Lugares geométricos
Dos pueblos de Oaxaca quieren construir una unidad deportiva a la misma distancia de los dos. Un museo quiere poner una vitrina a la misma distancia de dos paredes. Un perro atado con una correa de 5 m puede llegar a cualquier punto a 5 m o menos de la estaca. Todos son problemas de lugares geométricos: el conjunto de todos los puntos que cumplen una condición. La mediatriz y la bisectriz ya las trazaste con regla y compás en 1°; aquí las vas a ver como lugares geométricos y las vas a usar para encontrar los puntos notables del triángulo.
Qué es un lugar geométrico
El más sencillo: los puntos que están a una distancia $r$ de un punto $O$ forman la circunferencia de centro $O$ y radio $r$. Compruébalo: arrastra el punto P y deja "huellas" en los sitios donde $OP$ vale exactamente lo pedido.
Un joven entrena a su perro en un descampado. El perro está sujeto a una correa extensible de $5$ metros de longitud máxima, anclada a una estaca clavada en el suelo.…
Un joven entrena a su perro en un descampado. El perro está sujeto a una correa extensible de $5$ metros de longitud máxima, anclada a una estaca clavada en el suelo. Dibuja y describe el lugar geométrico que forman las posiciones por las que puede moverse el perro si mantiene la correa siempre tensa (es decir, estirada al máximo). Elige una escala adecuada, por ejemplo $1$ cm en el dibujo equivale a $1$ m en la realidad, y señala en tu dibujo la estaca y la posición del perro.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
La mediatriz
Busca puntos P con $PA = PB$. ¿Qué forma dibujan tus huellas?
Dos pueblos, Pueblo A y Pueblo B, están situados a una distancia de $8$ km entre sí. Las autoridades quieren construir una parada de camión que esté exactamente a la…
Dos pueblos, Pueblo A y Pueblo B, están situados a una distancia de $8$ km entre sí. Las autoridades quieren construir una parada de camión que esté exactamente a la misma distancia de ambos pueblos. ¿En qué línea o lugar geométrico deben situar la parada? Represéntalo gráficamente en tu cuaderno.
En el patio de una escuela secundaria, dos antenas de Wi-Fi están situadas en los puntos $A$ y $B$, separados por una distancia de $12$ metros. Un estudiante busca un…
En el patio de una escuela secundaria, dos antenas de Wi-Fi están situadas en los puntos $A$ y $B$, separados por una distancia de $12$ metros. Un estudiante busca un lugar para sentarse donde reciba la misma intensidad de señal de ambas antenas.
- a) Describe qué lugar geométrico forman todos los puntos que están a la misma distancia de $A$ y de $B$.
- b) Si el estudiante además quiere estar exactamente a $10$ metros de la antena $A$, ¿en cuántos puntos posibles del patio podría situarse? Explica qué figuras geométricas tendrías que dibujar para encontrarlos.
La bisectriz
La distancia de un punto a una recta se mide siempre en perpendicular (es el camino más corto). En el interactivo, las líneas de colores son esas perpendiculares:
En un museo, dos paredes forman un ángulo de $70^\circ$. Se desea instalar una vitrina que esté situada siempre a la misma distancia de ambas paredes. Dibuja el ángulo y…
En un museo, dos paredes forman un ángulo de $70^\circ$. Se desea instalar una vitrina que esté situada siempre a la misma distancia de ambas paredes. Dibuja el ángulo y traza el lugar geométrico donde se podrían colocar los objetos de la vitrina. ¿Cómo se llama técnicamente esta línea?
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Dos calles rectas de una colonia, la Calle Mayor y la Calle Menor, se cruzan formando un ángulo de $60^\circ$. Se quiere colocar un bote de basura que cumpla dos…
Dos calles rectas de una colonia, la Calle Mayor y la Calle Menor, se cruzan formando un ángulo de $60^\circ$. Se quiere colocar un bote de basura que cumpla dos condiciones: que esté a la misma distancia de ambas calles y que diste exactamente $5$ metros del punto de intersección de las calles.
