Cuerpos de revolución
Una lata de refresco, un cono de helado, una pelota de tenis. Ninguno tiene caras planas: son cuerpos de revolución, que se obtienen haciendo girar una figura plana alrededor de una recta. Si giras un rectángulo sobre uno de sus lados, "aparece" un cilindro.
Cómo se generan
Mueve el deslizador para girar la figura plana alrededor del eje y verás cómo se forma el cuerpo:
| Figura que gira | Eje de giro | Cuerpo |
|---|---|---|
| Rectángulo | uno de sus lados | Cilindro |
| Triángulo rectángulo | un cateto | Cono |
| Trapecio rectángulo | el lado perpendicular a las bases | Tronco de cono |
| Semicírculo | su diámetro | Esfera |
Elementos: el radio $r$ de la base, la altura $h$ y la generatriz $g$ (el lado que, al girar, "barre" la superficie lateral). En el cono, $g$ es la hipotenusa: $g = \sqrt{h^2 + r^2}$.
Imagina que tienes una cartulina rectangular de $10\text{ cm}$ de base y $15\text{ cm}$ de altura. Si la haces girar rápidamente sobre uno de sus lados de $15\text{ cm}$…
Imagina que tienes una cartulina rectangular de $10\text{ cm}$ de base y $15\text{ cm}$ de altura. Si la haces girar rápidamente sobre uno de sus lados de $15\text{ cm}$ (el lado marcado como eje de giro en la figura), ¿qué cuerpo de revolución se genera? Dibuja el cuerpo resultante e indica cuánto miden su radio y su altura.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Se genera un cuerpo de revolución al hacer girar un rectángulo de base $4\text{ cm}$ y altura $7\text{ cm}$ alrededor de uno de sus lados largos. 1. ¿Qué figura…
Se genera un cuerpo de revolución al hacer girar un rectángulo de base $4\text{ cm}$ y altura $7\text{ cm}$ alrededor de uno de sus lados largos.
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¿Qué figura geométrica se obtiene?
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Calcula su área total.
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Si girase alrededor del lado corto, ¿tendría el mismo volumen? Justifica tu respuesta realizando los cálculos.
El cilindro
Si cortas la etiqueta de una lata y la extiendes, sale un rectángulo: su base es la longitud de la circunferencia, $2\pi r$, y su altura, $h$.
Un bote de refresco estándar tiene forma cilíndrica. Si el radio de su base mide $3.25\text{ cm}$ y su altura es de $12\text{ cm}$, calcula el área de la etiqueta de…
Un bote de refresco estándar tiene forma cilíndrica. Si el radio de su base mide $3.25\text{ cm}$ y su altura es de $12\text{ cm}$, calcula el área de la etiqueta de papel que rodea lateralmente al bote (área lateral). Utiliza $\pi \approx 3.14$.
Una empresa de mensajería utiliza tubos cilíndricos de cartón para enviar planos. Si cada tubo tiene un área lateral de $942\text{ cm}^2$ y una altura de $50\text{ cm}$:…
Una empresa de mensajería utiliza tubos cilíndricos de cartón para enviar planos. Si cada tubo tiene un área lateral de $942\text{ cm}^2$ y una altura de $50\text{ cm}$:
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Calcula el radio de la base del tubo.
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Calcula la cantidad de cartón necesaria para fabricar las dos tapas circulares de cada tubo. (Utiliza $\pi \approx 3.14$).
El cono y el tronco de cono
El desarrollo lateral de un cono es un sector circular de radio la generatriz $g$:
En el tronco de cono (como un bote de palomitas del cine), con radios $R$ y $r$: $A_L = \pi\,(R + r)\,g$.
Para un disfraz de mago, un estudiante ha fabricado un gorro con forma de cono. Si el radio de la base es de $10\text{ cm}$ y la altura del gorro es de $24\text{ cm}$,…
Para un disfraz de mago, un estudiante ha fabricado un gorro con forma de cono. Si el radio de la base es de $10\text{ cm}$ y la altura del gorro es de $24\text{ cm}$, utiliza el teorema de Pitágoras para calcular la longitud de la generatriz ($g$) del cono.
