 2z \\ p+x & q+y & r+z \\ 3a & 3b & 3c \end{pmatrix}$$

Indica detalladamente qué propiedad aplicas en cada paso de la simplificación.

Se dice que una matriz cuadrada $A$ es ortogonal si cumple la condición $A \cdot A^t = I$, donde $A^t$ es la traspuesta e $I$ la identidad.

1. a) Demuestra que si $A$ es ortogonal, entonces su determinante solo puede ser $1$ o $-1$.
2. b) Comprueba si la matriz $A = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}$ es ortogonal y halla su inversa $A^{-1}$ en función de $\alpha$.

Un sistema de encriptación básico utiliza una matriz $K$ para transformar mensajes en forma de vector. Para que el mensaje se pueda desencriptar, la matriz $K$ debe ser inversible. Dada la matriz:

$$K = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ m & 0 & 3 \end{pmatrix}$$

1. a) Halla los valores de $m$ que hacen que el sistema de encriptación sea inseguro (la matriz no sea inversible).
2. b) Si $m = 1$, calcula la matriz de desencriptación $K^{-1}$.

Considera la matriz de orden $3$ dependiente del parámetro real $k$:

$$M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & k & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

Se plantean dos tareas independientes:

1. Determinar para qué valores de $k$ la matriz $M$ es regular (posee inversa).

2. Para el valor $k = 1$, calcular únicamente el elemento que ocupa la fila 3 y columna 2 de la matriz inversa, es decir, $(M^{-1})_{32}$.

1. a) Para la tarea 1, compara la estrategia de escalonar la matriz por el método de Gauss frente al cálculo de su determinante $|M|$. Justifica cuál de las dos vías es más conveniente en este caso y utilízala para dar la respuesta.
2. b) Para la tarea 2, una alternativa es calcular la matriz inversa completa $M^{-1}$ y luego seleccionar dicho elemento; otra alternativa consiste en utilizar la fórmula $M^{-1} = \dfrac{1}{|M|} \cdot (\operatorname{Adj}(M))^t$ para calcular únicamente el adjunto necesario. Justifica cuál de los dos caminos requiere menor costo de cálculo, deduce con precisión qué adjunto $M_{ij}$ interviene (justificando el papel de la trasposición) y calcula el valor de $(M^{-1})_{32}$.

Una empresa de consultoría tecnológica con sede en Santa Cruz de la Sierra traslada a sus tres equipos de auditoría en bus (Flota Bolivia, servicio Cama) durante un trimestre, adquiriendo pasajes de tres tarifas distintas: Prémium ($x$ bolivianos), Elige ($y$ bolivianos) y Básico ($z$ bolivianos). En la contabilidad del trimestre constan los siguientes datos de compra:

• En octubre adquirieron 1 pasaje Prémium, 1 Elige y 1 Básico, con un gasto total de $180$ bolivianos.

• En noviembre adquirieron 2 pasajes Prémium, 1 Elige y 2 Básicos, sumando un gasto total de $300$ bolivianos.

• En diciembre adquirieron 1 pasaje Prémium, 3 Elige y 2 Básicos, con un costo total de $330$ bolivianos.

1. a) Modela la situación mediante una ecuación matricial de la forma $A \cdot X = B$, indicando con claridad las matrices $A$, $X$ y $B$ junto con sus dimensiones.
2. b) Demuestra que la matriz de coeficientes $A$ es invertible calculando su determinante $|A|$ y halla su matriz inversa $A^{-1}$ aplicando el método de la matriz adjunta traspuesta.
3. c) Despeja algebraicamente el vector incógnita $X$ justificando el orden de la multiplicación matricial, realiza el producto $A^{-1} \cdot B$ y determina el precio unitario exacto de cada una de las tres tarifas.

Determina los valores del parámetro real $a$ para los cuales el siguiente determinante de orden 4 se anula. Para resolverlo, utiliza exclusivamente las propiedades de los determinantes para simplificar la expresión antes de desarrollar por los elementos de una línea:

$$ |A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ a & 2 & -1 & 3 \\ a^2 & 4 & 1 & 9 \\ a^3 & 8 & -1 & 27 \end{vmatrix} $$

(Pista: Observa que se trata de una estructura similar a un determinante de Vandermonde).

Una empresa de robótica está diseñando el sistema de control de un brazo mecánico. La relación entre los sensores y los actuadores viene dada por la ecuación matricial $A \cdot X \cdot A = B$, donde $A$ es una matriz que depende de la sensibilidad $k$ del sensor:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & k \\ 0 & k & 1 \\ k & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

1. a) Estudia para qué valores de $k \in \mathbb{R}$ la matriz $A$ es regular (inversible).
2. b) Para $k = 2$, despeja la matriz $X$ en la ecuación y calcúlala utilizando el método de la matriz adjunta para hallar las inversas necesarias.

