Insiemi e diagrammi di Eulero-Venn
In una prima media di 24 alunni c'è chi gioca a calcio, chi a pallavolo e chi a nessuno dei due sport. Come si fa a contare tutti senza contare due volte chi fa entrambi gli sport? Con gli insiemi e un buon disegno è molto più facile: alla fine della pagina troverai la risposta.
Che cos'è un insieme
Un insieme è una collezione di oggetti ben definiti, cioè tale che si possa sempre dire se un oggetto ne fa parte oppure no. Gli oggetti si chiamano elementi. Di solito gli insiemi si indicano con una lettera maiuscola ($A$, $B$, …).
«I ragazzi simpatici della classe» non è un insieme (dipende dai gusti), mentre «gli alunni della classe nati a maggio» lo è.
Un insieme si può rappresentare in tre modi:
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per elencazione: si scrivono gli elementi tra parentesi graffe, separati da virgole, senza ripeterli: $A = \{2, 4, 6, 8\}$;
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per proprietà caratteristica: si descrive la proprietà che hanno tutti e soli gli elementi: $A$ = numeri pari maggiori di 0 e minori di 10;
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con un diagramma di Eulero-Venn: una linea chiusa che racchiude gli elementi, ciascuno segnato da un punto.
Qui $4 \in A$ e $5 \notin A$.
Usa i simboli $\in$ e $\notin$ per completare, con $A = \{2, 4, 6, 8\}$: a) $4 \ \\_ \ A$ b) $5 \ \\_ \ A$ c) $8 \ \\_ \ A$
Usa i simboli $\in$ e $\notin$ per completare, con $A = \{2, 4, 6, 8\}$:
- a) $4 \ \_\_ \ A$
- b) $5 \ \_\_ \ A$
- c) $8 \ \_\_ \ A$
Rappresenta per elencazione i seguenti insiemi: a) $A$ = numeri naturali pari minori di $12$ b) $B$ = divisori di $18$ c) $C$ = multipli di $5$ minori di $30$
Rappresenta per elencazione i seguenti insiemi:
- a) $A$ = numeri naturali pari minori di $12$
- b) $B$ = divisori di $18$
- c) $C$ = multipli di $5$ minori di $30$
Sottoinsiemi
Se tutti gli elementi di $B$ sono anche elementi di $A$, si dice che $B$ è un sottoinsieme di $A$ e si scrive $B \subseteq A$. Nel diagramma, $B$ sta tutto dentro $A$.
Due sottoinsiemi particolari esistono sempre: l'insieme stesso ($A \subseteq A$) e l'insieme vuoto $\varnothing$, che non ha elementi. Se $B \subseteq A$ ma $B \neq A$, $B$ è un sottoinsieme proprio e si scrive $B \subset A$.
Dati $A = \{a, b, c, d\}$ e $B = \{b, d\}$: a) $B$ è sottoinsieme di $A$? Scrivi la relazione con il simbolo corretto. b) Scrivi $A \setminus B$. c) Quanti sottoinsiemi…
Dati $A = \{a, b, c, d\}$ e $B = \{b, d\}$:
- a) $B$ è sottoinsieme di $A$? Scrivi la relazione con il simbolo corretto.
- b) Scrivi $A \setminus B$.
- c) Quanti sottoinsiemi ha $B$?
Intersezione, unione e differenza
Con due insiemi $A$ e $B$ si costruiscono nuovi insiemi.
Se $A \cap B = \varnothing$ i due insiemi si dicono disgiunti.
Nel diagramma si parte sempre dalla zona comune: si scrivono prima gli elementi di $A \cap B$, poi quelli solo di $A$ e solo di $B$.
Dati $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ e $B = \{4, 5, 6, 7\}$, scrivi: a) $A \cap B$ b) $A \cup B$ c) $A \setminus B$
Dati $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ e $B = \{4, 5, 6, 7\}$, scrivi:
- a) $A \cap B$
- b) $A \cup B$
- c) $A \setminus B$
Dati $A$ = divisori di $12$ e $B$ = divisori di $18$, rappresenta i due insiemi per elencazione e con un diagramma di Eulero-Venn (descrivilo a parole), poi scrivi…
Dati $A$ = divisori di $12$ e $B$ = divisori di $18$, rappresenta i due insiemi per elencazione e con un diagramma di Eulero-Venn (descrivilo a parole), poi scrivi $A \cap B$ e $A \cup B$.
