Ejercicios: Aplicaciones de la trigonometría

Una escalera de $6\text{ m}$ está apoyada en la pared de una casa y forma un ángulo de $70^\circ$ con el suelo. ¿A qué altura de la pared llega la escalera? Usa la calculadora en grados y redondea a centésimas.

Una jacaranda proyecta una sombra de $12\text{ m}$ en un momento en que los rayos del sol forman un ángulo de $35^\circ$ con el suelo. ¿Cuánto mide la jacaranda? Redondea a centésimas.

La rampa de acceso de una escuela en Puebla sube $0.6\text{ m}$ en un recorrido horizontal de $7.2\text{ m}$. ¿Qué ángulo de inclinación tiene la rampa respecto al suelo? Redondea a centésimas de grado.

Para un proyecto escolar, necesitas calcular cuánto mide de largo el paralelo de latitud $40^\circ$ N. Sabiendo que el radio terrestre es $R \approx 6\,371$ km, calcula:

1. a) El radio del círculo que forma dicho paralelo (utiliza la expresión $r = R \times \cos(\text{latitud})$ y justifícala a partir del triángulo rectángulo de la figura).
2. b) La longitud total (perímetro) de dicho paralelo.

Desde lo alto de un acantilado de $32\text{ m}$ sobre el nivel del mar en Acapulco, Valeria ve una lancha con un ángulo de depresión de $14^\circ$. Unos minutos después, la lancha se ha acercado en línea recta hacia la base del acantilado y ahora la ve con un ángulo de depresión de $20^\circ$.

1. a) ¿A qué distancia horizontal de la base del acantilado estaba la lancha al principio?
2. b) ¿Y al final?
3. c) ¿Cuántos metros recorrió la lancha? Redondea los resultados a décimas.

Sofía está a $40\text{ m}$ de la base del Ángel de la Independencia, en la Ciudad de México, y ve la punta de la escultura con un ángulo de elevación de $47^\circ$. Sus ojos están a $1.55\text{ m}$ del suelo. ¿Qué altura total tiene el monumento, según su medición? Redondea a décimas.

Mateo suelta $80\text{ m}$ de hilo, bien tenso, y su papalote queda a $52\text{ m}$ de altura sobre su mano.

1. a) ¿Qué ángulo forma el hilo con la horizontal? Redondea a centésimas de grado.
2. b) ¿A qué distancia horizontal de Mateo está el papalote? Redondea a centésimas.

Dos ciudades, A y B, se encuentran en el mismo paralelo a una latitud de $45^\circ \text{ N}$. La ciudad A tiene una longitud de $20^\circ \text{ E}$ y la ciudad B una longitud de $70^\circ \text{ E}$.

Sabiendo que el radio de la Tierra es de aproximadamente $6371 \text{ km}$:

1. Calcula el radio del paralelo $45^\circ \text{ N}$ (Recuerda que el radio de un paralelo a una latitud $\alpha$ se calcula como $r = R \times \cos \alpha$; para $45^\circ$ utiliza el valor exacto $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$).

2. Determina la distancia en kilómetros que separa ambas ciudades siguiendo el arco del paralelo.

Un grupo de 3° de secundaria quiere estimar la altura de la Pirámide del Sol, en Teotihuacan. Desde un punto $P$ a nivel del suelo ven la cúspide con un ángulo de elevación de $30^\circ$. Caminan $50\text{ m}$ en línea recta hacia la pirámide, hasta un punto $Q$, y desde allí la ven con un ángulo de elevación de $45^\circ$. (Las distancias son horizontales, hasta el punto que está justo debajo de la cúspide.)

1. a) Llamando $h$ a la altura y $d$ a la distancia horizontal desde $Q$, plantea dos ecuaciones con la tangente.
2. b) Resuelve el sistema y calcula la altura de la pirámide. Redondea a décimas.
3. c) ¿A qué distancia horizontal de la cúspide estaba el punto $P$?

Desde la ventana de un departamento en Monterrey, a $24\text{ m}$ de altura, Diego ve la azotea del edificio de enfrente con un ángulo de elevación de $32^\circ$ y la base de ese mismo edificio con un ángulo de depresión de $50^\circ$.

1. a) ¿Qué distancia horizontal separa los dos edificios?
2. b) ¿Qué altura tiene el edificio de enfrente?
3. c) Explica por qué el ángulo de depresión desde la ventana es igual al ángulo de elevación con el que se vería la ventana desde la base del otro edificio.

Redondea los resultados a centésimas.