- a) Define el lugar geométrico que cumple la primera condición.
- b) Utiliza el concepto de lugar geométrico para explicar cómo determinarías la posición exacta del bote de basura. ¿Cuántas soluciones posibles existen en total?
Los puntos notables del triángulo
En todo triángulo, ciertas rectas se cortan siempre en un mismo punto. Cada punto tiene una utilidad:
| Punto | Se cortan las… | Propiedad | Para qué sirve |
|---|---|---|---|
| Circuncentro | Mediatrices | Equidista de los 3 vértices | Centro de la circunferencia que pasa por los vértices (circunscrita). Una antena que dé igual cobertura a tres pueblos. |
| Incentro | Bisectrices | Equidista de los 3 lados | Centro de la circunferencia inscrita (tangente a los lados). La fuente más alejada de las cercas de un parque triangular. |
| Baricentro | Medianas (vértice → punto medio del lado opuesto) | Divide cada mediana en razón 2 : 1 | Centro de gravedad: una placa triangular se sostiene en equilibrio sobre él. |
| Ortocentro | Alturas | — | — |
Identifica el punto notable del triángulo que se describe en cada caso: a) Es el punto que equidista de los tres vértices del triángulo. b) Es el punto donde se cortan…
Identifica el punto notable del triángulo que se describe en cada caso:
- a) Es el punto que equidista de los tres vértices del triángulo.
- b) Es el punto donde se cortan las tres alturas de un triángulo.
- c) Es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo (la que toca sus tres lados).
- d) Es el centro de gravedad del triángulo y el punto donde se cortan las medianas.
Un parque tiene forma triangular, como muestra la figura. Se quiere instalar una fuente en el interior del parque de modo que la distancia de la fuente a cada uno de los…
Un parque tiene forma triangular, como muestra la figura. Se quiere instalar una fuente en el interior del parque de modo que la distancia de la fuente a cada uno de los tres caminos (lados del parque) sea la misma.
- a) ¿Qué rectas notables del triángulo tendrías que dibujar para encontrar la ubicación?
- b) ¿Cómo se llama el punto resultante?
Se ha diseñado un juego de mesa donde una ficha debe colocarse en el "centro de gravedad" de una pieza triangular de cartón para que se mantenga en equilibrio sobre la…
Se ha diseñado un juego de mesa donde una ficha debe colocarse en el "centro de gravedad" de una pieza triangular de cartón para que se mantenga en equilibrio sobre la punta de un lápiz. Los lados del triángulo miden $15$ cm, $20$ cm y $25$ cm. En la figura puedes ver la pieza $ABC$ (con el ángulo recto en $A$), sus tres medianas y el punto $P$ donde se coloca la ficha.
- a) ¿Qué nombre recibe este punto de equilibrio en geometría?
- b) Si trazamos una de las medianas de este triángulo, ¿en qué proporción divide el punto de equilibrio a dicha mediana? Expresa la relación entre la distancia del punto al vértice y la distancia del punto al lado opuesto.
Una empresa de logística quiere ubicar un almacén central que dé servicio a tres tiendas situadas en los puntos $A(2, 6)$, $B(2, 0)$ y $C(10, 0)$ (unidades en km). Para…
Una empresa de logística quiere ubicar un almacén central que dé servicio a tres tiendas situadas en los puntos $A(2, 6)$, $B(2, 0)$ y $C(10, 0)$ (unidades en km). Para minimizar los costos de transporte, el almacén debe estar a la misma distancia de las tres tiendas.
- a) Determina las coordenadas del punto donde debe situarse el almacén mediante el estudio de las mediatrices.
- b) ¿Cómo se llama el lugar geométrico de los puntos que están a una distancia de $5$ km del punto $B$? ¿Estaría la tienda $C$ dentro de esa zona?