Esercizi: L'insieme dei numeri razionali

In una pizzeria hanno diviso una pizza famiglia in $8$ porzioni identiche. Se Marco ha mangiato $3$ porzioni, esprimi mediante una frazione la parte di pizza che ha consumato e individua chiaramente qual è il numeratore e qual è il denominatore. Come si legge questa frazione?

Osserva la seguente figura geometrica e scrivi sul quaderno la frazione che rappresenta la zona colorata in arancione.

Classifica le seguenti frazioni in proprie, improprie o uguali all'unità:

1. a) $\dfrac{4}{7}$

1. b) $\dfrac{9}{9}$

1. c) $\dfrac{11}{3}$

1. d) $\dfrac{2}{5}$

Stiamo preparando una festa e compriamo confezioni di bibite. Ogni confezione contiene $6$ lattine. Se per la festa dobbiamo usare $\dfrac{12}{6}$ di confezioni, quante confezioni intere di bibite dobbiamo comprare? Questa frazione è un numero naturale?

Rappresenta graficamente sul quaderno, utilizzando quadrati o rettangoli, le seguenti frazioni:

1. a) $\dfrac{3}{4}$

1. b) $\dfrac{5}{2}$ (Suggerimento: dovrai disegnare più di una figura intera).

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Indica quale frazione di ora rappresentano i seguenti intervalli di tempo (ricorda che un'ora ha $60$ minuti):

1. a) $15$ minuti.

1. b) $30$ minuti.

1. c) $10$ minuti.

1. d) $60$ minuti.

Copia sul quaderno la retta numerica della figura (con lo 0, l'1 e il 2, e ogni unità divisa in 4 parti uguali) e colloca su di essa i seguenti numeri razionali:

$A = \dfrac{1}{2}$

$B = \dfrac{3}{4}$

$C = \dfrac{5}{4}$

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Scrivi i seguenti numeri naturali sotto forma di frazione (puoi usare il denominatore che preferisci, purché il risultato sia corretto):

1. a) $3$

1. b) $1$

1. c) $5$

1. d) $10$

Lucia deve determinare che tipo di decimale genera la frazione $\frac{21}{60}$ senza eseguire la divisione. Nel suo compito scrive: «Scompongo il denominatore in fattori primi: $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$. Poiché nella scomposizione compare il numero primo 3, che è diverso da 2 e da 5, la frazione genera obbligatoriamente un numero decimale periodico». a) Spiega in dettaglio l'errore commesso da Lucia nel suo ragionamento. b) Correggi il procedimento semplificando prima la frazione e concludi, giustificando la risposta, quale tipo di numero decimale si ottiene in realtà.

Costruisci due frazioni distinte che soddisfino contemporaneamente le tre condizioni seguenti: 1) Il denominatore di ciascuna frazione deve essere un numero intero compreso tra $10$ e $20$. 2) Il valore di entrambe le frazioni deve essere compreso strettamente tra $0,4$ e $0,6$. 3) Una delle frazioni deve generare un numero decimale esatto e l'altra un numero decimale periodico. Giustifica la risposta verificando la scomposizione in fattori dei denominatori dopo aver ridotto le frazioni ai minimi termini e calcola la loro espressione decimale.

Paolo sta studiando i numeri razionali e scrive sul quaderno quanto segue:

1) «Il numero $A = \frac{-18}{-3}$ non appartiene all'insieme dei numeri razionali ($\mathbb{Q}$) perché la divisione dà $+6$, e $+6$ è un numero intero, non una frazione».

2) «Il numero $B = -\frac{5}{-2}$ è negativo perché ha due segni meno».

Individua l'errore concettuale che commette Paolo in ciascuna delle sue affermazioni, spiega con parole tue perché sbaglia (ricordando la relazione tra i numeri interi e i razionali, nonché la regola dei segni nelle frazioni) e scrivi il valore semplificato e il segno definitivo di $A$ e di $B$.

Un numero razionale si può scrivere in forma di frazione $\frac{a}{b}$, dove $a$ e $b$ sono numeri interi con $b \neq 0$. Trova un numero razionale che soddisfi contemporaneamente le seguenti quattro condizioni:

1) È un numero strettamente negativo.

