Área de un poliedro
¿Cuánto cartón hace falta para una caja? ¿Cuánto vidrio para un tragaluz con forma de pirámide? Para saberlo hay que calcular el área del poliedro: la suma de las áreas de todas sus caras. El truco es desplegarlo y verlo plano.
El desarrollo plano
Si "abres" un poliedro y lo extiendes sobre la mesa, obtienes su desarrollo plano: todas sus caras unidas por algunas aristas. El área del poliedro es el área de ese desarrollo.
Un joven diseñador está creando un prototipo de altavoz inteligente con forma de cubo. Si la arista del cubo mide $9\text{ cm}$, calcula la superficie total de material…
Un joven diseñador está creando un prototipo de altavoz inteligente con forma de cubo. Si la arista del cubo mide $9\text{ cm}$, calcula la superficie total de material plástico que se necesita para recubrir todas sus caras.
A partir del desarrollo plano de la figura, identifica de qué poliedro se trata y calcula su área total sabiendo que cada cuadrado tiene $5\text{ cm}$ de lado.
A partir del desarrollo plano de la figura, identifica de qué poliedro se trata y calcula su área total sabiendo que cada cuadrado tiene $5\text{ cm}$ de lado.
Área de un prisma
Las caras laterales de un prisma recto, desplegadas, forman un rectángulo cuya base es el perímetro de la base del prisma y cuya altura es la altura del prisma.
Una caja de zapatos tiene forma de prisma rectangular con las siguientes dimensiones: $30\text{ cm}$ de largo, $18\text{ cm}$ de ancho y $12\text{ cm}$ de alto. Calcula…
Una caja de zapatos tiene forma de prisma rectangular con las siguientes dimensiones: $30\text{ cm}$ de largo, $18\text{ cm}$ de ancho y $12\text{ cm}$ de alto. Calcula el área total de cartón utilizado para fabricar la caja (sin contar solapas).
Un estuche para un instrumento musical tiene forma de prisma triangular recto. La base es un triángulo equilátero de $8\text{ cm}$ de lado y la altura del prisma es de…
Un estuche para un instrumento musical tiene forma de prisma triangular recto. La base es un triángulo equilátero de $8\text{ cm}$ de lado y la altura del prisma es de $40\text{ cm}$. Si el área de la base triangular es aproximadamente $27.7\text{ cm}^2$, calcula el área total del estuche.
Calcula el área lateral de un prisma recto cuya altura es de $12\text{ cm}$ y cuya base es un rombo de diagonales $16\text{ cm}$ y $12\text{ cm}$. (Pista: Primero debes…
Calcula el área lateral de un prisma recto cuya altura es de $12\text{ cm}$ y cuya base es un rombo de diagonales $16\text{ cm}$ y $12\text{ cm}$.
(Pista: Primero debes hallar el lado del rombo usando el Teorema de Pitágoras en uno de los triángulos rectángulos interiores de la base).
Área de una pirámide
Las caras laterales de una pirámide regular son triángulos iguales de base el lado $l$ y altura la apotema de la pirámide $ap$:
$$A_L = \frac{P_{base} \times ap}{2} \qquad\qquad A_T = A_L + A_{base}$$Calcula el área lateral de una pirámide cuadrangular regular si sabemos que el lado de la base mide $10\text{ cm}$ y la apotema de la pirámide (la altura de sus caras…
Calcula el área lateral de una pirámide cuadrangular regular si sabemos que el lado de la base mide $10\text{ cm}$ y la apotema de la pirámide (la altura de sus caras laterales) mide $15\text{ cm}$.
Una empresa de arquitectura ha diseñado un lucernario de cristal con forma de pirámide cuadrangular regular. La arista de la base mide $4\text{ m}$ y la altura de la…
Una empresa de arquitectura ha diseñado un lucernario de cristal con forma de pirámide cuadrangular regular. La arista de la base mide $4\text{ m}$ y la altura de la pirámide es de $3\text{ m}$. Calcula la superficie total de cristal necesaria para cubrir las cuatro caras laterales (la base queda abierta para dejar pasar la luz al interior del edificio).
Tronco de pirámide y poliedros regulares
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Tronco de pirámide: las caras laterales son trapecios. $A_L = \dfrac{(P_B + P_b) \times ap}{2}$, y el total suma las dos bases.
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Poliedros regulares: todas las caras son iguales, así que $A = n.º\ \text{de caras} \times \text{área de una cara}$. Para triángulos equiláteros de lado $l$: área de cada cara $= \frac{\sqrt 3}{4}\,l^2$.
