L'insieme dei numeri razionali

Scrivi i seguenti numeri naturali sotto forma di frazione (puoi usare il denominatore che preferisci, purché il risultato sia corretto):

1. a) $3$

1. b) $1$

1. c) $5$

1. d) $10$

Paolo sta studiando i numeri razionali e scrive sul quaderno quanto segue:

1) «Il numero $A = \frac{-18}{-3}$ non appartiene all'insieme dei numeri razionali ($\mathbb{Q}$) perché la divisione dà $+6$, e $+6$ è un numero intero, non una frazione».

2) «Il numero $B = -\frac{5}{-2}$ è negativo perché ha due segni meno».

Individua l'errore concettuale che commette Paolo in ciascuna delle sue affermazioni, spiega con parole tue perché sbaglia (ricordando la relazione tra i numeri interi e i razionali, nonché la regola dei segni nelle frazioni) e scrivi il valore semplificato e il segno definitivo di $A$ e di $B$.

In matematica i numeri sono organizzati in "famiglie" o insiemi. Osserva il seguente diagramma di Venn che rappresenta gli insiemi dei numeri naturali ($\mathbb{N}$), interi ($\mathbb{Z}$) e razionali ($\mathbb{Q}$).

Colloca ciascuno dei seguenti numeri nella posizione corrispondente all'interno del diagramma:

$-5$, $\frac{12}{4}$, $\frac{3}{7}$, $0$, $-\frac{10}{2}$, $1,25$, $-\frac{1}{4}$, $8$

Classifica le seguenti frazioni in proprie, improprie o uguali all'unità:

1. a) $\dfrac{4}{7}$

1. b) $\dfrac{9}{9}$

1. c) $\dfrac{11}{3}$

1. d) $\dfrac{2}{5}$

Per una festa di compleanno sono state comprate varie pizze della stessa dimensione. Alla fine della festa sono avanzati i seguenti pezzi:

• $\frac{3}{4}$ di una pizza al prosciutto.

• $\frac{5}{4}$ di pizze alla diavola.

• $\frac{1}{2}$ di una pizza vegetariana.

1. a) Esprimi la frazione di pizza alla diavola come numero misto.
2. b) Se mettiamo insieme tutti gli avanzi, abbiamo più o meno di 3 pizze intere? Motiva la risposta eseguendo la somma.

Un influencer ha $120.000$ follower. Il lunedì, $\frac{2}{5}$ dei suoi follower hanno messo "like" alla sua foto. Il martedì lo hanno fatto i $\frac{3}{4}$ di quelli che avevano messo "like" il lunedì.

1. a) Quante persone hanno messo "like" il lunedì?
2. b) Quante persone hanno messo "like" il martedì?
3. c) Quale frazione del totale dei follower rappresentano le persone che hanno messo "like" il martedì?

Copia sul quaderno la retta numerica della figura (con lo 0, l'1 e il 2, e ogni unità divisa in 4 parti uguali) e colloca su di essa i seguenti numeri razionali:

$A = \dfrac{1}{2}$

$B = \dfrac{3}{4}$

$C = \dfrac{5}{4}$

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Rappresenta sulla seguente retta numerica i punti $A$, $B$, $C$ e $D$ che corrispondono a questi numeri razionali. Ogni unità è divisa in 4 parti uguali.

$A = \frac{3}{2}$

$B = -1,25$

$C = -\frac{1}{4}$

$D = \frac{11}{4}$

Nella progettazione di un nuovo chip di memoria, un ingegnere deve collocare tre sensori su una linea logica. Il sensore A si trova nella posizione $\frac{2}{5}$ e il sensore B nella posizione $\frac{3}{5}$.

L'ingegnere deve collocare un terzo sensore C esattamente nel punto medio tra A e B. Inoltre deve collocare un sensore D che sia nel punto medio tra A e C.

Calcola le frazioni che rappresentano le posizioni di C e D e rappresentale su una retta numerica divisa in modo opportuno.

Tre amici stanno completando il "Battle Pass" del loro videogioco preferito. Ognuno è avanzato di una frazione diversa del totale:

• Marco: ha completato $\frac{12}{18}$ del totale.

• Sara: ha completato $\frac{20}{30}$ del totale.

• Alex: ha completato $\frac{2}{3}$ del totale.

Spiega se i tre amici sono allo stesso livello del gioco, cercando la frazione irriducibile di ciascuno.

In uno studio sull'uso del cellulare, è stato analizzato quale frazione della memoria totale occupano diverse app nel telefono di Lucia:

• Social network: $\frac{3}{10}$ del totale.

• Giochi: $\frac{2}{5}$ del totale.

• Foto e video: $\frac{1}{4}$ del totale.

1. a) Riduci le frazioni a denominatore comune.
2. b) Ordina le categorie dalla maggiore alla minore occupazione.
3. c) Rimane spazio libero nel telefono? Spiega la tua risposta.

Trova i valori delle incognite $x$, $y$ e $z$ in modo che tutte le frazioni della seguente catena siano equivalenti tra loro:

Una volta trovati i valori, spiega quale numero naturale è stato usato come fattore di amplificazione o semplificazione in ogni passaggio rispetto alla frazione irriducibile dell'insieme.

Individua quali delle seguenti frazioni daranno luogo a un numero decimale esatto e quali a un decimale periodico (semplice o misto) senza eseguire la divisione, osservando solo la scomposizione dei loro denominatori:

1. a) $\frac{7}{20}$
2. b) $\frac{5}{12}$
3. c) $\frac{11}{25}$
4. d) $\frac{2}{9}$

(Suggerimento: ricorda la regola dei fattori 2 e 5 al denominatore).

In una gara di salto, i giudici annotano le distanze di quattro atleti. Alcuni risultati sono dati sotto forma di frazione e altri in forma decimale:

• Atleta 1: $6,4$ metri.

• Atleta 2: $\frac{13}{2}$ metri.

• Atleta 3: $6,35$ metri.

• Atleta 4: $\frac{32}{5}$ metri.

1. a) Scrivi tutte le misure in forma decimale.

1. b) Quali due atleti hanno saltato esattamente la stessa distanza?

1. c) Ordina gli atleti da quello che ha saltato meno a quello che ha saltato di più (in caso di parità, indicalo).

In un dibattito in classe sulle proprietà dell'insieme $\mathbb{Q}$, due studenti fanno le seguenti affermazioni: - Marco afferma: «Qualsiasi frazione irriducibile il cui denominatore termina con una cifra pari dà sempre luogo a un numero decimale esatto, perché 2 è divisore della base decimale». - Elena afferma: «Se sommi due numeri razionali periodici semplici, il risultato non può mai essere un numero intero». a) Dimostra che l'affermazione di Marco è falsa proponendo un controesempio concreto e spiega quale condizione ha dimenticato di richiedere ai fattori primi del denominatore. b) Dimostra che anche l'affermazione di Elena è falsa trovando due frazioni con sviluppo decimale periodico semplice la cui somma sia esattamente uguale al numero intero $2$. c) Costruisci una frazione $\frac{p}{q}$ con denominatore $q = 60$ il cui valore sia compreso strettamente tra $1$ e $2$, e che dia luogo a un decimale esatto. Spiega quale condizione matematica ha dovuto necessariamente soddisfare il numeratore $p$ rispetto alla scomposizione in fattori di $60$.