Massimo comune divisore

Calcola tutti i divisori dei numeri $12$ e $18$. Poi indica quali sono i divisori comuni e segnala quale di essi è il Massimo Comune Divisore (M.C.D.).

Puoi aiutarti con un diagramma come quello della figura: scrivi in ogni cerchio i divisori di ciascun numero e, nella zona in cui si intersecano, quelli comuni.

Calcola mentalmente il $MCD$ delle seguenti coppie di numeri. Sono numeri piccoli in cui puoi individuare il divisore comune maggiore a colpo d'occhio:

1. a) $MCD(4, 8)$
2. b) $MCD(5, 10)$
3. c) $MCD(7, 14)$
4. d) $MCD(10, 20)$

Che cosa hanno in comune tutti questi risultati?

Stai per calcolare il massimo comune divisore di due numeri: $48$ e $72$.

1. a) Prima di operare, ragiona sui limiti del risultato: il M.C.D. potrebbe essere uguale a $96$? E potrebbe essere uguale a $48$? Spiega perché il M.C.D. di due numeri non può mai essere maggiore del più piccolo dei due.
2. b) Sapendo che entrambi i numeri sono pari (divisibili per $2$) e che la somma delle cifre di entrambi è multiplo di $3$ (divisibili per $3$), stima quale tra i seguenti quattro valori è il candidato più ragionevole per essere il M.C.D. prima di scomporre: $5$, $12$, $24$ o $36$. Giustifica perché scarti gli altri tre.
3. c) Scomponi $48$ e $72$ in fattori primi, calcola con esattezza $M.C.D.(48, 72)$ e verifica se la tua stima del punto precedente era corretta.

Osserva le scomposizioni in fattori di questi due numeri e trova il loro $MCD$:

• $A = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5$

• $B = 2 \cdot 3^{2}$

Ricorda la regola: "Per il M.C.D., si prendono i fattori comuni con il minimo esponente".

Luca deve calcolare il massimo comune divisore di $72$ e $120$. Sul suo quaderno esegue la scomposizione in fattori e scrive quanto segue:

$72 = 2^3 \cdot 3^2$

$120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$

$M.C.D.(72, 120) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 8 \cdot 9 \cdot 5 = 360$

Quando la professoressa gli chiede il procedimento, Luca spiega: «Ho scelto i fattori con l'esponente maggiore e anche quelli non comuni perché la regola si chiama massimo divisore, quindi il risultato deve essere il divisore più grande possibile».

1. a) Senza rifare i calcoli, spiega con un ragionamento perché il risultato $360$ è assurdo e impossibile come divisore di $72$ e di $120$.
2. b) Quale concetto matematico ha calcolato in realtà Luca per errore applicando quella regola?
3. c) Correggi la risoluzione di Luca: spiega qual è il criterio corretto per selezionare i fattori primi nel calcolo del M.C.D. e calcola il valore corretto di $M.C.D.(72, 120)$.

Calcola il Massimo Comune Divisore ($M.C.D.$) dei seguenti gruppi di numeri usando il metodo della scomposizione in fattori primi:

1. a) $48$ e $72$
2. b) $30, 45$ e $60$
3. c) $120$ e $150$

Osserva le seguenti scomposizioni in fattori di tre numeri e, senza eseguire le moltiplicazioni, indica qual è il loro $M.C.D.$:

$A = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$

$B = 2^2 \cdot 3^3$

$C = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7$

Per calcolare il massimo comune divisore hai a disposizione due strategie principali:

• Metodo 1 (Elenco dei divisori): Scrivere tutti i divisori di ciascun numero, individuare quelli in comune e scegliere il maggiore.

• Metodo 2 (Scomposizione in fattori primi): Scomporre in fattori primi e moltiplicare solo i fattori comuni con il minimo esponente.

Ti vengono proposte due situazioni di calcolo:

• Caso A: Trovare $M.C.D.(15, 25)$.

• Caso B: Trovare $M.C.D.(210, 294)$.

1. a) Per il Caso A, quale metodo scegli perché più diretto e con meno passaggi? Applicalo e trova il risultato.
2. b) Per il Caso B, spiega in dettaglio perché il Metodo 1 risulterebbe lungo, noioso e con alto rischio di dimenticare divisori rispetto al Metodo 2.
3. c) Risolvi il Caso B applicando il Metodo 2 passo dopo passo: mostra la scomposizione di $210$ e di $294$, indica quali fattori selezioni e calcola $M.C.D.(210, 294)$.

