Multipli, divisori e criteri di divisibilità

Una cavalletta si sta allenando per una gara. A ogni salto avanza esattamente $6$ decimetri.

Scrivi la distanza totale percorsa dopo $1, 2, 3, 4, 5$ e $10$ salti. Come si chiamano questi numeri rispetto a $6$?

Sapendo che l'uguaglianza $15 \cdot 4 = 60$ è vera, completa le seguenti frasi usando correttamente le parole multiplo o divisore:

1. a) Il numero $60$ è ____ di $15$.
2. b) Il numero $4$ è ____ di $60$.
3. c) Il numero $60$ è ____ di $4$.
4. d) Il numero $15$ è ____ di $60$.

Osserva il seguente schema di "salto dei numeri" e completa le frasi utilizzando le parole multiplo, divisore o divisibile:

1. a) $60$ è .................... di $12$.
2. b) $12$ è .................... di $180$.
3. c) $180$ è .................... per $60$.
4. d) Se aggiungiamo il numero $5$ allo schema, che relazione avrebbe con il $60$?

Individua quali dei seguenti numeri sono divisori di $24$ eseguendo le divisioni necessarie:

Ricorda: un numero è divisore di un altro se, dividendoli, il resto è uguale a $0$.

Marta vuole distribuire $28$ figurine adesive tra i suoi $4$ amici in parti uguali.

1. a) Quante figurine riceverà ciascuno? Ne avanza qualcuna?
2. b) $28$ è divisibile per $4$?
3. c) $4$ è un divisore di $28$?

In un rifugio per animali hanno ricevuto una donazione di $48$ lattine di cibo per gatti. Vogliono conservarle in scatole piccole, in modo che tutte le scatole contengano lo stesso numero di lattine e non ne avanzi nessuna.

1. a) Scrivi tutti i divisori di $48$.
2. b) Se l'addetto vuole che in ogni scatola ci siano più di $5$ lattine ma meno di $15$, quali possibilità di confezionamento ha? Indica il numero di lattine per scatola e quante scatole servirebbero in ogni caso.

Un grafico pubblicitario sta organizzando una galleria di $30$ icone quadrate identiche per una pagina web. Vuole disporle formando un rettangolo completo (senza che avanzino icone).

1. a) Trova tutti i modi possibili di organizzare le icone (per esempio: $1$ riga da $30$).
2. b) Quale relazione matematica hanno le dimensioni di quei rettangoli con il numero $30$?
3. c) Se il progetto permette che il lato più corto del rettangolo abbia almeno $3$ icone, quante possibilità ci sono ora?

Un bibliotecario deve sistemare dei libri su scaffali in cui entrano esattamente $3$ libri in ogni spazio. Per sapere rapidamente se può completare gli scaffali senza che avanzino libri, utilizza il criterio di divisibilità per $3$.

Calcola la somma delle cifre dei seguenti numeri e di' quali sono divisibili per $3$:

1. a) $123$
2. b) $401$
3. c) $516$
4. d) $802$

Completa sul quaderno la seguente tabella scrivendo SÌ o NO in ogni casella, applicando i criteri di divisibilità che hai imparato:

Sostituisci la lettera $A$ con una cifra in modo che il numero ottenuto sia multiplo di $9$. Ricorda che la somma delle sue cifre deve essere un multiplo di $9$.

1. a) $2A5$
2. b) $71A$
3. c) $A08$

In una verifica di Matematica di prima media, Marco deve classificare alcuni numeri secondo i criteri di divisibilità e scrive le seguenti tre affermazioni sul foglio delle risposte:

1. «Il numero $253$ è divisibile per $3$ perché la sua ultima cifra è $3$».

2. «Il numero $410$ è divisibile per $4$ perché termina in $0$, e poiché $10$ è pari, si può dividere due volte per $2$».

3. «Il numero $837$ è divisibile per $9$ perché la somma delle sue cifre è $8 + 3 + 7 = 18$, e $18$ è multiplo di $9$».

