Rette

Nel disegno seguente di una strada rettilinea, individua il nome di ciascuno degli elementi indicati.

Indica quale è un segmento, quale è una semiretta e quale rappresenta una retta completa.

Osserva la pianta di queste strade. Indica qual è la posizione reciproca (parallele, incidenti o perpendicolari) delle seguenti coppie di strade:

• Strada A e Strada B.

• Strada B e Strada C.

• Strada A e Strada C.

Un gruppo di amici sta progettando un nuovo circuito per skate in uno spiazzo. Per farlo, hanno tracciato sul terreno varie linee che rappresentano i bordi delle rampe. Osserva la pianta che hanno disegnato e rispondi alle domande sulla posizione reciproca delle linee:

1. a) Indica una coppia di linee parallele tra loro.
2. b) Trova due linee incidenti ma non perpendicolari.
3. c) Individua una linea perpendicolare alla linea $s$.
4. d) Se la linea $t$ e la linea $u$ non si incontrano mai per quanto le prolunghiamo, che relazione geometrica hanno?

Sono state disegnate quattro rette incidenti in un piano in modo che ciascuna incontri tutte le altre, ma mai tre rette passino per lo stesso punto.

1. a) Qual è il numero massimo di punti di intersezione che si possono formare?
2. b) In quante regioni risulta diviso il piano?

Disegna uno schema che lo rappresenti e giustifica la risposta contando le regioni.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Classifica i seguenti angoli in base alla loro ampiezza. Indica se sono acuti, retti od ottusi:

• $\alpha = 45^\circ$

• $\beta = 120^\circ$

• $\gamma = 90^\circ$

Due angoli sono complementari se la loro somma è $90^\circ$. Se l'angolo $\alpha$ misura $35^\circ$, quanto deve misurare l'angolo $\beta$ perché siano complementari?

Un radar di navigazione ruota in totale di $5^\circ$ ogni secondo. Esprimi questo movimento in primi sessagesimali ($'$). Ricorda che $1^\circ = 60'$.

Trova il valore dell'angolo $\hat{X}$ nella figura seguente, sapendo che i due angoli sono supplementari (sommano $180^\circ$).

Quando due rette si incontrano, gli angoli opposti al vertice sono uguali. Osserva la figura e, senza usare il goniometro, indica quanto misura l'angolo $\hat{A}$ e quanto misura l'angolo $\hat{B}$.

Una telecamera di sicurezza di un centro commerciale ha un angolo di visione totale di $110^\circ$. Il tecnico della manutenzione decide di dividere questo angolo in due zone: la Zona A, che copre i negozi, e la Zona B, che copre i corridoi.

Se la Zona A misura $64^\circ 35' 50''$, calcola la misura esatta (in gradi, minuti e secondi) che deve avere la Zona B per coprire il resto del campo visivo.

Un satellite per telecomunicazioni orbita attorno alla Terra e compie tre misurazioni di rotazione angolare per correggere la sua traiettoria. La prima rotazione è di $42^\circ \ 35' \ 48''$. La seconda rotazione è il doppio della prima. Se alla fine della giornata il satellite deve aver ruotato di un angolo totale pari a un angolo piatto per allinearsi con la base terrestre, quanto deve misurare la terza rotazione? Esprimi il risultato in forma complessa (gradi, minuti e secondi).

L'angolo $\alpha$ è tale che il suo supplementare misura il triplo del suo complementare.

1. a) Imposta un'uguaglianza utilizzando i concetti di angolo complementare ($90^\circ - \alpha$) e supplementare ($180^\circ - \alpha$).
2. b) Calcola il valore dell'angolo $\alpha$.
3. c) Come classificheresti l'angolo $\alpha$ in base alla sua ampiezza?

Stiamo analizzando la struttura di una libreria moderna. I ripiani orizzontali sono paralleli tra loro e sono attraversati da un sostegno inclinato.

Sapendo che l'angolo $\hat{1}$ misura $124^\circ$, utilizza le proprietà degli angoli formati da rette parallele tagliate da una trasversale per calcolare, senza usare il goniometro, la misura degli angoli $\hat{2}, \hat{3}$ e $\hat{4}$. Giustifica ogni risposta (perché opposti al vertice, corrispondenti, alterni interni, ecc.).

Osserva la figura seguente in cui sono mostrati vari angoli in relazione tra loro. Sappiamo che le rette $m$ e $n$ sono parallele. Se l'angolo $\hat{A} = 48^\circ$, calcola con ragionamento il valore degli angoli $\hat{B}$ e $\hat{C}$.

Nel progetto di una struttura metallica per un tetto ci sono due travi principali parallele, $r$ e $s$. Una terza trave trasversale $t$ le taglia formando un angolo ottuso di $135^\circ \ 20'$. Si decide di installare un rinforzo che coincida esattamente con la bisettrice dell'angolo acuto formato dall'incrocio delle travi $s$ e $t$. Quale angolo formerà questo rinforzo con la trave $r$ nella parte interna della struttura? Stabilisci se gli angoli saranno alterni interni o corrispondenti.

