Ejercicios: Área de un poliedro

Un joven diseñador está creando un prototipo de altavoz inteligente con forma de cubo. Si la arista del cubo mide $9\text{ cm}$, calcula la superficie total de material plástico que se necesita para recubrir todas sus caras.

Una caja de zapatos tiene forma de prisma rectangular con las siguientes dimensiones: $30\text{ cm}$ de largo, $18\text{ cm}$ de ancho y $12\text{ cm}$ de alto. Calcula el área total de cartón utilizado para fabricar la caja (sin contar solapas).

Verifica si se cumple el Teorema de Euler ($C + V = A + 2$) para un prisma de base pentagonal, como el de la figura (las aristas discontinuas son las que quedan ocultas). Indica claramente el número de caras ($C$), vértices ($V$) y aristas ($A$) que has contado.

Calcula el área lateral de una pirámide cuadrangular regular si sabemos que el lado de la base mide $10\text{ cm}$ y la apotema de la pirámide (la altura de sus caras laterales) mide $15\text{ cm}$.

Un estuche para un instrumento musical tiene forma de prisma triangular recto. La base es un triángulo equilátero de $8\text{ cm}$ de lado y la altura del prisma es de $40\text{ cm}$. Si el área de la base triangular es aproximadamente $27.7\text{ cm}^2$, calcula el área total del estuche.

A partir del desarrollo plano de la figura, identifica de qué poliedro se trata y calcula su área total sabiendo que cada cuadrado tiene $5\text{ cm}$ de lado.

Un cristalero debe fabricar un cristal para una lámpara con forma de tetraedro regular (todas sus caras son triángulos equiláteros iguales). Si cada cara tiene un área de $15.6\text{ cm}^2$, ¿cuánta superficie de cristal tendrá la lámpara completa?

Calcula el área lateral de un prisma recto cuya altura es de $12\text{ cm}$ y cuya base es un rombo de diagonales $16\text{ cm}$ y $12\text{ cm}$.

(Pista: Primero debes hallar el lado del rombo usando el Teorema de Pitágoras en uno de los triángulos rectángulos interiores de la base).

Una lata de chiles jalapeños tiene forma de cilindro de $4\text{ cm}$ de radio y $11\text{ cm}$ de altura. Su etiqueta de papel cubre exactamente toda la superficie lateral, sin encimarse.

1. a) Si despegas la etiqueta y la extiendes, ¿qué forma tiene y cuáles son sus dimensiones?
2. b) ¿Cuántos centímetros cuadrados de papel tiene la etiqueta?

Usa la tecla $\pi$ de la calculadora y redondea a décimas.

Quieres armar un cono de cartulina con radio de la base $r = 3\text{ cm}$ y generatriz $g = 8\text{ cm}$. ¿Qué ángulo debe tener el sector circular que forma su superficie lateral? ¿Qué radio tiene ese sector?

Para un proyecto de tecnología, tienes que construir una caja de herramientas con forma de prisma hexagonal regular. La arista de la base mide $10\text{ cm}$ y la altura del prisma es de $25\text{ cm}$. Si quieres forrar todas las caras exteriores (incluidas las dos bases) con una lámina protectora, ¿cuántos centímetros cuadrados de material necesitarás?

(Nota: Recuerda que para calcular el área de la base necesitarás hallar primero la apotema del hexágono usando el teorema de Pitágoras).

Una empresa de arquitectura ha diseñado un lucernario de cristal con forma de pirámide cuadrangular regular. La arista de la base mide $4\text{ m}$ y la altura de la pirámide es de $3\text{ m}$. Calcula la superficie total de cristal necesaria para cubrir las cuatro caras laterales (la base queda abierta para dejar pasar la luz al interior del edificio).

Un nuevo poliedro para un juego de mesa ha sido diseñado cumpliendo el teorema de Euler. Sabemos que el dado tiene $14$ vértices y que todas sus caras son triángulos equiláteros. ¿Podrías deducir cuántas caras tiene este poliedro y cuál es el número total de aristas? Demuestra tu respuesta utilizando la relación matemática de Euler.

Calcula el área total de un tronco de pirámide cuadrangular regular cuyas bases son cuadrados de lados $12\text{ cm}$ y $6\text{ cm}$ respectivamente, y cuya altura de la cara lateral (apotema del tronco) es de $8\text{ cm}$. ¿Cuánto papel de regalo se necesita como mínimo para envolver un objeto con esta forma?

Un trofeo tiene la forma de un octaedro regular de $6\text{ cm}$ de arista. El trofeo se va a bañar en plata, y el costo del baño es de $\$1$ por cada centímetro cuadrado. ¿Cuál será el costo total de platear las $8$ caras del trofeo?

(Dato: El área de un triángulo equilátero de lado $a$ es $A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$).

Diseñamos una pieza decorativa de madera que consiste en un prisma cuadrangular recto de base $8\text{ cm}$ y altura $10\text{ cm}$ al que se le ha extraído una pirámide con la misma base y la misma altura. Calcula el área total de la superficie de esta pieza (incluyendo el "hueco" interior dejado por la pirámide).

Calcula el área lateral de un prisma pentagonal regular sabiendo que su volumen es de $450\text{ cm}^3$, el área de su base es de $30\text{ cm}^2$ y el lado de la base mide $4\text{ cm}$.

(Pista: Utiliza primero la fórmula del volumen para encontrar la altura del prisma).

Se quiere fabricar una papelera metálica sin tapa con forma de prisma octogonal regular. La base tiene un perímetro de $64\text{ cm}$ y una apotema de $9.66\text{ cm}$. La altura de la papelera es de $40\text{ cm}$. Calcula la superficie total de metal necesaria para su fabricación.

