Expresiones algebraicas

En una tienda de aplicaciones para celulares, el costo de una suscripción mensual a un servicio de música es de $x$ pesos. Además, hay una comisión fija de $30$ pesos por cargos de servicio en cada recibo (se emite un recibo por persona y por mes). Expresa en lenguaje algebraico:

1. a) El costo total de un mes de suscripción.
2. b) El costo de tres meses de suscripción para un mismo usuario.
3. c) El costo de la suscripción de un mes para un grupo de 4 amigos si a cada uno se le aplica un descuento de $40$ pesos sobre el precio base $x$.

Un arquitecto está diseñando una habitación rectangular. El largo de la habitación mide $5$ metros más que el ancho. Si llamamos $x$ al ancho de la habitación:

1. a) Escribe una expresión algebraica que represente el perímetro de la habitación.
2. b) Escribe una expresión algebraica que represente el área de la habitación.

Copia y completa la siguiente tabla identificando los elementos de cada monomio dado:

Reduce las siguientes expresiones algebraicas sumando o restando los monomios semejantes:

1. a) $3x^2 - 5x + 2x^2 + x - 4x^2$
2. b) $2ab^2 + 3a^2b - 5ab^2 + a^2b$
3. c) $x + \frac{1}{2}x + 3x$

Dado el polinomio $P(x) = -2x^3 + 5x^2 - x + 7$, responde a las siguientes cuestiones:

1. a) ¿Cuál es el grado del polinomio?
2. b) ¿Cuál es el coeficiente del término de grado 2?
3. c) ¿Cuál es el término independiente?
4. d) Ordena el polinomio de forma creciente (de menor a mayor grado).

Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para los valores de las variables que se indican:

1. a) $3x^2 - 5x + 2$ para $x = 2$
2. b) $2(a + b)^2$ para $a = -1$ y $b = 3$
3. c) $\frac{x + 2y}{2}$ para $x = 4$ e $y = -3$

Una empresa de renta de scooters eléctricos utiliza la siguiente expresión algebraica para calcular el costo en centavos de la renta en función de los minutos de uso ($x$):

Nota: Esta fórmula es un modelo promocional para usuarios VIP y es válida para recorridos cortos.

1. Calcula el valor numérico del costo si utilizas el scooter durante 10 minutos.

2. Si un usuario ha pagado exactamente 3,000 centavos, ¿cuántos minutos teóricamente ha estado usando el scooter según la fórmula? (Pista: observa el término independiente y encuentra todas las soluciones posibles).

3. Desarrolla la expresión del costo para un tiempo de $(x + 3)$ minutos, es decir, calcula y simplifica $C(x+3)$.

Queremos comprobar si ciertos valores son "raíces" de un polinomio. Recuerda que una raíz es un valor que hace que el polinomio valga cero.

Dado el polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$:

1. Utiliza la división sintética (regla de Ruffini) para dividir $P(x)$ entre $(x - 1)$. ¿Cuál es el residuo? ¿Es $x=1$ una raíz del polinomio?

2. Sin usar la división sintética, calcula el valor numérico $P(-2)$. ¿Es $x=-2$ una raíz?

3. Escribe el polinomio $P(x)$ como producto de sus factores irreducibles sabiendo sus raíces.

Un terreno rectangular en Querétaro mide $x$ metros de ancho y su largo mide $4$ metros más que el ancho.

1. a) Escribe el área del terreno como un polinomio en $x$.
2. b) Calcula el área del terreno si el ancho mide $x = 6$ m.

En una tienda de recuerdos de Teotihuacan venden pirámides de obsidiana con base cuadrada de lado $x$ cm y una altura que mide el doble del lado de la base.

1. a) Escribe con $x$ el área de la base y la altura de la pirámide.
2. b) Usa $V = \dfrac{1}{3} A_{\text{base}} \times h$ para escribir el volumen de la pirámide como un monomio en $x$.
3. c) Calcula el volumen de una pirámide con $x = 6$ cm.

Observa la siguiente figura formada por un cuadrado de lado $x$ y un rectángulo adosado de base $3$ y altura $x$.

1. a) Escribe el polinomio que representa el área total de la figura.
2. b) Si el lado $x$ vale $4$ cm, ¿cuál es el área total de la figura?

Observa la siguiente figura compuesta por dos rectángulos unidos. Las longitudes están dadas en función de una variable indeterminada $x$.

Tu tarea consiste en:

1. Encontrar la expresión algebraica simplificada (polinomio) que representa el perímetro total de la figura.

2. Encontrar la expresión algebraica simplificada (polinomio) que representa el área total de la figura.

Una empresa de paquetería quiere fabricar cajas sin tapa a partir de láminas rectangulares de cartón de 40 cm de largo por 30 cm de ancho. Para ello, se cortan cuatro cuadrados iguales de lado $x$ en las esquinas y se doblan las pestañas resultantes hacia arriba.

1. Escribe el polinomio que expresa el volumen de la caja en función de $x$.

2. Determina el volumen de la caja si cortamos cuadrados de 5 cm de lado.

3. ¿Tendría sentido físico cortar cuadrados de 16 cm de lado? Razona tu respuesta basándote en las dimensiones de la lámina.

Se quiere construir una pieza metálica con forma de corona circular (un anillo plano).

El radio exterior del anillo es $R$ y el radio del hueco interior es $r$.

1. Escribe la expresión algebraica del área de la pieza ($A$) utilizando $\pi$, $R$ y $r$.

2. Sabiendo que el radio exterior es $x + 3$ y el radio interior es $x - 3$:

   a) Sustituye estos valores en la fórmula del área.

   b) Utiliza las igualdades notables para simplificar la expresión del área. El resultado final debe ser un monomio o polinomio muy sencillo multiplicado por $\pi$.

El área de un triángulo es $A = \dfrac{b \times h}{2}$.

1. a) Despeja la base $b$ en función del área $A$ y de la altura $h$.
2. b) Una vela triangular para una lancha de Acapulco tiene un área de $24$ m² y una altura de $6$ m. ¿Cuánto mide su base?

Un recipiente para semillas tiene forma de pirámide con base rectangular de $12$ cm por $10$ cm y una capacidad de $600$ cm³.

1. a) A partir de $V = \dfrac{1}{3} B \times h$, donde $B$ es el área de la base, despeja la altura $h$ en función de $V$ y de $B$.
2. b) Calcula el área de la base y la altura del recipiente.

Una fábrica de Puebla envasa chiles jalapeños en latas cilíndricas de $10$ cm de altura. El volumen de un cilindro es $V = \pi r^2 h$. Usa $\pi \approx 3.14$.

1. a) Despeja el radio $r$ en función de $V$ y de $h$.
2. b) Si cada lata debe contener $785$ cm³, ¿cuál es el radio de la lata?
3. c) La etiqueta de papel cubre toda la superficie lateral de la lata, que mide $2\pi r h$. ¿Cuántos cm² de papel lleva cada etiqueta?