Teorema de Pitágoras
¿Cuánto mide la diagonal de la pantalla de tu celular? ¿Llega la escalera de los bomberos a la ventana del tercer piso? Las dos preguntas se responden con el mismo resultado: el teorema de Pitágoras. En este apartado vas a ver qué dice, por qué es cierto y cómo usarlo para encontrar la apotema de un hexágono, la diagonal de una caja o los lados de un triángulo cuando solo sabes cómo se relacionan.
El teorema
En un triángulo rectángulo, los dos lados que forman el ángulo recto se llaman catetos, y el lado opuesto al ángulo recto, el más largo, es la hipotenusa.
Una escalera de bomberos se apoya en la fachada de un edificio. La base de la escalera está a $3\text{ m}$ de la pared y alcanza una altura de $4\text{ m}$ en la…
Una escalera de bomberos se apoya en la fachada de un edificio. La base de la escalera está a $3\text{ m}$ de la pared y alcanza una altura de $4\text{ m}$ en la fachada. Calcula la longitud total de la escalera.
Un mástil de telecomunicaciones está sujeto por un cable tensado desde su extremo superior hasta un punto en el suelo. El cable mide $13\text{ m}$ y el mástil tiene una…
Un mástil de telecomunicaciones está sujeto por un cable tensado desde su extremo superior hasta un punto en el suelo. El cable mide $13\text{ m}$ y el mástil tiene una altura de $12\text{ m}$. Determina a qué distancia de la base del mástil está anclado el cable en el suelo.
¿Por qué es cierto?
Que $3^2 + 4^2 = 5^2$ funcione en un ejemplo no demuestra nada: podría ser casualidad. Para estar seguros de que se cumple en todos los triángulos rectángulos hay que justificarlo. La forma más clara es comparar áreas.
Toma cuatro copias iguales de un triángulo rectángulo de catetos $b$ y $c$ e hipotenusa $a$, y acomódalas dentro de un cuadrado de lado $b + c$, como en el dibujo. En medio queda un hueco: un cuadrado de lado $a$.
Las dimensiones de una pantalla de computadora rectangular son $32\text{ cm}$ de ancho y $24\text{ cm}$ de alto. Calcula la longitud de su diagonal para saber el tamaño…
Las dimensiones de una pantalla de computadora rectangular son $32\text{ cm}$ de ancho y $24\text{ cm}$ de alto. Calcula la longitud de su diagonal para saber el tamaño real de la pantalla.
Diagonales y rombos
La diagonal de un rectángulo, el lado de un rombo a partir de sus diagonales, o la diagonal de un cuadrado son casos clásicos: siempre hay un triángulo rectángulo escondido entre dos medidas conocidas y la que buscas.
Una plaza tiene forma de cuadrado con un lado de $50\text{ m}$. Si decides cruzarla en línea recta desde una esquina hasta la esquina opuesta, ¿qué distancia recorrerás?
Una plaza tiene forma de cuadrado con un lado de $50\text{ m}$. Si decides cruzarla en línea recta desde una esquina hasta la esquina opuesta, ¿qué distancia recorrerás?
Para construir una cometa con forma de rombo, se han cruzado dos varillas de madera que miden $60\text{ cm}$ y $80\text{ cm}$. Calcula la longitud del borde exterior de…
Para construir una cometa con forma de rombo, se han cruzado dos varillas de madera que miden $60\text{ cm}$ y $80\text{ cm}$. Calcula la longitud del borde exterior de la cometa (el lado del rombo).
El perímetro de una alberca con forma de rombo es de $52\text{ m}$ y una de sus diagonales mide $10\text{ m}$. Calcula la longitud de la otra diagonal y el área de la…
El perímetro de una alberca con forma de rombo es de $52\text{ m}$ y una de sus diagonales mide $10\text{ m}$. Calcula la longitud de la otra diagonal y el área de la superficie de la alberca.
Alturas y apotemas en polígonos
La altura de un triángulo isósceles, la apotema de un polígono regular o el lado inclinado de un trapecio isósceles se calculan igual: trazando la altura, que siempre cae perpendicular y forma un triángulo rectángulo con la mitad de la base.
Una señal de tráfico tiene forma de triángulo isósceles. Su base mide $60\text{ cm}$ y cada uno de los dos lados iguales mide $50\text{ cm}$. Calcula la altura $h$ de la…
Una señal de tráfico tiene forma de triángulo isósceles. Su base mide $60\text{ cm}$ y cada uno de los dos lados iguales mide $50\text{ cm}$. Calcula la altura $h$ de la señal.
Un mosaico decorativo está formado por baldosas con forma de hexágono regular de $10\text{ cm}$ de lado. Calcula la apotema de una de estas baldosas.
Un mosaico decorativo está formado por baldosas con forma de hexágono regular de $10\text{ cm}$ de lado. Calcula la apotema de una de estas baldosas.
Una parcela de terreno tiene forma de trapecio rectángulo. El lado perpendicular a las bases mide $12\text{ m}$, la base mayor mide $30\text{ m}$ y la base menor mide…
Una parcela de terreno tiene forma de trapecio rectángulo. El lado perpendicular a las bases mide $12\text{ m}$, la base mayor mide $30\text{ m}$ y la base menor mide $25\text{ m}$. Calcula el perímetro total de la parcela.
