Amortización de préstamos

Para celebrar el final de los exámenes, un grupo de amigos decide financiar la compra de un equipo de sonido para su local valorado en $\$1500$. El banco les ofrece un préstamo a una tasa de interés nominal anual del $6 \%$ que deberán devolver en cuotas mensuales durante un año. La figura resume la situación. Identifica los elementos del préstamo para poder aplicar la fórmula de la renta constante:

• Capital inicial ($C$)

• Número de pagos anuales ($k$)

• Número total de cuotas ($n$)

• Tasa de interés mensual ($i$) expresada en tanto por uno.

Un estudiante de high school quiere comprarse una bicicleta eléctrica de montaña que cuesta $\$2,400$. La tienda le ofrece una financiación al $4.8 \%$ de interés nominal anual repartido en cuotas mensuales. Calcula cuál será la tasa de interés mensual ($i$) que se aplicará en cada cuota y exprésala tanto en porcentaje como en tanto por uno.

Para montar un pequeño estudio de grabación y empezar su canal de YouTube, Marcos pidió un préstamo de $4\,500$ dólares a devolver en 2 años mediante cuotas mensuales constantes. El banco le aplica un interés nominal anual del $6\%$. Calcula la cuantía de la mensualidad que debe pagar Marcos.

Sofía va a comprar una motocicleta eléctrica para sus desplazamientos urbanos por un importe de $\$4,800$. Solicita un préstamo bancario a devolver en 2 años (24 meses) mediante el sistema de amortización francés a una tasa de interés nominal anual ($\text{TIN}$) del $6 \%$.

1. a) Antes de aplicar la fórmula financiera, estima razonadamente una cota inferior para el pago mensual (calculando cuánto pagaría si el interés fuera del $0 \%$) y una cota superior aproximada (calculando el interés simple total de los 2 años sobre el capital inicial, sumándolo a este y dividiendo entre los 24 meses).
2. b) Utiliza la fórmula de la cuota constante de amortización para calcular el valor exacto de la mensualidad $a$ (con precisión de centavos).
3. c) Comprueba si el resultado exacto cae dentro del rango estimado en el apartado a) y valora si es un resultado razonable. A continuación, calcula el monto total pagado por concepto de intereses durante los 2 años.

Lucas financia su nueva consola de última generación, que cuesta $\$600$, en 12 mensualidades iguales. Al finalizar el año, se da cuenta de que ha pagado un total de $\$636$. Calcula:

1. a) El importe de la cuota mensual.
2. b) El costo total de los intereses pagados durante todo el préstamo.

Para financiar un viaje de fin de año escolar, una asociación de estudiantes pide un préstamo de $3\,000$ dólares al $5\%$ de interés anual compuesto. El acuerdo consiste en devolverlo en un único pago al cabo de 18 meses. ¿A cuánto ascenderán los intereses totales? Si hubieran optado por amortizarlo mensualmente durante ese mismo tiempo, ¿pagarían más o menos intereses en total? Razona tu respuesta sin necesidad de calcular la tabla completa.

Una academia de idiomas ofrece financiar el curso intensivo de verano ($\$900$) mediante un préstamo a 4 meses sin intereses, pero cobrando una comisión de apertura de $\$25$ en el primer pago.

1. a) ¿Cuál será el importe de las cuotas del segundo, tercer y cuarto mes?
2. b) ¿Cuánto pagará el estudiante el primer mes en total?

Comparamos dos modalidades de préstamo para financiar una remodelación de $\$30,000$ a devolver en 4 años con pagos mensuales:

• Opción A: Interés nominal anual del $5 \%$ sin comisiones iniciales.

• Opción B: Interés nominal anual del $4.2 \%$ pero con una comisión de apertura del $1.5 \%$ sobre el capital solicitado, que se paga al contado en el momento de la firma.

Calcula el costo total de cada opción (suma de todas las cuotas más comisiones) y determina cuál es más ventajosa para el cliente.

Para comprar un ciclomotor de $\$2,000$, Sofía entrega un pago inicial de $\$500$ y financia el resto mediante cuotas mensuales constantes durante 2 años. Si el interés nominal anual es del $3 \%$, aplica la fórmula de la anualidad de amortización indicando claramente cuál es el capital $C$ que realmente va a financiar.

Según los datos de la Estadística de Hipotecas del Instituto Nacional de Estadística (INE), el importe medio de los préstamos hipotecarios para la compra de vivienda en España se sitúa en torno a los $\$144,000$, con un plazo medio de amortización de 24 años a un tipo de interés nominal anual ($\text{TIN}$) fijo del $3.6 \%$ mediante cuotas mensuales constantes.

1. a) Modela la hipoteca media descrita: calcula el tipo de interés mensual $i$, el número total de pagos $n$ y la mensualidad constante $a$ que paga el comprador.
2. b) Desglosa el primer pago mensual ($k=1$): calcula cuánto se destina a pagar intereses ($I_1$) y cuánto a amortizar capital prestado ($A_1$). Determina qué porcentaje de la primera cuota corresponde a intereses y qué porcentaje amortiza deuda directamente.
3. c) El Banco de España recomienda que la cuota hipotecaria mensual no sobrepase el $35 \%$ de los ingresos netos familiares. Determina cuáles deben ser los ingresos netos mínimos mensuales de un hogar para poder contratar esta hipoteca media cumpliendo dicho criterio de prudencia financiera.

