Volumen de un cuerpo geométrico
¿Cuánta agua cabe en un acuario? ¿Cuánta nieve hay en un cono de helado? ¿Cuántas bolas de plomo se pueden fabricar fundiendo una esfera grande? Todas estas preguntas son de volumen: el espacio que ocupa un cuerpo.
Unidades de volumen y capacidad
El volumen se mide en unidades cúbicas: $1 \text{ cm}^3$ es un cubito de 1 cm de arista. Cada unidad es 1 000 veces la siguiente (porque $10 \times 10 \times 10$).
Un acuario tiene forma de prisma rectangular con las siguientes medidas: $60\text{ cm}$ de largo, $30\text{ cm}$ de ancho y $40\text{ cm}$ de alto. Calcula cuántos…
Un acuario tiene forma de prisma rectangular con las siguientes medidas: $60\text{ cm}$ de largo, $30\text{ cm}$ de ancho y $40\text{ cm}$ de alto. Calcula cuántos litros de agua caben en el acuario si se llena por completo. (Recuerda que $1\text{ dm}^3 = 1\text{ litro}$).
Prismas y cilindros
Un prisma o un cilindro son "pilas" de bases iguales. Su volumen es área de la base por altura:
$$V = A_{base} \times h \qquad \text{Prisma rectangular: } V = a \times b \times c \qquad \text{Cilindro: } V = \pi r^2 h$$Hay varias estrategias para llegar a la misma fórmula: contar cubitos de $1 \text{ cm}^3$ por capas (los que caben en la base, por el número de capas), apilar "monedas" como en el dibujo o descomponer la base en triángulos y rectángulos. Todas dicen lo mismo: base por altura.
Un paquete que contiene un teclado "gamer" tiene forma de prisma rectangular. Sus dimensiones son $45\text{ cm}$ de largo, $15\text{ cm}$ de ancho y $5\text{ cm}$ de…
Un paquete que contiene un teclado "gamer" tiene forma de prisma rectangular. Sus dimensiones son $45\text{ cm}$ de largo, $15\text{ cm}$ de ancho y $5\text{ cm}$ de altura. Calcula el volumen de aire que ocupa la caja en centímetros cúbicos.
Una lata de refresco cilíndrica tiene un diámetro de $6\text{ cm}$ y una altura de $12\text{ cm}$. Calcula su volumen utilizando el valor de $\pi \approx 3.14$.
Una lata de refresco cilíndrica tiene un diámetro de $6\text{ cm}$ y una altura de $12\text{ cm}$. Calcula su volumen utilizando el valor de $\pi \approx 3.14$.
Calcula el volumen de un prisma cuya base es un triángulo rectángulo de catetos $6\text{ cm}$ y $8\text{ cm}$, sabiendo que la altura del prisma es de $15\text{ cm}$.
Calcula el volumen de un prisma cuya base es un triángulo rectángulo de catetos $6\text{ cm}$ y $8\text{ cm}$, sabiendo que la altura del prisma es de $15\text{ cm}$.
Pirámides y conos: un tercio
Si llenas de agua una pirámide y la vacías en un prisma con la misma base y la misma altura, necesitas exactamente tres pirámides para llenarlo. Lo mismo pasa con el cono y el cilindro.
$$V_{pirámide} = \frac{A_{base} \times h}{3} \qquad\qquad V_{cono} = \frac{\pi r^2 h}{3}$$Una pirámide de cristal decorativa tiene una base cuadrada de $8\text{ cm}$ de lado y una altura de $10\text{ cm}$. Calcula el volumen de cristal necesario para…
Una pirámide de cristal decorativa tiene una base cuadrada de $8\text{ cm}$ de lado y una altura de $10\text{ cm}$. Calcula el volumen de cristal necesario para fabricarla.
Un barquillo de helado tiene forma de cono. El radio de la base es de $3\text{ cm}$ y su altura es de $12\text{ cm}$. Calcula cuántos centímetros cúbicos de helado caben…
Un barquillo de helado tiene forma de cono. El radio de la base es de $3\text{ cm}$ y su altura es de $12\text{ cm}$. Calcula cuántos centímetros cúbicos de helado caben en su interior (sin que sobresalga nada por arriba).
Se desea fabricar un helado con forma de cono cuya generatriz mide $15 \text{ cm}$ y el radio de su base es de $6 \text{ cm}$. Calcula el volumen de helado que cabe en…
Se desea fabricar un helado con forma de cono cuya generatriz mide $15 \text{ cm}$ y el radio de su base es de $6 \text{ cm}$. Calcula el volumen de helado que cabe en el interior del cono. Si al servirlo se añade una semiesfera perfecta de helado sobre la base (del mismo radio), ¿cuál será el volumen total del helado?
