Ecuaciones de segundo grado

Para cada una de las siguientes ecuaciones de segundo grado, identifica los coeficientes $a$, $b$ y $c$ e indica si se trata de una ecuación completa o incompleta:

1. a) $x^2 - 5x + 6 = 0$
2. b) $2x^2 - 32 = 0$
3. c) $x^2 + 8x = 0$
4. d) $3 - x^2 + 2x = 0$

Comprueba, sin resolver la ecuación, si los valores de $x$ propuestos son solución de la igualdad $x^2 - 4x + 3 = 0$:

1. a) $x = 1$
2. b) $x = 0$
3. c) $x = 3$
4. d) $x = -1$

Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas del tipo $ax^2 + c = 0$. Recuerda que si el resultado de la raíz cuadrada no es un número real, debes indicarlo:

1. a) $x^2 - 25 = 0$
2. b) $3x^2 - 12 = 0$
3. c) $x^2 + 16 = 0$
4. d) $2x^2 = 50$

Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas del tipo $ax^2 + bx = 0$ mediante la extracción de factor común:

1. a) $x^2 - 7x = 0$
2. b) $2x^2 + 10x = 0$
3. c) $3x^2 = 6x$
4. d) $x^2 + x = 0$

El área de la base cuadrada de una caja de almacenamiento para videojuegos es de $144\text{ cm}^2$. Calcula cuánto mide el lado de la base planteando una ecuación de segundo grado.

Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas utilizando el método más rápido (extracción de factor común o despeje directo de la raíz):

1. a) $4x^2 - 100 = 0$
2. b) $3x^2 + 15x = 0$
3. c) $\frac{x^2}{2} - 8 = 0$
4. d) $5x^2 = 2x$

Dada la ecuación de segundo grado $x^2 + kx + 12 = 0$, calcula el valor del coeficiente $k$ sabiendo que una de las soluciones de la ecuación es $x = 3$. Una vez encontrado $k$, halla la otra solución de la ecuación.

Aplica la fórmula general $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ para hallar las soluciones de las siguientes ecuaciones completas:

1. a) $x^2 - 6x + 8 = 0$
2. b) $x^2 + x - 12 = 0$

Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado simplificando primero las expresiones algebraicas mediante el desarrollo de los productos notables:

Recuerda que para aplicar la fórmula general, primero debes reducir la ecuación a la forma $ax^2 + bx + c = 0$.

Calcula el valor del discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ para cada ecuación e indica si tiene dos soluciones, una solución doble o ninguna solución real (no es necesario que calcules las soluciones):

1. a) $x^2 - 4x + 4 = 0$
2. b) $x^2 + 2x + 5 = 0$
3. c) $x^2 - 5x - 1 = 0$

Estudia el discriminante ($\Delta = b^2 - 4ac$) de las siguientes ecuaciones y determina, sin resolverlas, cuántas soluciones reales tiene cada una. Justifica tu respuesta en cada caso:

1. a) $x^2 - 6x + 9 = 0$
2. b) $2x^2 + 3x + 5 = 0$
3. c) $3x^2 - 4x - 2 = 0$

¿Qué valor debería tomar el término independiente en la ecuación a) para que de repente no tuviera solución?

Dada la ecuación de segundo grado $x^2 - (k-2)x + k = 0$, determina qué valores debe tomar el parámetro $k$ para que la ecuación tenga una única solución real (solución doble).

Las ecuaciones bicuadradas se pueden resolver haciendo un cambio de variable $t = x^2$. Utiliza esta técnica para encontrar las cuatro soluciones reales de la siguiente ecuación:

Si al cuadrado de un número entero le sumamos su triple, obtenemos como resultado cero. ¿De qué números podría tratarse? Plantea la ecuación y halla las posibles soluciones.

El producto de dos números naturales consecutivos es igual a su suma aumentada en $19$ unidades. ¿De qué números estamos hablando?

Queremos colocar un marco de madera de ancho constante $x$ alrededor de una fotografía rectangular de $10\text{ cm}$ por $15\text{ cm}$. Si sabemos que el área total (foto más marco) debe ser de $300\text{ cm}^2$, ¿cuál debe ser el ancho $x$ del marco?