Geometría y Trigonometría · Trigonometría de ángulos cualesquiera
Aplicaciones de la trigonometría
El seno, el coseno y la tangente sirven para medir lo que no puedes alcanzar con una cinta métrica: la altura de un papalote, el largo de una rampa o el tamaño de la Tierra. Primero vas a resolver problemas de alturas y distancias en triángulos rectángulos. Después, una aplicación a gran escala: la Tierra es (casi) una esfera, y con el coseno puedes calcular lo grande que es un paralelo —una de esas líneas horizontales de los mapas— y la distancia entre dos ciudades que están en el mismo.
Alturas y distancias con seno, coseno y tangente
Casi todos los problemas de trigonometría de 3° siguen el mismo plan: encontrar un triángulo rectángulo, marcar el ángulo que conoces y decidir qué razón une el dato con la incógnita.
Practica★☆☆Sin empezar
Una escalera de $6\text{ m}$ está apoyada en la pared de una casa y forma un ángulo de $70^\circ$ con el suelo. ¿A qué altura de la pared llega la escalera? Usa la…
Una escalera de $6\text{ m}$ está apoyada en la pared de una casa y forma un ángulo de $70^\circ$ con el suelo. ¿A qué altura de la pared llega la escalera? Usa la calculadora en grados y redondea a centésimas.
Sofía está a $40\text{ m}$ de la base del Ángel de la Independencia, en la Ciudad de México, y ve la punta de la escultura con un ángulo de elevación de $47^\circ$. Sus…
Sofía está a $40\text{ m}$ de la base del Ángel de la Independencia, en la Ciudad de México, y ve la punta de la escultura con un ángulo de elevación de $47^\circ$. Sus ojos están a $1.55\text{ m}$ del suelo. ¿Qué altura total tiene el monumento, según su medición? Redondea a décimas.
Un grupo de 3° de secundaria quiere estimar la altura de la Pirámide del Sol, en Teotihuacan. Desde un punto $P$ a nivel del suelo ven la cúspide con un ángulo de…
Un grupo de 3° de secundaria quiere estimar la altura de la Pirámide del Sol, en Teotihuacan. Desde un punto $P$ a nivel del suelo ven la cúspide con un ángulo de elevación de $30^\circ$. Caminan $50\text{ m}$ en línea recta hacia la pirámide, hasta un punto $Q$, y desde allí la ven con un ángulo de elevación de $45^\circ$. (Las distancias son horizontales, hasta el punto que está justo debajo de la cúspide.)
a) Llamando $h$ a la altura y $d$ a la distancia horizontal desde $Q$, plantea dos ecuaciones con la tangente.
b) Resuelve el sistema y calcula la altura de la pirámide. Redondea a décimas.
c) ¿A qué distancia horizontal de la cúspide estaba el punto $P$?
El radio de un paralelo: por qué aparece el coseno
Un paralelo es una circunferencia formada por todos los puntos de la Tierra que están a la misma latitud (el ángulo respecto al plano del ecuador). El ecuador, a latitud $0º$, tiene el mismo radio que la Tierra entera; cualquier otro paralelo es más pequeño, porque "se estrecha" al acercarse a los polos.
Fíjate en el triángulo rectángulo que forman el centro de la Tierra, el centro del paralelo y un punto del paralelo: la hipotenusa es $R$ (el radio terrestre), y el cateto adyacente al ángulo de latitud $\alpha$ es, precisamente, $r$ (el radio del paralelo).
Practica★★☆Sin empezar
Para un proyecto escolar, necesitas calcular cuánto mide de largo el paralelo de latitud $40^\circ$ N. Sabiendo que el radio terrestre es $R \approx 6\,371$ km, calcula:…
Para un proyecto escolar, necesitas calcular cuánto mide de largo el paralelo de latitud $40^\circ$ N. Sabiendo que el radio terrestre es $R \approx 6\,371$ km, calcula:
a) El radio del círculo que forma dicho paralelo (utiliza la expresión $r = R \times \cos(\text{latitud})$ y justifícala a partir del triángulo rectángulo de la figura).
b) La longitud total (perímetro) de dicho paralelo.
Una vez conocido el radio $r$ de un paralelo, calcular su longitud (su perímetro) es la misma fórmula de siempre para una circunferencia: $2\pi r$. La diferencia con el ecuador es que aquí el radio ya no es $R$, sino el $r$ reducido por el coseno de la latitud.
¡A practicar! 4 ejercicios de nivel medio en este apartado
Si dos ciudades están en el mismo paralelo pero a distinta longitud (el ángulo este-oeste), la distancia entre ellas siguiendo el paralelo es un arco de esa circunferencia más pequeña, no del globo entero. Hace falta primero el radio del paralelo, y después la fórmula habitual de longitud de arco con el ángulo que las separa.
Practica★★★Sin empezar
Dos ciudades, A y B, se encuentran en el mismo paralelo a una latitud de $45^\circ \text{ N}$. La ciudad A tiene una longitud de $20^\circ \text{ E}$ y la ciudad B una…
Dos ciudades, A y B, se encuentran en el mismo paralelo a una latitud de $45^\circ \text{ N}$. La ciudad A tiene una longitud de $20^\circ \text{ E}$ y la ciudad B una longitud de $70^\circ \text{ E}$.
Sabiendo que el radio de la Tierra es de aproximadamente $6371 \text{ km}$:
Calcula el radio del paralelo $45^\circ \text{ N}$ (Recuerda que el radio de un paralelo a una latitud $\alpha$ se calcula como $r = R \times \cos \alpha$; para $45^\circ$ utiliza el valor exacto $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$).
Determina la distancia en kilómetros que separa ambas ciudades siguiendo el arco del paralelo.