La esfera
$$V_{esfera} = \frac{4}{3}\pi r^3$$El profesor de educación física guarda las pelotas de handball en una caja. Si cada pelota tiene un radio de $9\text{ cm}$, calcula el volumen de una de ellas…
El profesor de educación física guarda las pelotas de handball en una caja. Si cada pelota tiene un radio de $9\text{ cm}$, calcula el volumen de una de ellas redondeando a dos decimales. (Usa $\pi \approx 3.14$).
Tres bolas metálicas de radio $3 \text{ cm}$ se funden para crear una única esfera de mayor tamaño. Suponiendo que no se pierde material en el proceso, ¿cuál será el…
Tres bolas metálicas de radio $3 \text{ cm}$ se funden para crear una única esfera de mayor tamaño. Suponiendo que no se pierde material en el proceso, ¿cuál será el radio de la nueva esfera resultante? Redondea el resultado a las centésimas.
Cono, esfera y cilindro: la relación de Arquímedes
Toma un cilindro de radio $r$ y altura $2r$ (la esfera de radio $r$ cabe justa dentro). Mete en él, por turnos, un cono con la misma base y la misma altura, y la esfera. ¿Qué parte del cilindro ocupa cada uno?
Si lo haces con agua, lo ves sin fórmulas: la esfera llena dos conos, y un cono más la esfera llenan el cilindro. Al revés, esta relación es una forma de recordar (y justificar) la fórmula de la esfera: si el cilindro mide $2\pi r^3$, la esfera es dos tercios, $\frac{2}{3} \times 2\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi r^3$.
El Principio de Cavalieri establece que si dos cuerpos tienen la misma altura y el área de sus secciones a cualquier altura es igual, entonces tienen el mismo volumen.…
El Principio de Cavalieri establece que si dos cuerpos tienen la misma altura y el área de sus secciones a cualquier altura es igual, entonces tienen el mismo volumen. Utiliza esta idea para comparar el volumen de una esfera de radio $R$ con el volumen comprendido entre un cilindro de radio $R$ y altura $2R$, y un doble cono inscrito en él. Demuestra matemáticamente que el volumen de la esfera es efectivamente $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ calculando primero el volumen del cilindro y restándole el de los dos conos.
Se tiene un reloj de arena formado por dos conos idénticos unidos por sus vértices, dentro de un cilindro protector de cristal. Los conos tienen un radio de base de…
Se tiene un reloj de arena formado por dos conos idénticos unidos por sus vértices, dentro de un cilindro protector de cristal. Los conos tienen un radio de base de $6\text{ cm}$ y una altura de $10\text{ cm}$. Si el depósito superior está lleno de arena hasta la mitad de su altura, calcula el volumen de arena en $cm^3$. Si la arena cae al depósito inferior a un ritmo constante de $5\text{ cm}^3$ por minuto, ¿cuánto tiempo tardará en vaciarse la parte superior? (Recuerda aplicar la semejanza de conos para hallar el radio de la superficie de la arena).
Cuerpos compuestos
Muchos objetos reales combinan varios cuerpos: un silo (cilindro + cono), una cápsula (cilindro + dos semiesferas), una pieza con un agujero. Se descomponen, se calcula cada parte y se suma (o se resta el hueco).
Un vaso cilíndrico de $6 \text{ cm}$ de diámetro interior contiene agua hasta una altura de $10 \text{ cm}$. Se introduce en su interior una piedra de forma irregular y…
Un vaso cilíndrico de $6 \text{ cm}$ de diámetro interior contiene agua hasta una altura de $10 \text{ cm}$. Se introduce en su interior una piedra de forma irregular y el nivel del agua sube hasta los $12.5 \text{ cm}$ sin llegar a desbordarse. En la figura, la línea discontinua marca el nivel inicial del agua y la línea azul continua, el nivel final.
¿Cuál es el volumen de la piedra expresado en centímetros cúbicos?
Calcula el volumen de un cuerpo geométrico formado por un cilindro de $10 \text{ cm}$ de altura y $4 \text{ cm}$ de radio, que tiene en su parte superior una pirámide…
Calcula el volumen de un cuerpo geométrico formado por un cilindro de $10 \text{ cm}$ de altura y $4 \text{ cm}$ de radio, que tiene en su parte superior una pirámide cuadrangular cuya base está inscrita en la circunferencia del cilindro y cuya altura es de $6 \text{ cm}$.
(Pista: el lado del cuadrado de la base de la pirámide coincide con el lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio $4 \text{ cm}$).
El municipio de una ciudad ha instalado jardineras de cemento con forma de prisma hexagonal regular. Si cada lado del hexágono de la base mide $30 \text{ cm}$ y la…
El municipio de una ciudad ha instalado jardineras de cemento con forma de prisma hexagonal regular. Si cada lado del hexágono de la base mide $30 \text{ cm}$ y la altura de la jardinera es de $60 \text{ cm}$, calcula el volumen de tierra (en litros) necesario para llenarla por completo.
(Dato: recuerda que primero debes hallar la apotema de la base utilizando el teorema de Pitágoras).