Suma y producto de polinomios
Si el área de un rectángulo depende de $x$, sumar áreas o calcular la de un rectángulo más grande es operar con polinomios. Las reglas son las mismas que con números; solo hay que tener cuidado de juntar lo que es del mismo tipo.
Sumar y restar polinomios
Se suman (o restan) los términos semejantes, es decir, los que tienen la misma parte literal (mismas letras con los mismos exponentes). En un polinomio en $x$, son los del mismo grado. Ayuda colocarlos en columnas, como en las sumas de primaria:
Dados los polinomios $P(x) = 4x^2 - 3x + 5$ y $Q(x) = x^2 + 7x - 2$, realiza las siguientes operaciones agrupando los términos semejantes: a) $P(x) + Q(x)$ b)…
Dados los polinomios $P(x) = 4x^2 - 3x + 5$ y $Q(x) = x^2 + 7x - 2$, realiza las siguientes operaciones agrupando los términos semejantes:
- a) $P(x) + Q(x)$
- b) $P(x) - Q(x)$
Halla el polinomio que expresa el perímetro de la siguiente figura geométrica (un "L-block" de un videojuego). Recuerda que el perímetro es la suma de todos sus lados.
Halla el polinomio que expresa el perímetro de la siguiente figura geométrica (un "L-block" de un videojuego). Recuerda que el perímetro es la suma de todos sus lados.
Un "streamer" cobra una parte fija de $1{,}000$ pesos por cada transmisión en vivo y, además, recibe $40$ pesos por cada nueva suscripción ($s$) y $10$ pesos por cada…
Un "streamer" cobra una parte fija de $1{,}000$ pesos por cada transmisión en vivo y, además, recibe $40$ pesos por cada nueva suscripción ($s$) y $10$ pesos por cada "donación" ($d$).
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Escribe la expresión algebraica (polinomio) que representa sus ingresos totales en un día.
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Si en una transmisión consigue $20$ suscripciones y $40$ donaciones, ¿cuánto dinero ha ganado en total?
Multiplicar polinomios
Monomio por monomio: se multiplican los coeficientes y las partes literales (sumando exponentes de la misma letra): $(3x^2)\times(-4x^3) = -12x^5$.
Polinomio por polinomio: cada término del primero multiplica a cada término del segundo (propiedad distributiva). Un rectángulo lo enseña muy bien:
Realiza los siguientes productos de monomios, aplicando las propiedades de las potencias: a) $(3x^2) \times (4x^3) =$ b) $(-2a^2b) \times (5ab^3) =$ c)…
Realiza los siguientes productos de monomios, aplicando las propiedades de las potencias:
- a) $(3x^2) \times (4x^3) =$
- b) $(-2a^2b) \times (5ab^3) =$
- c) $(\frac{1}{2}x) \times (6x^5) =$
Aplica la propiedad distributiva para calcular el área del siguiente rectángulo, expresando el resultado como un polinomio:
Aplica la propiedad distributiva para calcular el área del siguiente rectángulo, expresando el resultado como un polinomio:
Aplica la propiedad distributiva para multiplicar los siguientes polinomios y reduce los términos semejantes: a) $(2x - 3) \times (x^2 - 4x + 1)$ b)…
Aplica la propiedad distributiva para multiplicar los siguientes polinomios y reduce los términos semejantes:
- a) $(2x - 3) \times (x^2 - 4x + 1)$
- b) $(x^2 + 2) \times (x^2 - 2)$
- c) $-(x - 5) \times (2x + 3) + 2x^2$
Sacar factor común
Es la propiedad distributiva al revés: si todos los términos tienen algo en común, se saca fuera multiplicando a un paréntesis.
$$6x^3 - 9x^2 + 3x = 3x\,(2x^2 - 3x + 1)$$Extrae factor común en las siguientes expresiones algebraicas para transformarlas en un producto de un monomio por un polinomio: a) $15x^4 - 10x^3 + 5x^2$ b)…
Extrae factor común en las siguientes expresiones algebraicas para transformarlas en un producto de un monomio por un polinomio:
- a) $15x^4 - 10x^3 + 5x^2$
- b) $3a^2b - 6ab^2 + 9ab$
- c) $2x(x+1) - 3(x+1)$
Productos notables
Hay productos que aparecen tanto que conviene saberlos de memoria: son los productos notables. Son la base de la factorización que usarás para resolver ecuaciones cuadráticas. Su dibujo explica de dónde salen:
El resultado de un binomio al cuadrado se llama trinomio cuadrado perfecto, y el de unos binomios conjugados, diferencia de cuadrados.
Cambia $a$ y $b$ y mira cómo se reparte el área del cuadrado grande:
Calcula el polinomio resultante de la siguiente expresión utilizando los productos notables (cuadrado de una suma, cuadrado de una diferencia y suma por diferencia):…
Calcula el polinomio resultante de la siguiente expresión utilizando los productos notables (cuadrado de una suma, cuadrado de una diferencia y suma por diferencia):
$A(x) = (2x + 3)^2 - (2x - 3)^2 + (x + 4) \times (x - 4)$
Simplifica al máximo el resultado final.
Realiza la siguiente operación combinada y simplifica el resultado al máximo, ordenando el polinomio de forma decreciente según su grado: $$(2x^2 - 3) \times (x^2 + 5x -…
Realiza la siguiente operación combinada y simplifica el resultado al máximo, ordenando el polinomio de forma decreciente según su grado:
$$(2x^2 - 3) \times (x^2 + 5x - 1) - [(x^2 - 2)^2 + 6x^3]$$Ten especial cuidado con el desarrollo de la identidad notable y el signo negativo que afecta al corchete.
Binomios con término común
Cuando los dos binomios comparten el mismo término ($x$) y solo cambia el número, el producto sale directo: $x^2$, más la suma de los números por $x$, más su producto.
Determina el valor del coeficiente $k$ para que se cumpla la siguiente igualdad entre polinomios: $(x + 3) \times (2x - 5) = 2x^2 + kx - 15$ Una vez hallado $k$, realiza…
Determina el valor del coeficiente $k$ para que se cumpla la siguiente igualdad entre polinomios:
$(x + 3) \times (2x - 5) = 2x^2 + kx - 15$
Una vez hallado $k$, realiza el producto $(x + 3) \times (2x - 5) \times (x + 1)$ y escribe el polinomio resultante en forma decreciente según sus grados.
Una empresa de mensajería utiliza cajas cuyas dimensiones (en cm) están en progresión aritmética y dependen de una variable $x$: Ancho: $x - 2$ Largo: $x + 1$ Alto:…
Una empresa de mensajería utiliza cajas cuyas dimensiones (en cm) están en progresión aritmética y dependen de una variable $x$:
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Ancho: $x - 2$
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Largo: $x + 1$
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Alto: $x + 4$
Halla el polinomio $V(x)$ que expresa el volumen de la caja. Posteriormente, halla el polinomio $S(x)$ que representa el área total de las seis caras de la caja. Simplifica ambas expresiones.