Il tuo compito:

1. a) Indica con un ragionamento quali delle tre affermazioni di Marco sono scorrette. Spiega quale errore concettuale ha commesso in ciascuna di esse e qual è la regola corretta che avrebbe dovuto applicare secondo gli appunti.
2. b) Applica i criteri adeguati ai numeri $253$ e $410$ e indica se sono o no divisibili per $3$ e per $4$, rispettivamente.

Per aprire il lucchetto digitale dell'armadietto della palestra, Sara deve inserire un codice di quattro cifre della forma $5\text{.}2A4$, dove $A$ è una cifra sconosciuta (da $0$ a $9$). Sara ricorda due condizioni che il suo codice soddisfa:

• Il numero è divisibile per $3$.

• Il numero non è divisibile per $9$.

1. a) Scrivi la somma delle cifre del numero in funzione di $A$ e trova tutti i valori possibili che può assumere la cifra $A$ affinché il numero sia multiplo di $3$.
2. b) Tra i valori che hai ottenuto, scarta con un ragionamento quelli che rendono il numero divisibile per $9$. Quali numeri di quattro cifre validi restano?
3. c) Verifica se qualcuno dei numeri validi risultanti è anche divisibile per $4$ applicando il criterio delle ultime due cifre, senza fare la divisione completa.

Un numero è divisibile per $4$ se le sue ultime due cifre sono zeri o formano un multiplo di $4$.

Osserva i seguenti anni e di' quali sarebbero "anni speciali" perché divisibili per $4$:

$1996, 2000, 2010, 2022, 2024, 2030$

Applica il criterio di divisibilità per $11$ per determinare quali dei seguenti numeri sono multipli di $11$. Per quelli che non lo sono, indica quanto dovresti aggiungere perché lo diventino:

1. a) $1.232$
2. b) $5.049$
3. c) $8.175$

Scopri il valore delle cifre incognite $A$ e $B$ nel numero $5A1B$ sapendo che:

• Il numero è divisibile per $2$ e per $3$ contemporaneamente.

• Il numero è un multiplo di $11$.

• La cifra $A$ è un divisore di $16$ e la cifra $B$ è un multiplo di $4$ (diverso da zero).

Spiega passo per passo come scarti le opzioni fino a trovare il numero corretto.

Trova il valore della cifra mancante, rappresentata dalla lettera $A$, in ciascuno di questi numeri affinché sia soddisfatta la condizione indicata:

1. a) $24A$ è divisibile per $4$ e per $3$ contemporaneamente.
2. b) $51A$ è divisibile per $11$.
3. c) $A72$ è divisibile per $9$ ma non per $10$.

Un pasticcere ha sfornato una teglia di biscotti. Sa che ha più di $70$ biscotti ma meno di $85$. Se li distribuisce in scatole da $6$ unità, non ne avanza nessuno. Se li distribuisce in scatole da $9$, non ne avanza nessuno nemmeno così.

1. a) Quanti biscotti ha sfornato esattamente?
2. b) Giustifica la tua risposta utilizzando i criteri di divisibilità per $2$ e per $3$ per spiegare perché il numero è divisibile per $6$.

Il dipartimento di Educazione Fisica di una scuola organizza una giornata di escursionismo per i $198$ studenti della prima media. Vogliono distribuirli in gruppi uguali, con un minimo di $10$ e un massimo di $25$ alunni per gruppo, in modo che nessun alunno resti senza gruppo e tutti i gruppi abbiano esattamente la stessa dimensione.

1. a) Stima: Prima di cercare i divisori, arrotonda $198$ a $200$ e calcola mentalmente quanti gruppi si otterrebbero approssimativamente facendo gruppi da $10$, $15$ o $20$ alunni. A partire da questa stima e usando i criteri di divisibilità, spiega perché è impossibile che i gruppi siano esattamente da $10$ o da $20$ alunni.
2. b) Calcola: Utilizzando i criteri di divisibilità (per $2$, per $3$, per $5$, per $9$ e per $11$) e la scomposizione in fattori primi di $198$ che ne deriva, analizza quali numeri compresi tra $10$ e $25$ sono divisori esatti di $198$. Deduci tutti i modi possibili di organizzare l'attività (indicando quanti gruppi si formano e quanti alunni ci sono in ciascuno).
3. c) Verifica: Rifletti sui tuoi risultati: perché non è possibile formare gruppi da $15$ alunni pur essendo $198$ divisibile per $3$?