Data una retta $r$ e un punto esterno $P$, sappiamo che esiste una sola retta parallela a $r$ passante per $P$.

Immagina ora di avere tre rette parallele tra loro ($r, s, t$) e due rette trasversali ($m, n$) non parallele tra loro.

1. a) Qual è il numero totale di angoli che si formano nei punti di intersezione?
2. b) Se tutti gli angoli acuti formati dalla retta $m$ con le parallele misurano $70^\circ$, e gli angoli acuti formati dalla retta $n$ con le parallele misurano $55^\circ$, calcola l'angolo che formano tra loro le rette $m$ e $n$.

Disegna sul quaderno una retta $r$ e un punto $P$ che non le appartenga. Utilizzando squadra e righello, traccia una retta $s$ che passi per $P$ e sia parallela a $r$. Quante rette parallele a $r$ possono passare per quel punto $P$?

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Nella pianta di un parco giochi si vuole collocare un lampione che sia esattamente alla stessa distanza dallo scivolo ($T$) e dalle altalene ($C$). La figura mostra la posizione di entrambi e la distanza che li separa.

1. a) Come si chiama la linea immaginaria su cui dovrebbero trovarsi tutti i punti che soddisfano questa condizione?

1. b) Se la distanza tra lo scivolo e le altalene è di $12$ metri e collochi il lampione nel punto medio del segmento $TC$, a quale distanza si troverà il lampione da ciascuno di essi?

1. c) Disegna sul quaderno uno schema del segmento $TC$ e del suo asse.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Due viali principali di una città si incrociano formando un angolo di $72^\circ 15'$. Si vuole costruire una strada pedonale che divida quell'angolo esattamente a metà.

1. a) Come si chiama tecnicamente la linea che rappresenta questa strada pedonale?
2. b) Calcola il valore dell'angolo che la nuova strada formerà con ciascuno dei viali.
3. c) Che tipo di angolo è il risultato (acuto, retto od ottuso)?

Un architetto sta progettando una piazza a forma di triangolo scaleno i cui vertici sono tre fontane situate nei punti $A$, $B$ e $C$ (la figura mostra uno schema della piazza). Vuole collocare un lampione in un punto $P$ che soddisfi due condizioni:

1. Che sia alla stessa distanza dalla fontana $A$ e dalla fontana $B$.

2. Che sia alla stessa distanza dalla strada che unisce $A$ con $C$ e dalla strada che unisce $B$ con $C$.

Quali costruzioni geometriche (asse del segmento, bisettrice, ecc.) deve eseguire l'architetto per trovare il punto esatto del lampione? Spiega la proprietà dei punti di quelle rette che giustifica la tua risposta.

In un videogioco di strategia, un raggio laser rimbalza su una superficie metallica. Si sa che l'angolo di incidenza $\alpha$ e l'angolo di riflessione $\beta$ sono uguali.

Se l'angolo totale formato dal raggio entrante e da quello uscente è di $115^\circ 20'$, calcola quanto misura l'angolo $\alpha$. Poi indica se l'angolo supplementare di $\alpha$ è acuto, retto od ottuso.

Un orologio da parete segna le 15:40 del pomeriggio.

1. a) Calcola l'angolo formato dalla lancetta delle ore e da quella dei minuti. Tieni presente che la lancetta delle ore si sposta un po' al passare dei minuti.
2. b) Come classificheresti quell'angolo in base alla sua ampiezza (acuto, retto, ottuso o piatto)?

Calcola l'angolo esatto formato dalle lancette di un orologio analogico quando segna le 03:40.

Suggerimento: tieni presente che la lancetta delle ore non resta ferma sul 3, ma avanza proporzionalmente mentre la lancetta dei minuti si sposta.

1. a) Di quanti gradi avanza la lancetta delle ore per ogni minuto che passa?

1. b) Calcola la posizione in gradi di entrambe le lancette rispetto alle 12:00 e trova la differenza.

Si considerano due angoli adiacenti, $\widehat{AOB}$ e $\widehat{BOC}$, che hanno in comune il lato $OB$ e i cui altri lati $OA$ e $OC$ formano una linea retta (cioè $A$, $O$ e $C$ sono allineati e i due angoli sommano $180°$). Si tracciano le bisettrici $OX$ dell'angolo $\widehat{AOB}$ e $OY$ dell'angolo $\widehat{BOC}$.

Dimostra, eseguendo il calcolo passo dopo passo, quanto misura l'angolo $\widehat{XOY}$ formato dalle due bisettrici. Questo risultato dipende dalla misura dei singoli angoli iniziali? Giustifica la risposta.