Valeria recortó cuatro juegos de piezas de cartulina para un proyecto. Decide cuáles se pueden armar como un cuerpo cerrado (cilindro o cono) sin que sobre ni falte cartulina, y justifica cada respuesta con un cálculo:

1. a) Un rectángulo de $18.85\text{ cm} \times 10\text{ cm}$ y dos círculos de $3\text{ cm}$ de radio.
2. b) Un rectángulo de $15\text{ cm} \times 10\text{ cm}$ y dos círculos de $3\text{ cm}$ de radio.
3. c) Un sector circular de $120^\circ$ y $9\text{ cm}$ de radio, y un círculo de $3\text{ cm}$ de radio.
4. d) Un semicírculo ($180^\circ$) de $9\text{ cm}$ de radio, y un círculo de $3\text{ cm}$ de radio.

Para una fiesta en Guadalajara se van a fabricar gorros cónicos (abiertos por abajo) de $5\text{ cm}$ de radio y $12\text{ cm}$ de altura.

1. a) Calcula la generatriz del cono.
2. b) ¿Qué ángulo debe tener el sector circular que se recorta? Redondea a décimas de grado.
3. c) ¿Cuánta cartulina se necesita para cada gorro, sin contar las solapas? Redondea a décimas.

Un estudio de arquitectura está diseñando un loft con forma de prisma rectangular. Se sabe que la longitud de la habitación es el doble que su anchura, y que la altura es de exactamente $3\text{ m}$. Si la diagonal espacial (la distancia máxima entre dos esquinas opuestas) mide exactamente $7\text{ m}$, calcula el área total de las paredes y el techo (sin contar el suelo) que debe cubrirse con pintura aislante.

Una marca de perfumes de lujo ha diseñado un frasco con forma de tronco de pirámide cuadrangular regular. La arista de la base mayor mide $8\text{ cm}$ y la arista de la base menor mide $4\text{ cm}$. Si la altura del frasco es de $10\text{ cm}$, calcula la superficie total de vidrio necesaria para fabricar el frasco (incluyendo ambas bases). Para ello, deberás calcular primero la apotema del tronco de pirámide (la altura de una cara lateral) utilizando el teorema de Pitágoras. En la figura, $h$ es la altura del frasco y $a$ es la apotema.

Se desea construir una pieza metálica uniendo un prisma hexagonal regular y una pirámide hexagonal regular que encaja perfectamente sobre su base superior. El lado del hexágono de la base mide $6\text{ cm}$, la altura del prisma es de $15\text{ cm}$ y la altura de la pirámide es de $8\text{ cm}$. Calcula el área de la superficie exterior de la pieza completa (ten en cuenta que la base donde se unen ambos cuerpos no cuenta como superficie exterior).

Una hormiga recorre la superficie de un octaedro regular de arista $12\text{ cm}$. Si el octaedro se puede considerar como la unión de dos pirámides cuadrangulares regulares por su base, calcula el área total de la superficie que la hormiga puede recorrer. Para ello, recuerda que todas las caras de un octaedro regular son triángulos equiláteros. Expresa el resultado en función de $\sqrt{3}$.

Un prisma recto de $20\text{ cm}$ de altura tiene como base un trapecio isósceles. Las bases del trapecio miden $14\text{ cm}$ y $6\text{ cm}$, y su altura es de $3\text{ cm}$. Calcula el área total del prisma. Pista: Necesitarás calcular primero la longitud de los lados oblicuos del trapecio de la base usando el teorema de Pitágoras.

El "Teorema de Euler" establece que en poliedros convexos $C + V = A + 2$. Imagina un poliedro que tiene el mismo número de caras que de vértices. Si el número de aristas es de $6$, deduce cuántas caras tiene y propón el nombre de un poliedro regular que cumpla esta condición. Una vez identificado, calcula su área total si su arista mide $\sqrt{10}\text{ cm}$.

Se ha fabricado un contenedor de residuos industriales con forma de prisma recto cuya base es un rombo. Las diagonales del rombo de la base miden $160\text{ cm}$ y $120\text{ cm}$. Si la altura del contenedor es de $2\text{ metros}$, calcula el área total de la superficie exterior del contenedor en metros cuadrados ($m^2$).

Considera un cubo de arista $10\text{ cm}$. Si realizamos un corte plano que pasa por los puntos medios de tres aristas que concurren en un mismo vértice, obtenemos una pequeña pirámide triangular (llamada tetraedro trunco). Calcula el área total del sólido que queda después de retirar esa pequeña pirámide en esa esquina.

De un círculo de cartulina de $15\text{ cm}$ de radio se recorta un sector de $216^\circ$ y, uniendo sus bordes rectos, se arma un cono (sin base).

1. a) ¿Cuánto mide el radio de la base del cono que se forma?
2. b) Calcula la altura del cono.
3. c) ¿Cuántos centímetros cuadrados de cartulina tiene el cono? Redondea a décimas.
4. d) Si se usa como embudo tapando la punta, ¿cuántos litros caben en él? Redondea a centésimas.

Con una hoja rectangular de $44\text{ cm} \times 30\text{ cm}$ se puede formar la superficie lateral de un cilindro de dos maneras: enrollándola de modo que la altura sea $30\text{ cm}$, o de modo que la altura sea $44\text{ cm}$.

1. a) Calcula el radio de la base en cada caso. Redondea a centésimas.
2. b) ¿Cuál de los dos cilindros tiene mayor volumen? Calcula los dos volúmenes y redondea a unidades.
3. c) Para el cilindro de mayor volumen, ¿cuánta cartulina hace falta para las dos tapas? Redondea a décimas.