In una fiera di videogiochi, il numero di partecipanti è un valore compreso tra $700$ e $750$. Se sappiamo che questo numero è divisibile per $3$, per $11$ e per $2$ contemporaneamente, quante persone hanno partecipato esattamente alla fiera? Spiega come hai scartato le altre possibilità.

Nell'ora di Arte stiamo creando motivi con tessere quadrate. Per realizzare un "supercubo quadrato", abbiamo bisogno che il numero totale di tessere sia un quadrato perfetto.

1. a) Se abbiamo un barattolo con $80$ tessere, quante tessere avanzano se vogliamo formare il quadrato più grande possibile?

1. b) Quante tessere ci mancherebbero, al minimo, per poter formare il quadrato successivo di dimensione maggiore?

Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false, fornendo in ogni caso un esempio o un controesempio:

1. a) Se un numero è divisore di $10$, è anche divisore di tutti i multipli di $10$ (come $20, 30, 40...$).
2. b) L'insieme dei divisori di un numero è infinito.
3. c) Se un numero $a$ è multiplo di $b$, allora $b$ è divisore di $a$.
4. d) Qualsiasi numero naturale è divisibile almeno per se stesso e per uno.

Un frantoio cooperativo della Puglia confeziona una partita speciale di $2\text{.}772\text{ litri}$ di olio extravergine di oliva. Desiderano commercializzare tutto il lotto in taniche identiche di capacità intera (senza decimali), senza che avanzi né manchi nulla di olio. La cooperativa dispone di contenitori commerciali standard con le seguenti capacità: $2\text{ L}$, $3\text{ L}$, $4\text{ L}$, $5\text{ L}$, $9\text{ L}$, $10\text{ L}$ e $11\text{ L}$.

1. a) Applica nel dettaglio i criteri di divisibilità dell'unità per determinare quali di questi contenitori possono essere utilizzati per confezionare esattamente i $2\text{.}772\text{ litri}$ senza fare divisioni con carta e penna.
2. b) Se la cooperativa decide di usare le taniche più grandi possibili tra quelle valide dell'elenco precedente per risparmiare contenitori, quale deve scegliere? Quante taniche riempirà in totale?
3. c) Un distributore chiede di confezionare parte del lotto in taniche da $6\text{ litri}$. Senza eseguire la divisione $2\text{.}772 : 6$, giustifica se è possibile farlo a partire dalle proprietà di divisibilità che hai già verificato nel punto (a).

Un'azienda di eventi vuole organizzare un concerto in una sala rettangolare. Ha acquistato un totale di $150$ sedie. L'organizzatore vuole disporle in modo che tutte le file abbiano lo stesso numero di sedie, ma con le seguenti restrizioni:

• Ci devono essere più di $5$ file.

• In ogni fila ci devono essere più di $10$ sedie.

• Il numero di sedie per fila deve essere un divisore di $450$ ma non può essere un multiplo di $4$.

Trova tutti i modi possibili di organizzare le sedie (file e sedie per fila) che soddisfano queste condizioni.

Considera un numero naturale $n$ che soddisfa le due seguenti proprietà:

1. $n$ è un multiplo comune di $12$ e $15$.

2. $n$ è un divisore di $360$.

Scrivi tutti i valori possibili di $n$. Per ogni valore trovato, indica qual è il divisore più piccolo (diverso da $1$) e il multiplo di $n$ più piccolo che sia maggiore di $1\,000$.

Un hacker ha lasciato un indizio per decifrare la password di un server. La password è il più piccolo numero di quattro cifre, $2A3B$, che soddisfa contemporaneamente queste tre condizioni:

• È divisibile per $2$ ma non per $4$.