Cuerdas y circunferencias
El radio de una circunferencia, la mitad de una cuerda y la distancia del centro a esa cuerda forman siempre un triángulo rectángulo: es la relación que resuelve problemas de tuberías, canales de riego o circunferencias circunscritas.
Una tubería cilíndrica transporta agua. El radio de la tubería es de $13\text{ cm}$ y la superficie del agua forma una cuerda horizontal de $24\text{ cm}$ de ancho. Si…
Una tubería cilíndrica transporta agua. El radio de la tubería es de $13\text{ cm}$ y la superficie del agua forma una cuerda horizontal de $24\text{ cm}$ de ancho. Si el nivel del agua está por debajo del centro de la tubería, ¿cuál es la profundidad máxima del agua $h$?
En una pieza circular de madera de $25\text{ cm}$ de radio, se realizan dos cortes rectos y paralelos. Uno de los cortes tiene una longitud de $48\text{ cm}$ y el otro…
En una pieza circular de madera de $25\text{ cm}$ de radio, se realizan dos cortes rectos y paralelos. Uno de los cortes tiene una longitud de $48\text{ cm}$ y el otro de $40\text{ cm}$. Si ambos cortes se realizan a lados opuestos del centro del círculo, calcula la distancia perpendicular que separa a los dos cortes.
Un logotipo está formado por un triángulo isósceles inscrito en una circunferencia. La base del triángulo mide $16\text{ cm}$ y su altura relativa a la base mide…
Un logotipo está formado por un triángulo isósceles inscrito en una circunferencia. La base del triángulo mide $16\text{ cm}$ y su altura relativa a la base mide $18\text{ cm}$. Calcula el radio de la circunferencia en la que está inscrito el triángulo.
Pitágoras en el espacio
En tres dimensiones, Pitágoras se aplica dos veces seguidas: primero sobre una cara para obtener una diagonal plana, y luego combinando esa diagonal con la altura para obtener la diagonal espacial.
Para transportar una barra de metal rígida, se dispone de una caja con forma de prisma rectangular cuyas dimensiones son $80\text{ cm}$ de largo, $60\text{ cm}$ de ancho…
Para transportar una barra de metal rígida, se dispone de una caja con forma de prisma rectangular cuyas dimensiones son $80\text{ cm}$ de largo, $60\text{ cm}$ de ancho y $50\text{ cm}$ de alto. Calcula la longitud máxima que puede tener la barra para que quepa completamente cerrada dentro de la caja.
Una habitación tiene forma de prisma rectangular de dimensiones $5\text{ m}$ de largo, $4\text{ m}$ de ancho y $3\text{ m}$ de alto. Una araña se encuentra en una…
Una habitación tiene forma de prisma rectangular de dimensiones $5\text{ m}$ de largo, $4\text{ m}$ de ancho y $3\text{ m}$ de alto. Una araña se encuentra en una esquina del techo y quiere llegar a la esquina opuesta del suelo caminando por las paredes, el techo o el suelo. Si la araña toma el camino más corto posible, calcula dicha distancia. (Pista: imagina el desarrollo plano de la habitación).
Pitágoras con ecuaciones
Cuando no conoces ningún lado por completo, solo relaciones entre ellos, Pitágoras se convierte en una ecuación (o un sistema) que hay que resolver.
En un jardín, se quiere delimitar una zona con forma de triángulo rectángulo. Se sabe que las longitudes de sus tres lados son tres números enteros pares consecutivos.…
En un jardín, se quiere delimitar una zona con forma de triángulo rectángulo. Se sabe que las longitudes de sus tres lados son tres números enteros pares consecutivos. Plantea la ecuación correspondiente usando el teorema de Pitágoras y determina las longitudes de los tres lados.
Un puente tiene una estructura lateral en forma de trapecio escaleno. Las bases horizontales miden $40\text{ m}$ y $26\text{ m}$, y los lados oblicuos miden…
Un puente tiene una estructura lateral en forma de trapecio escaleno. Las bases horizontales miden $40\text{ m}$ y $26\text{ m}$, y los lados oblicuos miden $13\text{ m}$ y $15\text{ m}$. Planteando un sistema de ecuaciones con el teorema de Pitágoras, calcula la altura del trapecio.
Dos torres de $15\text{ m}$ y $20\text{ m}$ de altura están separadas por una distancia horizontal desconocida. Un pájaro vuela en línea recta desde la cima de la torre…
Dos torres de $15\text{ m}$ y $20\text{ m}$ de altura están separadas por una distancia horizontal desconocida. Un pájaro vuela en línea recta desde la cima de la torre de $15\text{ m}$ hasta la base de la torre de $20\text{ m}$, recorriendo exactamente $25\text{ m}$. Calcula la distancia entre las bases de las torres. A continuación, si otro pájaro vuela en línea recta desde la cima de la torre de $20\text{ m}$ hasta la base de la torre de $15\text{ m}$, ¿qué distancia recorrerá?