2) Il suo valore è compreso tra $-2$ e $-1$ sulla retta numerica.

3) Il suo denominatore $b$ è un numero primo minore di $6$.

4) Il valore assoluto del suo numeratore è uguale all'opposto di $-5$.

Scrivi la frazione che soddisfa queste condizioni, verifica passo per passo che soddisfi ciascuna di esse e spiega tra quali due suddivisioni della retta numerica si troverebbe se dividi ogni unità in tante parti quante ne indica il suo denominatore.

In matematica i numeri sono organizzati in "famiglie" o insiemi. Osserva il seguente diagramma di Venn che rappresenta gli insiemi dei numeri naturali ($\mathbb{N}$), interi ($\mathbb{Z}$) e razionali ($\mathbb{Q}$).

Colloca ciascuno dei seguenti numeri nella posizione corrispondente all'interno del diagramma:

$-5$, $\frac{12}{4}$, $\frac{3}{7}$, $0$, $-\frac{10}{2}$, $1,25$, $-\frac{1}{4}$, $8$

Tre amici stanno completando il "Battle Pass" del loro videogioco preferito. Ognuno è avanzato di una frazione diversa del totale:

• Marco: ha completato $\frac{12}{18}$ del totale.

• Sara: ha completato $\frac{20}{30}$ del totale.

• Alex: ha completato $\frac{2}{3}$ del totale.

Spiega se i tre amici sono allo stesso livello del gioco, cercando la frazione irriducibile di ciascuno.

Rappresenta sulla seguente retta numerica i punti $A$, $B$, $C$ e $D$ che corrispondono a questi numeri razionali. Ogni unità è divisa in 4 parti uguali.

$A = \frac{3}{2}$

$B = -1,25$

$C = -\frac{1}{4}$

$D = \frac{11}{4}$

In uno studio sull'uso del cellulare, è stato analizzato quale frazione della memoria totale occupano diverse app nel telefono di Lucia:

• Social network: $\frac{3}{10}$ del totale.

• Giochi: $\frac{2}{5}$ del totale.

• Foto e video: $\frac{1}{4}$ del totale.

1. a) Riduci le frazioni a denominatore comune.
2. b) Ordina le categorie dalla maggiore alla minore occupazione.
3. c) Rimane spazio libero nel telefono? Spiega la tua risposta.

Un influencer ha $120.000$ follower. Il lunedì, $\frac{2}{5}$ dei suoi follower hanno messo "like" alla sua foto. Il martedì lo hanno fatto i $\frac{3}{4}$ di quelli che avevano messo "like" il lunedì.

1. a) Quante persone hanno messo "like" il lunedì?
2. b) Quante persone hanno messo "like" il martedì?
3. c) Quale frazione del totale dei follower rappresentano le persone che hanno messo "like" il martedì?

Per una festa di compleanno sono state comprate varie pizze della stessa dimensione. Alla fine della festa sono avanzati i seguenti pezzi:

• $\frac{3}{4}$ di una pizza al prosciutto.

• $\frac{5}{4}$ di pizze alla diavola.

• $\frac{1}{2}$ di una pizza vegetariana.

1. a) Esprimi la frazione di pizza alla diavola come numero misto.
2. b) Se mettiamo insieme tutti gli avanzi, abbiamo più o meno di 3 pizze intere? Motiva la risposta eseguendo la somma.

Individua quali delle seguenti frazioni daranno luogo a un numero decimale esatto e quali a un decimale periodico (semplice o misto) senza eseguire la divisione, osservando solo la scomposizione dei loro denominatori:

1. a) $\frac{7}{20}$
2. b) $\frac{5}{12}$
3. c) $\frac{11}{25}$
4. d) $\frac{2}{9}$

(Suggerimento: ricorda la regola dei fattori 2 e 5 al denominatore).

In una gara di salto, i giudici annotano le distanze di quattro atleti. Alcuni risultati sono dati sotto forma di frazione e altri in forma decimale:

• Atleta 1: $6,4$ metri.

• Atleta 2: $\frac{13}{2}$ metri.

• Atleta 3: $6,35$ metri.