• È divisibile per $9$.

• È divisibile per $5$.

Qual è la password del server? Motiva la tua risposta applicando i criteri passo per passo.

Trova tutti i valori possibili per le cifre $X$ e $Y$ in modo che il numero di cinque cifre $4X12Y$ sia divisibile per $4$ e per $9$ allo stesso tempo. Tieni presente che può esserci più di una combinazione vincente.

Un numero palindromo di tre cifre è un numero che si legge allo stesso modo da sinistra a destra e da destra a sinistra (per esempio, $525$). Trova un numero palindromo di tre cifre che sia divisibile per $11$ e tale che, sommando le sue cifre, il risultato sia un multiplo di $3$. È l'unica soluzione possibile?

Determina, senza eseguire la divisione in colonna, se il numero $N = 10^5 + 8$ è divisibile per $2, 3, 4, 9$ e $11$. Giustifica ogni risposta enunciando la proprietà o il criterio di divisibilità corrispondente. (Suggerimento: scrivi prima il numero con tutte le sue cifre).

Per verificare se il numero $43\text{.}956$ è divisibile per $4$, per $9$ e per $11$, tre studenti di prima media propongono strade diverse:

• Beatrice (Metodo 1 - Divisione tradizionale): Preferisce fare le tre divisioni con carta e penna ($43\text{.}956 : 4$, $43\text{.}956 : 9$ e $43\text{.}956 : 11$) e verificare se il resto è $0$.

• Chiara (Metodo 2 - Criteri di divisibilità): Applica le regole teoriche dell'unità: osserva le ultime due cifre per il $4$, somma le cifre per il $9$ e sottrae la somma delle cifre di posto dispari e di posto pari per il $11$.

• Diana (Metodo 3 - Scomposizione intelligente): Osserva che $43\text{.}956 = 44\text{.}000 - 44$. Poiché $44\text{.}000$ e $44$ sono multipli evidenti di $4$ e di $11$, deduce che anche la loro differenza deve esserlo.

Il tuo compito:

1. a) Applica il metodo di Chiara passo per passo per verificare la divisibilità di $43\text{.}956$ per $4$, $9$ e $11$.
2. b) Sviluppa il metodo di Diana per analizzare la divisibilità per $4$ e per $11$. Poi prova a usare la sua scomposizione per decidere se è divisibile per $9$: $44\text{.}000$ o $44$ sono multipli di $9$? Che cosa succede in questo caso?
3. c) Confronta i tre metodi: qual è il più rapido per questo numero in particolare? Se dovessi analizzare il numero $43\text{.}951$, il metodo di Diana resterebbe vantaggioso rispetto a quello di Chiara? Giustifica quale sceglieresti come regola generale.

Una banca italiana genera codici di sicurezza di quattro cifre della forma $C = A\text{.}32B$ (dove $A$ rappresenta la cifra delle migliaia e $B$ quella delle unità). Perché il sistema accetti il codice, devono essere soddisfatte contemporaneamente tre condizioni:

1. Il numero è divisibile per $4$ e per $5$ contemporaneamente.

2. Il numero è divisibile per $11$.

3. Il numero è divisibile per $3$, ma non è divisibile per $9$.

1. a) Deduci in modo ordinato, applicando i criteri di divisibilità, il valore obbligato che deve assumere la cifra $B$. Poi dimostra che esiste un solo valore possibile per la cifra $A$. Qual è il codice $C$ definitivo?
2. b) L'informatico della banca afferma: «Qualsiasi numero di quattro cifre che termini con le stesse due cifre di $C$ sarà divisibile per $4$, qualunque siano le cifre che mettiamo nelle migliaia e nelle centinaia». Basandoti sulla spiegazione teorica degli appunti sul numero $100$ ($100 = 4 \cdot 25$), giustifica se questa affermazione è vera o falsa.
3. c) Senza fare divisioni in colonna, giustifica con un ragionamento se il codice ottenuto $C$ è divisibile per $33$ e se è divisibile per $60$, utilizzando le proprietà dei multipli e dei divisori.