Una joven emprendedora de 24 años decide abrir un estudio de diseño gráfico. Para adquirir el equipamiento necesario (computadoras de alta gama, licencias de software y mobiliario), solicita un préstamo a una entidad financiera que debe devolver en 5 años mediante cuotas mensuales constantes de $\$425.50$. La entidad le aplica un tipo de interés nominal anual del $5.4 \%$.

Calcula el capital inicial que el banco le ha concedido para poner en marcha su negocio. Redondea el resultado a los centavos de dólares.

Marta pidió un préstamo de $\$3,000$ para pagar su matrícula universitaria y los materiales del curso. El banco le aplica el sistema de amortización francés (cuotas constantes) con un interés mensual del $0.5 \%$. Si la cuota mensual es de $\$133.06$, calcula qué cantidad de la primera cuota corresponde exclusivamente al pago de intereses.

Una joven emprendedora solicita un crédito de $12\,000$ dólares para comprar una van de segunda mano para su negocio de reparto. El préstamo se amortizará en 4 años con pagos trimestrales y un interés anual del $8\%$. Determina la parte de la primera cuota que corresponde al pago de intereses y qué cantidad se destina realmente a amortizar la deuda.

Dada la siguiente fila de una tabla de amortización de un préstamo al $12\,\%$ anual con pagos mensuales (el interés mensual se calcula dividiendo el tipo anual entre $12$, es decir, el $1\,\%$ mensual):

• Mes: $10$

• Deuda inicial del mes: $14\,250,80$ dólares

• Cuota mensual: $450$ dólares

Calcula:

1. a) El interés del mes $10$ (redondea a centavos).

1. b) El capital amortizado en ese mes.

1. c) La deuda pendiente al comenzar el mes $11$.

David necesita comprar una computadora para su nuevo trabajo de diseñador web y financia $\$1,800$ a devolver en 18 meses mediante cuotas mensuales constantes. La tienda le ofrece una financiación al $6 \%$ de interés nominal anual ($\text{TIN}$). Para calcular cuánto pagará al mes, David realiza en su libreta el siguiente planteamiento:

Al revisar la cifra, multiplica $166.24 \times 18 = \$2,992.32$ y se alarma porque cree que pagará casi $\$1,200$ en intereses por un préstamo de apenas año y medio.

1. a) Localiza el error conceptual cometido por David en la aplicación de la fórmula de la cuota constante y explica por qué su cálculo no es coherente con las unidades temporales.
2. b) Corrige el cálculo: determina el tipo de interés mensual adecuado $i$ y la cuota mensual real $a$ que deberá pagar (redondeada al centavos).
3. c) Calcula el costo total real en intereses del préstamo y compara el resultado con la cifra errónea de David para explicarle por qué su intuición sobre la desproporción de los intereses era correcta.

Dada la siguiente tabla de amortización incompleta de un préstamo para una tableta gráfica, calcula los valores que faltan marcados con letras sabiendo que el interés mensual es del $1 \%$:

Un grupo de amigos decide comprar una mesa de mezclas profesional que cuesta $1\,800$ dólares. Pagan $300$ dólares al contado y financian el resto a un interés del $10\%$ anual (nominal, con periodo de capitalización mensual, es decir, una tasa mensual $i=\frac{0.10}{12}$) para devolverlo en 6 meses con cuotas mensuales constantes.

Recuerda que la cuota constante $a$ que amortiza un capital $C$ en $n$ periodos con tasa $i$ por periodo es:

$a = C\times\dfrac{i}{1-(1+i)^{-n}}$

Elabora las dos primeras filas de la tabla de amortización, indicando en cada una: capital pendiente, intereses del periodo, capital amortizado y cuota mensual. Redondea a centavos.

Una familia contrata una hipoteca de $\$160,000$ a un plazo de 20 años con una tasa de interés fija del $3.25 \%$ anual y pagos mensuales. Tras exactamente 10 años pagando las cuotas puntualmente, reciben una herencia y se plantean cancelar la deuda pendiente.

Calcula la composición del pago número 121, indicando qué parte corresponde al pago de intereses y qué parte a la amortización del capital.

Comparamos dos préstamos para comprar una moto de $3\,500$ dólares:

• Opción A: Amortización mensual durante 2 años al $6\%$ anual nominal.

• Opción B: Amortización trimestral durante 2 años al $6.2\%$ anual nominal.

Calcula la cuota de cada opción y determina en cuál de las dos se acaban pagando más intereses al final de los dos años.

Un préstamo hipotecario de $\$200,000$ se formaliza a un plazo de 25 años con cuotas mensuales. Durante los dos primeros años, la tasa de interés es fija al $2.5 \%$ anual. A partir del inicio del tercer año, el interés se vuelve variable, pasando a ser del $4.75 \%$ anual.

Calcula cuánto se incrementará la cuota mensual de la familia a partir del tercer año debido a esta subida de la tasa de interés.