• Atleta 4: $\frac{32}{5}$ metri.

1. a) Scrivi tutte le misure in forma decimale.

1. b) Quali due atleti hanno saltato esattamente la stessa distanza?

1. c) Ordina gli atleti da quello che ha saltato meno a quello che ha saltato di più (in caso di parità, indicalo).

In una stazione meteorologica del Gran Sasso (Servizio Meteorologico dell'Aeronautica Militare) sono state registrate le seguenti anomalie termiche in quattro giorni consecutivi: $-\frac{9}{4}$ ºC, $-\frac{8}{3}$ ºC, $0,75$ ºC e $\frac{7}{5}$ ºC. a) Senza eseguire divisioni con decimali, stima motivando tra quali due numeri interi consecutivi si trova ciascuna delle due anomalie negative e deduci quale di esse corrisponde alla temperatura più bassa (valore minore). b) Scrivi tutte le frazioni nella loro espressione decimale esatta o periodica per verificare con precisione la tua stima precedente. c) Ordina le quattro registrazioni dalla minore alla maggiore utilizzando il simbolo $<$ e indica a quale insieme numerico più specifico (naturali $\mathbb{N}$, interi $\mathbb{Z}$ o razionali $\mathbb{Q}$) apparterrebbe il risultato se sommassi le due anomalie positive.

Per ordinare dal minore al maggiore i numeri razionali $-\frac{3}{4}$, $-0,8$, $-\frac{5}{6}$ e $-\frac{7}{10}$, due alunni propongono strategie diverse: - Saverio dice: «È meglio calcolare l'espressione decimale di ogni frazione eseguendo la divisione e confrontare tutti i numeri in forma decimale». - Sara dice: «È preferibile scrivere $-0,8$ in forma di frazione irriducibile, ridurre le quattro frazioni a denominatore comune positivo e confrontare i loro numeratori». a) Applica il metodo di Saverio e scrivi l'ordine ottenuto. b) Applica il metodo di Sara per verificare il risultato. c) Quale dei due metodi ritieni più adatto e preciso in questo caso particolare? Giustifica la risposta analizzando il tipo di decimale che produce la frazione $-\frac{5}{6}$ e il possibile rischio di arrotondamento.

In una stazione di misura del bacino del fiume Po si registra la diminuzione della portata in un canale di irrigazione durante un episodio di siccità. Il rapporto tecnico indica che la variazione cumulata del livello è di $-\frac{37}{8}$ metri.

1. a) Prima di calcolare qualsiasi cifra decimale, stima motivando tra quali due numeri interi consecutivi si trova questo numero razionale sulla retta numerica e giustifica a quale dei due interi sarà più vicino.
2. b) Esegui la divisione per ottenere la sua espressione decimale esatta e verifica se la tua stima era corretta.
3. c) Disegna mentalmente o descrivi come collocheresti esattamente questo punto sulla retta numerica: spiega in quante parti uguali divideresti il segmento tra i due interi e quante di queste parti conteresti a partire dall'intero corrispondente.

Il Servizio Meteorologico dell'Aeronautica Militare ha registrato per quattro giorni consecutivi ad Asiago (Vicenza) le seguenti anomalie termiche (variazioni rispetto alla temperatura media abituale):

• Lunedì: $-\frac{7}{2}$ ºC

• Martedì: $+\frac{5}{4}$ ºC

• Mercoledì: $-\frac{11}{4}$ ºC

• Giovedì: $-\frac{8}{5}$ ºC

1. a) Modella l'evoluzione termica ordinando i quattro giorni dalla minore alla maggiore anomalia (dal giorno con lo scostamento più freddo al giorno con quello più caldo) utilizzando il simbolo $<$.
2. b) Venerdì è stata misurata un'anomalia termica il cui valore assoluto era esattamente la metà di quello di lunedì, ma con segno opposto a quello di mercoledì. Esprimi l'anomalia di venerdì come frazione ridotta ai minimi termini e ragiona su quale dei quattro giorni precedenti sia stato più vicino alla temperatura registrata venerdì.