Si dice che due numeri sono primi tra loro se il loro unico divisore comune è $1$. Verifica se le seguenti coppie di numeri sono prime tra loro calcolando il loro $M.C.D.$:

1. a) $14$ e $15$
2. b) $22$ e $33$
3. c) $21$ e $25$

Inventa due numeri naturali distinti, $a$ e $b$, in modo che sia soddisfatta la seguente condizione:

$M.C.D.(a, b) = 12$

Motiva la tua risposta mostrando la scomposizione in fattori dei numeri scelti.

Durante un dibattito in classe sulle proprietà dei numeri, due studenti fanno le seguenti affermazioni:

• Marta afferma: «Se due numeri sono composti (cioè nessuno dei due è primo), è impossibile che siano primi tra loro, perché avendo più divisori ne condivideranno sempre qualcuno maggiore di $1$».

• Sergio afferma: «Se prendiamo due numeri qualsiasi che siano primi tra loro, sommando $1$ a entrambi, la nuova coppia ottenuta sarà ancora sempre prima tra loro».

1. a) Analizza l'affermazione di Marta. Ricorda il significato della definizione di «numeri primi tra loro» e dimostra che la sua affermazione è falsa proponendo un controesempio con due numeri composti minori di $30$. Calcola il loro M.C.D. per giustificarlo.
2. b) Analizza l'affermazione di Sergio. Dimostra che anche la sua affermazione è falsa trovando una coppia di numeri $x$ e $y$ che siano primi tra loro ($M.C.D.(x, y) = 1$), ma tali che $x + 1$ e $y + 1$ abbiano un divisore comune maggiore di $1$.
3. c) Ragiona e dimostra la seguente proprietà teorica: se prendiamo due numeri naturali consecutivi qualsiasi ($n$ e $n + 1$), qual è sempre il loro M.C.D.? (Suggerimento: pensa a quale relazione esiste tra la differenza di due numeri e i divisori che possono condividere).

Nel laboratorio di tecnologia, gli alunni hanno due listelli di legno lunghi $36$ cm e $48$ cm. Devono tagliarli in pezzi della stessa lunghezza, la massima possibile.

1. a) Quale sarà la lunghezza di ogni pezzo?
2. b) Quanti pezzi otterranno in totale dai due listelli?

In una biblioteca vogliono sistemare $45$ libri d'avventura e $60$ libri di fantascienza su degli scaffali, in modo che su ogni scaffale ci sia lo stesso numero di libri e che questo sia il massimo possibile.

1. a) Quanti libri metteranno su ogni scaffale?
2. b) Quanti scaffali useranno per i libri d'avventura e quanti per quelli di fantascienza?

Nella scuola è stata organizzata una giornata di convivialità. Ci sono $54$ alunni di prima media e $42$ alunni di seconda media. Si vogliono formare squadre in modo che ogni squadra sia composta solo da alunni della stessa classe (non si mescolano alunni di prima e di seconda). Tutte le squadre devono avere esattamente lo stesso numero di persone, e questo numero deve essere il massimo possibile senza che avanzi nessuno.

1. a) Quanti alunni ci saranno in ogni squadra?

1. b) Quante squadre di prima media e quante di seconda media si formeranno?

Per un banco alimentare, un supermercato dona $36$ barattoli di legumi, $48$ cartoni di latte e $60$ pacchi di riso. Vogliono preparare il maggior numero possibile di sacchetti uguali da distribuire, in modo che in ogni sacchetto ci sia lo stesso numero di prodotti di ciascun tipo.

1. a) Quanti sacchetti potranno preparare al massimo?
2. b) Che cosa conterrà ogni sacchetto?

In un frantoio cooperativo di Foggia hanno concluso la raccolta con due serbatoi speciali di olio extravergine di oliva: uno contiene $420$ litri di varietà Coratina e l'altro contiene $300$ litri di varietà Ogliarola. Per commercializzarlo nei negozi gourmet, vogliono imbottigliare tutto l'olio in taniche identiche con la maggiore capienza possibile in litri interi, in modo che tutte le taniche siano uguali, nessuna varietà sia mescolata nello stesso contenitore e non avanzi olio nei serbatoi.

1. a) Modellizza matematicamente il problema: individua quale concetto di divisibilità rappresenta la capienza delle taniche e calcola quanti litri deve contenere ciascuna.
2. b) Quante taniche di olio Coratina e quante di Ogliarola si riempiranno in totale?
3. c) Se per normativa sulla movimentazione dei pesi nel trasporto nessuna tanica può superare i $25$ litri, la suddivisione precedente è valida? Se non lo è, usa i divisori comuni delle due quantità per determinare quale sarebbe la maggiore capienza consentita per tanica che rispetti ancora tutte le condizioni originali.

