Semejanza

Un diseñador gráfico está trabajando en el logotipo de una nueva aplicación. El diseño original es un rectángulo que mide $8\text{ cm}$ de ancho y $12\text{ cm}$ de alto. Para la pantalla de carga, necesita crear una versión más grande que sea semejante a la original. Si el ancho de la versión ampliada debe ser de $20\text{ cm}$, ¿cuál será la altura del logotipo en esa pantalla?

En el plano de una vivienda, la escala utilizada es $1:50$. Si el salón tiene una longitud de $12\text{ cm}$ en el dibujo, calcula cuántos metros mide la longitud real de dicha estancia.

Dos triángulos están colocados en posición de Tales. Sabiendo que los segmentos horizontales son paralelos y miden $6\text{ cm}$ y $10\text{ cm}$, y que el segmento vertical del triángulo menor mide $9\text{ cm}$, calcula el valor del segmento vertical desconocido denotado por $x$ del triángulo mayor.

En la siguiente figura, las rectas $r$, $s$ y $t$ son paralelas. Sabiendo que $y = x + 1$, utiliza el Teorema de Tales para calcular las longitudes desconocidas $x$ e $y$ expresadas en centímetros.

El triángulo $ABC$ tiene lados $AB = 5\text{ cm}$, $BC = 7\text{ cm}$ y $CA = 9\text{ cm}$. El triángulo $DEF$ tiene lados $DE = 9\text{ cm}$, $EF = 5\text{ cm}$ y $FD = 7\text{ cm}$.

1. a) ¿Son congruentes? ¿Por qué criterio?
2. b) Escribe la congruencia con los vértices en el orden correcto, es decir, indica qué vértice de $DEF$ corresponde a $A$, a $B$ y a $C$.

Diego quiere saber la distancia entre dos árboles, $A$ y $B$, que están en orillas opuestas del lago de Chapultepec, sin cruzarlo. Desde un punto $C$ en tierra firme, desde el que se ven los dos árboles, hace lo siguiente:

• Prolonga la línea $AC$ más allá de $C$ hasta un punto $D$ tal que $CD = CA$.

• Prolonga la línea $BC$ más allá de $C$ hasta un punto $E$ tal que $CE = CB$.

• Mide con la cinta la distancia $DE$, que resulta de $63\text{ m}$.

1. a) ¿Por qué los triángulos $ABC$ y $DEC$ son congruentes? Indica qué datos son iguales y el criterio.
2. b) ¿Cuál es la distancia entre los árboles $A$ y $B$?

Emiliano arma un papalote $ABCD$ con dos varillas: la larga, $AC$, y la corta, $BD$, que se cruzan en el punto $M$. Los lados miden $AB = AD = 25\text{ cm}$ y $CB = CD = 51\text{ cm}$, y la varilla larga mide $AC = 52\text{ cm}$.

1. a) Justifica que $\triangle ABC \cong \triangle ADC$ y deduce que la varilla $AC$ divide el ángulo $\hat{A}$ en dos ángulos iguales.
2. b) Justifica que $\triangle ABM \cong \triangle ADM$. Deduce que $BM = MD$ y que las dos varillas son perpendiculares.
3. c) Calcula la longitud $AM$ y la de la varilla corta $BD$. (Pista: aplica Pitágoras en los triángulos $ABM$ y $CBM$, llamando $x = AM$.)
4. d) ¿Cuántos centímetros cuadrados de papel de china necesita para cubrir el papalote?

Indica si los siguientes pares de triángulos son semejantes y justifica qué criterio has utilizado (AA, LLL o LAL):

• Triángulo 1: Ángulos de $40^\circ$ y $70^\circ$.

• Triángulo 2: Ángulos de $70^\circ$ y $70^\circ$.

Observa el triángulo rectángulo de la figura. La altura $h$ sobre la hipotenusa divide al triángulo original en dos triángulos más pequeños.

1. a) Justifica por qué los tres triángulos (el original y los dos pequeños) son semejantes entre sí.
2. b) Si los segmentos en los que queda dividida la hipotenusa miden $m = 4\text{ cm}$ y $n = 9\text{ cm}$, calcula la altura $h$ utilizando la semejanza de los dos triángulos pequeños.
3. c) Calcula el área del triángulo original.

Un estudiante de 3° de secundaria mide $1.60\text{ m}$ de altura. En un momento del día, proyecta una sombra sobre el suelo de $2\text{ m}$. Si justo al lado, un poste de luz proyecta una sombra de $5\text{ m}$, ¿cuál es la altura del poste?

Para calcular la altura de una torre de comunicación que proyecta una sombra muy larga, Marcos, que mide $1.70\text{ m}$, se coloca de pie de forma que el extremo de su propia sombra coincida con el extremo de la sombra de la torre. Si Marcos está a $25\text{ m}$ de la base de la torre y su sombra mide $2.5\text{ m}$, responde:

1. a) ¿Por qué podemos afirmar que los triángulos formados por Marcos y la torre con sus respectivas sombras son semejantes? Menciona el criterio de semejanza utilizado.
2. b) Calcula la altura de la torre.

Una pizzería ofrece dos tamaños de pizza redonda que son semejantes. La pizza "Pequeña" tiene un radio de $10\text{ cm}$ y un área de aproximadamente $314\text{ cm}^2$. Si la pizza "Familiar" tiene un radio de $20\text{ cm}$, ¿cuál será su área? (Recuerda la relación entre la razón de semejanza $k$ y las áreas).

Dos rectángulos son semejantes. El primero tiene una base de $12\text{ cm}$ y un área de $96\text{ cm}^2$. El segundo rectángulo tiene un área de $150\text{ cm}^2$.

1. a) Calcula la razón de semejanza entre el segundo y el primer rectángulo. (Pista: utiliza la relación entre áreas).
2. b) Calcula las dimensiones (base y altura) del segundo rectángulo.
3. c) ¿Cuál es la razón entre sus perímetros?

Una empresa de mobiliario fabrica mesas de centro hexagonales regulares. Tienen dos modelos: el modelo "Mini" tiene un lado de $30\text{ cm}$ y su tapa de cristal cuesta $\$900$. El modelo "Gran Salón" es semejante al anterior y tiene un lado de $60\text{ cm}$.

1. a) ¿Cuál es la razón de semejanza entre el modelo grande y el pequeño?
2. b) Sabiendo que el precio del cristal es proporcional a su superficie, ¿cuánto costará la tapa de cristal del modelo "Gran Salón"?
3. c) Si para bordear la mesa pequeña con una cinta metálica se necesitan $180\text{ cm}$, ¿cuánta cinta se necesitará para la mesa grande?