In uno scavo archeologico nel sito di Atapuerca sono stati classificati vari ritrovamenti mediante etichette numeriche. Devi aiutare i ricercatori a sistemare questi reperti nelle rispettive scatole (insiemi numerici).

Data la seguente lista di etichette:

$A = \frac{-24}{6}$, $B = \frac{15}{3}$, $C = \frac{7}{4}$, $D = \frac{0}{5}$, $E = \frac{-11}{2}$ e $F = \sqrt{144}$

Indica, motivando, quali di questi numeri appartengono a ciascuno dei seguenti insiemi, tenendo conto che un numero può appartenere a più insiemi:

1. Numeri naturali ($\mathbb{N}$)

2. Numeri interi ($\mathbb{Z}$)

3. Numeri razionali ($\mathbb{Q}$)

Nella progettazione di un nuovo chip di memoria, un ingegnere deve collocare tre sensori su una linea logica. Il sensore A si trova nella posizione $\frac{2}{5}$ e il sensore B nella posizione $\frac{3}{5}$.

L'ingegnere deve collocare un terzo sensore C esattamente nel punto medio tra A e B. Inoltre deve collocare un sensore D che sia nel punto medio tra A e C.

Calcola le frazioni che rappresentano le posizioni di C e D e rappresentale su una retta numerica divisa in modo opportuno.

Osserva la seguente figura geometrica. Se il quadrato grande rappresenta l'unità ($1$), determina quale frazione rappresenta la parte colorata in arancione. Per risolverlo, individua prima quale frazione del totale rappresenta ciascuno dei pezzi che compongono la figura.

Tre amici, Ioana, Marco e Rayan, stanno scaricando un videogioco. Dopo un'ora, Ioana ha scaricato $\frac{13}{20}$ del totale, Marco il $\frac{19}{30}$ e Rayan ne ha completato i $\frac{5}{8}$.

1. Ordina gli amici dalla maggiore alla minore quantità scaricata utilizzando il metodo del minimo comune multiplo per confrontare le frazioni.

2. Se il videogioco occupa $120$ GB, quanti GB mancano da scaricare a ciascuno? Esprimi i risultati con frazioni e numeri interi.

Trova i valori delle incognite $x$, $y$ e $z$ in modo che tutte le frazioni della seguente catena siano equivalenti tra loro:

Una volta trovati i valori, spiega quale numero naturale è stato usato come fattore di amplificazione o semplificazione in ogni passaggio rispetto alla frazione irriducibile dell'insieme.

Un sarto ha un pezzo di stoffa di $15$ metri. Taglia un primo pezzo che misura $3$ metri e $\frac{3}{4}$ di metro. Poi taglia un secondo pezzo che misura la metà del primo.

1. Esprimi la lunghezza di ciascun taglio come frazione impropria e come numero misto.

2. Quale frazione della stoffa originale rimane ancora nel rotolo?

Diciamo che l'insieme dei numeri razionali è denso perché possiamo sempre trovare una frazione tra altre due, per quanto siano vicine.

Trova tre frazioni comprese tra $\frac{4}{7}$ e $\frac{5}{7}$ che abbiano come denominatore $28$. Ordina le cinque frazioni ottenute dalla minore alla maggiore.

In una gara di robotica, i prototipi devono percorrere una pista di $10$ metri. Il robot "Zeta" si è fermato quando gli mancavano ancora da percorrere $\frac{1}{5}$ del totale della pista. Il robot "Sigma" si è fermato quando aveva percorso $\frac{7}{9}$ del totale.

1. a) Rappresenta sulla stessa retta numerica le posizioni dei due robot, prendendo $0$ come partenza e $1$ come traguardo (la pista completa). Dividi l'unità della retta in modo da poter collocare esattamente entrambi i punti.

1. b) Quale robot è rimasto più vicino al traguardo? Giustifica la risposta confrontando le frazioni mediante il prodotto incrociato.