Un cristalero debe fabricar un cristal para una lámpara con forma de tetraedro regular (todas sus caras son triángulos equiláteros iguales). Si cada cara tiene un área…
Un cristalero debe fabricar un cristal para una lámpara con forma de tetraedro regular (todas sus caras son triángulos equiláteros iguales). Si cada cara tiene un área de $15.6\text{ cm}^2$, ¿cuánta superficie de cristal tendrá la lámpara completa?
Calcula el área total de un tronco de pirámide cuadrangular regular cuyas bases son cuadrados de lados $12\text{ cm}$ y $6\text{ cm}$ respectivamente, y cuya altura de…
Calcula el área total de un tronco de pirámide cuadrangular regular cuyas bases son cuadrados de lados $12\text{ cm}$ y $6\text{ cm}$ respectivamente, y cuya altura de la cara lateral (apotema del tronco) es de $8\text{ cm}$. ¿Cuánto papel de regalo se necesita como mínimo para envolver un objeto con esta forma?
Un trofeo tiene la forma de un octaedro regular de $6\text{ cm}$ de arista. El trofeo se va a bañar en plata, y el costo del baño es de $\$1…
Un trofeo tiene la forma de un octaedro regular de $6\text{ cm}$ de arista. El trofeo se va a bañar en plata, y el costo del baño es de $\$1$ por cada centímetro cuadrado. ¿Cuál será el costo total de platear las $8$ caras del trofeo?
(Dato: El área de un triángulo equilátero de lado $a$ es $A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$).
Desarrollos planos de cilindros y conos
Los cuerpos redondos también se pueden recortar y armar con papel, aunque no sean poliedros. Para construirlos hay que saber qué forma tiene cada pieza y cuánto mide.
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Cilindro: dos círculos de radio $r$ y un rectángulo de altura $h$ y base $2\pi r$ (lo que mide el borde del círculo, para que lo rodee justo).
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Cono: un círculo de radio $r$ y un sector circular cuyo radio es la generatriz $g$ y cuyo arco mide $2\pi r$.
En Cuerpos de revolución usarás estos desarrollos para calcular las áreas del cilindro y del cono.
Una lata de chiles jalapeños tiene forma de cilindro de $4\text{ cm}$ de radio y $11\text{ cm}$ de altura. Su etiqueta de papel cubre exactamente toda la superficie…
Una lata de chiles jalapeños tiene forma de cilindro de $4\text{ cm}$ de radio y $11\text{ cm}$ de altura. Su etiqueta de papel cubre exactamente toda la superficie lateral, sin encimarse.
- a) Si despegas la etiqueta y la extiendes, ¿qué forma tiene y cuáles son sus dimensiones?
- b) ¿Cuántos centímetros cuadrados de papel tiene la etiqueta?
Usa la tecla $\pi$ de la calculadora y redondea a décimas.
Quieres armar un cono de cartulina con radio de la base $r = 3\text{ cm}$ y generatriz $g = 8\text{ cm}$. ¿Qué ángulo debe tener el sector circular que forma su…
Quieres armar un cono de cartulina con radio de la base $r = 3\text{ cm}$ y generatriz $g = 8\text{ cm}$. ¿Qué ángulo debe tener el sector circular que forma su superficie lateral? ¿Qué radio tiene ese sector?
Para una fiesta en Guadalajara se van a fabricar gorros cónicos (abiertos por abajo) de $5\text{ cm}$ de radio y $12\text{ cm}$ de altura. a) Calcula la generatriz del…
Para una fiesta en Guadalajara se van a fabricar gorros cónicos (abiertos por abajo) de $5\text{ cm}$ de radio y $12\text{ cm}$ de altura.
- a) Calcula la generatriz del cono.
- b) ¿Qué ángulo debe tener el sector circular que se recorta? Redondea a décimas de grado.
- c) ¿Cuánta cartulina se necesita para cada gorro, sin contar las solapas? Redondea a décimas.
De un círculo de cartulina de $15\text{ cm}$ de radio se recorta un sector de $216^\circ$ y, uniendo sus bordes rectos, se arma un cono (sin base). a) ¿Cuánto mide el…
De un círculo de cartulina de $15\text{ cm}$ de radio se recorta un sector de $216^\circ$ y, uniendo sus bordes rectos, se arma un cono (sin base).
- a) ¿Cuánto mide el radio de la base del cono que se forma?
- b) Calcula la altura del cono.
- c) ¿Cuántos centímetros cuadrados de cartulina tiene el cono? Redondea a décimas.
- d) Si se usa como embudo tapando la punta, ¿cuántos litros caben en él? Redondea a centésimas.