Un barquillo de helado tiene forma de cono. El radio de la abertura superior es de $3\text{ cm}$ y su profundidad (altura) es de $10\text{ cm}$. ¿Qué volumen de helado…
Un barquillo de helado tiene forma de cono. El radio de la abertura superior es de $3\text{ cm}$ y su profundidad (altura) es de $10\text{ cm}$. ¿Qué volumen de helado cabe exactamente en el interior del barquillo? (Considera que el helado queda enrasado con el borde, sin sobresalir).
Calcula el área lateral y el volumen de un tronco de cono (como un cubo de palomitas) cuyas bases tienen radios de $10\text{ cm}$ y $6\text{ cm}$, sabiendo que su altura…
Calcula el área lateral y el volumen de un tronco de cono (como un cubo de palomitas) cuyas bases tienen radios de $10\text{ cm}$ y $6\text{ cm}$, sabiendo que su altura es de $15\text{ cm}$. Nota: Necesitarás calcular primero la generatriz mediante el Teorema de Pitágoras.
La esfera
Una esfera se obtiene al girar un semicírculo alrededor de su diámetro. Su área es exactamente cuatro veces el área de su círculo máximo:
$$A = 4\pi r^2$$Una pelota de tenis tiene un diámetro aproximado de $6.7\text{ cm}$. Calcula la superficie total de fieltro necesaria para cubrir la pelota, tratándola como una esfera…
Una pelota de tenis tiene un diámetro aproximado de $6.7\text{ cm}$. Calcula la superficie total de fieltro necesaria para cubrir la pelota, tratándola como una esfera perfecta. Expresa el resultado en $\text{cm}^2$.
Si cortamos una naranja por la mitad, obtenemos dos semiesferas. Si el radio de la naranja es de $4\text{ cm}$, calcula el volumen de una de esas mitades.
Si cortamos una naranja por la mitad, obtenemos dos semiesferas. Si el radio de la naranja es de $4\text{ cm}$, calcula el volumen de una de esas mitades.
Una marca de suplementos vitamínicos diseña sus cápsulas con forma de cilindro y dos semiesferas en los extremos. La longitud total de la cápsula es de $22\text{ mm}$ y…
Una marca de suplementos vitamínicos diseña sus cápsulas con forma de cilindro y dos semiesferas en los extremos. La longitud total de la cápsula es de $22\text{ mm}$ y el diámetro del cilindro central es de $8\text{ mm}$. Calcula el volumen total de la cápsula en milímetros cúbicos.
La esfera no tiene desarrollo plano
El cilindro y el cono se despliegan sin arrugas: un rectángulo y un sector. La esfera no. Intenta aplanar la cáscara de media naranja: se rompe o se arruga. Ninguna hoja de papel puede envolver una pelota sin pliegues ni recortes.
Lo que sí se puede hacer es un desarrollo aproximado: cortar la esfera en husos (gajos de polo a polo, como los de una naranja o los de una pelota de playa) y extenderlos uno junto a otro.
Por eso todos los mapas del mundo deforman algo. En el mapa más usado (el de Mercator), Groenlandia aparece mucho más grande que México, cuando en realidad sus áreas son parecidas (unos 2.2 y 2 millones de km²). Los globos terráqueos de papel se fabrican justo con husos.
Un depósito esférico de gas tiene un diámetro exterior de $6\text{ metros}$. Los ingenieros quieren aplicar una capa de pintura antioxidante que cuesta $\$290…
Un depósito esférico de gas tiene un diámetro exterior de $6\text{ metros}$. Los ingenieros quieren aplicar una capa de pintura antioxidante que cuesta $\$290$ por cada metro cuadrado. ¿Cuánto costará pintar la superficie total del depósito? (Utiliza $\pi \approx 3.14$).