Sia $A$ l'insieme dei multipli di $4$ minori di $41$ e $B$ l'insieme dei multipli di $6$ minori di $41$. a) Elenca $A$ e $B$. b) Determina $A \cap B$ e spiega che…
Sia $A$ l'insieme dei multipli di $4$ minori di $41$ e $B$ l'insieme dei multipli di $6$ minori di $41$.
- a) Elenca $A$ e $B$.
- b) Determina $A \cap B$ e spiega che relazione ha con il minimo comune multiplo di $4$ e $6$.
- c) Calcola il numero di elementi di $A \cup B$.
Dato $A \cap B = \{3, 6\}$, $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6, 8\}$ e $A \setminus B = \{1, 2\}$: a) Determina $A$ e $B$. b) Calcola $B \setminus A$. c) Verifica che il numero…
Dato $A \cap B = \{3, 6\}$, $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6, 8\}$ e $A \setminus B = \{1, 2\}$:
- a) Determina $A$ e $B$.
- b) Calcola $B \setminus A$.
- c) Verifica che il numero di elementi di $A \cup B$ è uguale a $|A| + |B| - |A \cap B|$.
Problemi con i diagrammi
Contare gli elementi di un insieme finito dà il suo numero di elementi, che si indica con $|A|$. Per l'unione vale
$$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$$Il perché si vede dal disegno: sommando $|A|$ e $|B|$ la zona comune viene contata due volte, quindi bisogna togliere una volta $|A \cap B|$.
Torniamo alla classe di 24 alunni: 15 giocano a calcio, 10 a pallavolo, 3 a nessuno dei due.
Un caso particolare: l'intersezione di due insiemi di multipli. I multipli comuni di due numeri sono tutti e soli i multipli del loro $\mathrm{mcm}$. Per esempio, i multipli comuni di $3$ e $4$ sono i multipli di $\mathrm{mcm}(3,4)=12$: $0, 12, 24, \dots$ Se $A$ = multipli di $3$ minori di $30$ e $B$ = multipli di $4$ minori di $30$, allora $A \cap B = \{0, 12, 24\}$.
Il risultato si ottiene sempre così: parti dalla zona comune, completa le zone «solo» per sottrazione e controlla che la somma di tutte le zone sia il totale.
Vuoi un'altra situazione? In una scuola di 60 alunni, 35 fanno teatro e 28 coding, 9 nessuno dei due: chi usa un diagramma ordinato trova subito tutte le zone.
In una classe di $24$ alunni, $15$ giocano a calcio, $10$ a pallavolo e $3$ non praticano nessuno dei due sport. a) Quanti alunni praticano almeno uno dei due sport? b)…
In una classe di $24$ alunni, $15$ giocano a calcio, $10$ a pallavolo e $3$ non praticano nessuno dei due sport.
- a) Quanti alunni praticano almeno uno dei due sport?
- b) Quanti praticano entrambi?
In una scuola di Cagliari, $60$ alunni partecipano a laboratori: $35$ a teatro, $28$ a coding e $9$ a nessuno dei due. a) Quanti partecipano a entrambi? b) Quanti solo a…
In una scuola di Cagliari, $60$ alunni partecipano a laboratori: $35$ a teatro, $28$ a coding e $9$ a nessuno dei due.
- a) Quanti partecipano a entrambi?
- b) Quanti solo a teatro?
- c) Quanti solo a coding?
In sintesi
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Un insieme è una collezione di elementi ben definiti; si rappresenta per elencazione, per proprietà caratteristica o con un diagramma di Eulero-Venn. $x \in A$ e $x \notin A$ indicano appartenenza e non appartenenza.
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$B \subseteq A$ se ogni elemento di $B$ è in $A$; $\varnothing$ e $A$ stesso sono sempre sottoinsiemi di $A$. Un insieme di $n$ elementi ha $2^n$ sottoinsiemi.
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$A \cap B$: elementi comuni; $A \cup B$: elementi di almeno uno dei due; $A \setminus B$: elementi di $A$ che non sono in $B$.
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$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$: nei problemi si parte dalla zona comune e si controlla che la somma di tutte le zone sia il totale.
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Vuoi sapere quanti alunni fanno entrambi gli sport? Se il totale è 24, 3 non fanno sport, 15 calcio e 10 pallavolo, sono 4.