Un'artista urbana vuole progettare un murale su una parete rettangolare alta $210$ cm e larga $165$ cm. Per il suo disegno, vuole dividere tutta la parete in quadrati uguali, il più grandi possibile e senza dover tagliare nessun pezzo.

1. a) Quanto deve misurare il lato di ciascun quadrato per coprire tutta la parete?
2. b) Quanti quadrati avrà il murale in totale?

Un giardiniere vuole circondare un orto rettangolare lungo $90$ metri e largo $126$ metri con dei pali per una recinzione. Il proprietario dell'orto gli ha chiesto di mettere un palo in ogni angolo e che la distanza tra un palo e l'altro sia sempre la stessa e la maggiore possibile.

1. a) Quale distanza deve lasciare tra un palo e l'altro?
2. b) Di quanti pali avrà bisogno in totale per circondare tutto il perimetro dell'orto?

Stiamo cercando il numero più grande possibile che, dividendo i numeri $159$ e $195$, dia in entrambi i casi un resto di $3$ unità. Spiega i passaggi che segui per trovarlo utilizzando il concetto di Massimo Comune Divisore.

Sappiamo che il Massimo Comune Divisore di due numeri è $12$ e che uno di questi numeri è $48$. Se l'altro numero è maggiore di $50$ ma minore di $70$:

1. a) Trova qual è quel secondo numero.
2. b) Giustifica la risposta utilizzando la scomposizione in fattori primi.

Un laboratorio farmaceutico deve confezionare due tipi di compresse, $A$ e $B$, in blister identici. Non conosciamo la quantità esatta di compresse di ciascun tipo, ma i registri di controllo indicano che soddisfano rigorosamente le seguenti cinque condizioni:

1. Entrambi sono numeri di due cifre ($A < 100$ e $B < 100$).

2. Il loro massimo comune divisore è $15$: $M.C.D.(A, B) = 15$.

3. Nessuno dei due numeri è multiplo dell'altro (cioè $A$ non divide $B$ né $B$ divide $A$).

4. La quantità $A$ è un numero pari e la quantità $B$ è un numero dispari.

5. La somma dei due numeri è esattamente $135$ pastiglie ($A + B = 135$).

1. a) Se $M.C.D.(A, B) = 15$, possiamo scrivere $A = 15 \cdot a$ e $B = 15 \cdot b$. Deduci quale condizione matematica imprescindibile devono soddisfare tra loro i numeri $a$ e $b$, e quanto deve valere la somma $a + b$.
2. b) Trova i valori esatti di $A$ e di $B$, verificando che le cinque condizioni siano soddisfatte.
3. c) Dimostra in modo ragionato perché non esiste nessun'altra coppia di numeri che soddisfi tutte le condizioni del testo.

Sfida del tema. Organizza una donazione solidale a casa tua!

1. Raccolta e criteri: Conta due tipi di alimenti non deperibili della tua dispensa (ad esempio, $A$ lattine e $B$ brick, con $A, B \ge 18$). Individua i loro divisori e i multipli più vicini, e verifica se rispettano i criteri di divisibilità per $2$, $3$ e $5$.

2. Scomposizione, M.C.D. e m.c.m.: Esegui la scomposizione in fattori primi di $A$ e $B$. Trova $\text{mcd}(A, B)$ per creare il massimo numero di lotti identici senza sprechi, e $\text{mcm}(A, B)$ per prevedere ogni quanti giorni entrambi i prodotti finiranno contemporaneamente (se consumi un'unità di ciascuno al giorno e ricompri la stessa quantità quando finisce).

3. Equazioni e divisione: Imposta e risolvi un'equazione di primo grado per calcolare quante lattine aggiuntive $x$ devi comprare per riempire $6$ scatole complete: $A + x = 6 \cdot k$ (scegliendo il multiplo superiore più vicino). Verifica l'algoritmo della divisione con resto ($D = d \cdot c + r$) e calcola il budget se ogni lattina costa $1,25\text{ €}$.

4. Prodotto finale: Progetta un foglio di calcolo con le tabelle dei dati, le formule di divisibilità e una proposta motivata per il banco alimentare.

Sarà valutato:

• Applicazione rigorosa dei criteri di divisibilità e della scomposizione in fattori primi.

• Risoluzione contestualizzata di $\text{mcd}$ e $\text{mcm}$.

• Impostazione algebrica dell'equazione e uso corretto della divisione con resto.

• Struttura, formule e chiarezza del foglio di calcolo.