En el desarrollo de un nuevo videojuego de naves espaciales, las coordenadas de los objetos en el espacio 3D se transforman mediante una matriz de rotación y escalado $M$. Para que el motor gráfico pueda "deshacer" la transformación, la matriz debe tener inversa.

$$M = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & e^a \end{pmatrix}$$

1. a) Demuestra que el determinante de $M$ es $|M| = e^a$ para cualquier valor del ángulo $\alpha$.
2. b) Calcula la matriz inversa $M^{-1}$ en función de $\alpha$ y $a$ utilizando determinantes.
3. c) Si un objeto termina en la posición $(1, 1, 1)$ tras aplicar $M$ con $\alpha = \frac{\pi}{2}$ y $a = 0$, ¿cuáles eran sus coordenadas originales?

Sea $A$ una matriz cuadrada de orden 3 tal que su determinante es $|A| = \frac{1}{2}$. Sin calcular explícitamente los elementos de la matriz, utiliza las propiedades de los determinantes para hallar razonadamente el valor de:

1. a) $|A^{-1} \cdot (2A)^t|$
2. b) $|Adj(A)|$, donde $Adj(A)$ es la matriz formada por los adjuntos de los elementos de $A$.
3. c) El determinante de la matriz $B$ si se sabe que $A \cdot B = Adj(A)$.

Un sistema de encriptación utiliza una matriz $C$ para transformar bloques de mensajes. Para que el mensaje sea recuperable, el rango de la matriz debe ser máximo. Estudia el rango de la siguiente matriz en función de los parámetros reales $m$ y $n$:

$$C = \begin{pmatrix} 1 & m & 0 & 1 \\ n & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & m \end{pmatrix}$$

Determina para qué valores de $m$ y $n$ el rango de $C$ es igual a 2.

Considera la matriz $A = \begin{pmatrix} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{pmatrix}$.

1. a) Halla el polinomio $P(x) = |A|$.
2. b) Determina los valores de $x$ para los que $A$ no tiene inversa.
3. c) Para los valores de $x$ en los que $A$ es inversible, encuentra la expresión de $A^{-1}$ en función de $x$.
4. d) Comprueba que para $x=0$, se cumple que $A^{-1} = \frac{1}{2}(A^2 - 3I)$.

Se sabe que una matriz cuadrada $A$ verifica la siguiente igualdad: $A^2 - 5A + 6I = O$, donde $I$ es la matriz identidad y $O$ es la matriz nula.

1. a) Demuestra razonadamente que la matriz $A$ es inversible.
2. b) Expresa la matriz inversa $A^{-1}$ como una combinación lineal de las matrices $A$ e $I$.
3. c) Si $A = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$, comprueba que cumple la ecuación inicial y halla su inversa utilizando el resultado del apartado (b).

Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{pmatrix}$, se pide:

1. a) Calcular $|A|$ y factorizar el resultado.
2. b) Si $a=1, b=2, c=3$, calcula la matriz inversa $A^{-1}$ por el método de los adjuntos.
3. c) Resuelve el sistema de ecuaciones $A \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ utilizando la matriz inversa hallada en el apartado anterior.

Una matriz cuadrada $A$ de orden $3$ con coeficientes reales tiene como matriz de adjuntos:

$$\operatorname{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

1. a) Sabiendo que para cualquier matriz de orden $n$ invertible se cumple $|\operatorname{Adj}(A)| = |A|^{n-1}$, deduce los posibles valores del determinante $|A|$ sin calcular previamente los elementos de la matriz $A$.
2. b) A partir de la identidad fundamental $A \cdot (\operatorname{Adj}(A))^t = |A| \cdot I_3$, despeja razonadamente la matriz $A$ en función de $|A|$ y de la matriz inversa de $(\operatorname{Adj}(A))^t$.
3. c) Determina de forma explícita todas las matrices $A$ compatibles con la matriz adjunta dada y justifica algebraicamente por qué existen exactamente dos soluciones distintas.

Sea $A$ una matriz cuadrada invertible de orden $3$ cuyo determinante es $|A| = 2$.

1. a) A partir de la relación $|\operatorname{Adj}(M)| = |M|^{n-1}$ y de la propiedad del determinante de la inversa, demuestra formalmente que $|\operatorname{Adj}(A^{-1})| = \dfrac{1}{|\operatorname{Adj}(A)|}$ y calcula su valor numérico exacto para la matriz $A$.
2. b) Se define la matriz $B = 2 \cdot A^t \cdot A^{-1}$. Justifica razonadamente si la matriz $B$ es invertible calculando previamente el valor de su determinante $|B|$.
3. c) Considera la ecuación matricial $(\operatorname{Adj}(A))^t \cdot X = A^2$, donde $X$ es una matriz cuadrada incógnita de orden $3$. Utilizando la propiedad $A \cdot (\operatorname{Adj}(A))^t = |A| \cdot I_3$, despeja la matriz $X$ en función de $A$ y demuestra que el determinante de $X$ es independiente de los elementos numéricos que formen la matriz $A$, calculando su valor exacto.