Secondo i dati del Ministero per la Transizione Ecologica sulla riserva idrica in Spagna, due bacini presentano la seguente situazione all'inizio della primavera: - Il bacino A contiene $175\text{ hm}^3$ su una capacità totale di $250\text{ hm}^3$. - Il bacino B contiene $210\text{ hm}^3$ su una capacità totale di $336\text{ hm}^3$. a) Modella la proporzione di acqua invasata rispetto al totale in ciascun caso mediante una frazione irriducibile. b) Senza eseguire la divisione completa, dimostra mediante la scomposizione in fattori dei denominatori irriducibili se la percentuale decimale di riempimento di ciascun bacino corrisponde a un decimale esatto o periodico. c) Dopo un episodio di piogge, il bacino A aumenta il proprio volume di $25\text{ hm}^3$ e il bacino B di $42\text{ hm}^3$. Esprimi le nuove frazioni di riempimento, confrontale motivando e determina quale dei due bacini è ora proporzionalmente più pieno.

In un dibattito in classe sulle proprietà dell'insieme $\mathbb{Q}$, due studenti fanno le seguenti affermazioni: - Marco afferma: «Qualsiasi frazione irriducibile il cui denominatore termina con una cifra pari dà sempre luogo a un numero decimale esatto, perché 2 è divisore della base decimale». - Elena afferma: «Se sommi due numeri razionali periodici semplici, il risultato non può mai essere un numero intero». a) Dimostra che l'affermazione di Marco è falsa proponendo un controesempio concreto e spiega quale condizione ha dimenticato di richiedere ai fattori primi del denominatore. b) Dimostra che anche l'affermazione di Elena è falsa trovando due frazioni con sviluppo decimale periodico semplice la cui somma sia esattamente uguale al numero intero $2$. c) Costruisci una frazione $\frac{p}{q}$ con denominatore $q = 60$ il cui valore sia compreso strettamente tra $1$ e $2$, e che dia luogo a un decimale esatto. Spiega quale condizione matematica ha dovuto necessariamente soddisfare il numeratore $p$ rispetto alla scomposizione in fattori di $60$.

In un'attività di laboratorio si analizzano le perdite di carico di due circuiti elettrici, espresse come numeri razionali negativi: $V_1 = -\frac{17}{24}\text{ V}$ e $V_2 = -\frac{11}{16}\text{ V}$. Per determinare quale dei due circuiti subisce una perdita maggiore (cioè quale dei due numeri razionali è minore), due membri del gruppo propongono strategie diverse:

• Metodo di Alba: dividere il numeratore per il denominatore in ciascuna frazione per ottenere le espressioni decimali e confrontarle cifra a cifra.

• Metodo di Bruno: ridurre entrambe le frazioni a denominatore comune mediante il minimo comune multiplo e confrontare direttamente i numeratori interi.

1. a) Applica entrambi i metodi passo dopo passo per scoprire quale dei due voltaggi è minore.
2. b) Rifletti sui due procedimenti: quale difficoltà in più presenta la divisione di Alba riguardo ai periodi decimali? Giustifica perché il metodo di Bruno risulta più sicuro, esatto e rappresentativo delle proprietà algebriche dell'insieme dei numeri razionali $\mathbb{Q}$.

Una delle proprietà fondamentali dell'insieme dei numeri razionali $\mathbb{Q}$ rispetto a quello degli interi $\mathbb{Z}$ è la densità: tra due numeri razionali distinti è sempre possibile trovare un altro numero razionale, mentre tra due interi consecutivi non esiste alcun altro intero.

1. a) Scrivi i numeri interi $-3$ e $-2$ come due frazioni con lo stesso denominatore positivo, in modo da poter trovare immediatamente almeno tre numeri razionali distinti compresi strettamente tra di essi. Scrivi questi tre razionali sotto forma di frazione ridotta ai minimi termini.
2. b) Risolvi il seguente problema inverso: trova una frazione ridotta ai minimi termini $x = \frac{p}{q}$ compresa strettamente tra $-\frac{4}{5}$ e $-\frac{3}{5}$ sapendo che:

1. Il suo denominatore $q$ è un numero primo compreso tra $10$ e $15$.

2. La somma del suo numeratore intero e del suo denominatore è esattamente $3$ (cioè $p + q = 3$).

3. Il valore assoluto del suo numeratore è strettamente minore di $10$.

Dimostra in dettaglio che il numero razionale che hai trovato soddisfa tutte le condizioni.