Operazioni, proprietà ed espressioni
Alla pizzeria al taglio di Napoli, Marco ordina 3 pizze da $6{,}50\ €$ e 2 bibite da $2{,}40\ €$. Scrive sul telefono $6{,}50 + 2{,}40 \times 2 \times 3$ e ottiene un numero strano. Dove ha sbagliato? In questa pagina impari a eseguire le operazioni, a calcolare in modo furbo e a leggere le espressioni nell'ordine giusto: alla fine tornerai da Marco.
Le quattro operazioni e la divisione con resto
Addizione e sottrazione si eseguono in colonna: si incolonnano le cifre dello stesso valore posizionale e si parte da destra. Con i decimali si incolonna la virgola sotto la virgola; se serve, si aggiungono zeri.
Nella moltiplicazione con i decimali si moltiplica come se non ci fosse la virgola, poi si mettono nel prodotto tante cifre decimali quante ne hanno in tutto i due fattori.
La divisione con resto
Dividere $157$ per $12$ significa chiedersi quante volte $12$ sta in $157$. Si ottiene un quoziente $q$ e un resto $r$:
$$D = d \times q + r \qquad \text{con } 0 \le r < d$$dove $D$ è il dividendo e $d$ il divisore. Esempio: $100 : 8$ dà $q = 12$ e $r = 4$, infatti $100 = 8 \times 12 + 4$.
Esegui in colonna: a) $348,7 + 52,36$ b) $90,5 - 27,83$ c) $12,4 \times 3,5$
Esegui in colonna:
- a) $348,7 + 52,36$
- b) $90,5 - 27,83$
- c) $12,4 \times 3,5$
Esegui la divisione con resto e scrivi il risultato nella forma $D = d \times q + r$: a) $157 \div 12$ b) $2.045 \div 25$
Esegui la divisione con resto e scrivi il risultato nella forma $D = d \times q + r$:
- a) $157 \div 12$
- b) $2.045 \div 25$
Le proprietà delle operazioni
Alcune proprietà permettono di calcolare a mente in modo veloce.
Perché funzionano? Per esempio $3 \times (4 + 2)$: sono 3 gruppi da 6, cioè 18; ma sono anche 3 gruppi da 4 più 3 gruppi da 2, cioè $12 + 6 = 18$.
Usando le proprietà delle operazioni, calcola a mente e indica la proprietà usata: a) $25 \times 7 \times 4$ b) $13 \times 102$ c) $48 + 37 + 52 + 63$
Usando le proprietà delle operazioni, calcola a mente e indica la proprietà usata:
- a) $25 \times 7 \times 4$
- b) $13 \times 102$
- c) $48 + 37 + 52 + 63$
Giulia afferma: «$24 \div (6 \div 2) = (24 \div 6) \div 2$, quindi la divisione è associativa». a) Calcola i due membri e verifica se l'uguaglianza è vera. b) Trova un…
Giulia afferma: «$24 \div (6 \div 2) = (24 \div 6) \div 2$, quindi la divisione è associativa».
- a) Calcola i due membri e verifica se l'uguaglianza è vera.
- b) Trova un controesempio che dimostri che la divisione non gode della proprietà associativa.
- c) Verifica con numeri a tua scelta se la sottrazione gode della proprietà commutativa.
Le espressioni e la precedenza delle operazioni
Un'espressione è una sequenza di operazioni. Per avere lo stesso risultato tutti, c'è una regola:
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si eseguono prima le operazioni dentro le parentesi, partendo dalle più interne: prima le tonde ( ), poi le quadre [ ], poi le graffe { };
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moltiplicazioni e divisioni, da sinistra a destra;
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infine addizioni e sottrazioni, da sinistra a destra.
Le parentesi cambiano il risultato: $20 - 4 \times 3 + 2 = 10$, ma $(20 - 4) \times 3 + 2 = 50$.
Calcola le seguenti espressioni: a) $18 + 6 \times 4 - 10$ b) $(25 - 7) \times 2 + 3$ c) $40 - 3 \times (2 + 4)$
Calcola le seguenti espressioni:
- a) $18 + 6 \times 4 - 10$
- b) $(25 - 7) \times 2 + 3$
- c) $40 - 3 \times (2 + 4)$
Calcola: a) $[12 + (30 - 6 \div 2)] \times 2 - 15$ b) $5,6 + 2,4 \times (7 - 4,5) - 1,2$ c) $(18,6 - 3,6) \div 5 + 0,75 \times 4$
Calcola:
- a) $[12 + (30 - 6 \div 2)] \times 2 - 15$
- b) $5,6 + 2,4 \times (7 - 4,5) - 1,2$
- c) $(18,6 - 3,6) \div 5 + 0,75 \times 4$
Inserisci una sola coppia di parentesi nell'espressione $20 - 4 \times 3 + 2$ in tutti i modi sensati e calcola ogni risultato. Quanti risultati diversi si ottengono?…
Inserisci una sola coppia di parentesi nell'espressione $20 - 4 \times 3 + 2$ in tutti i modi sensati e calcola ogni risultato. Quanti risultati diversi si ottengono? Quali parentesi non cambiano il risultato?
Stimare un risultato
Prima di usare la calcolatrice conviene stimare: si arrotondano i numeri a valori comodi e si calcola a mente. Così si scopre subito se il risultato è assurdo (per esempio perché hai sbagliato a battere un tasto).
Stima il risultato arrotondando ciascun numero alla decina o all'unità più vicina, poi calcola il risultato esatto con la calcolatrice e trova l'errore commesso: a)…
Stima il risultato arrotondando ciascun numero alla decina o all'unità più vicina, poi calcola il risultato esatto con la calcolatrice e trova l'errore commesso:
- a) $48,7 + 31,2 + 19,9$
- b) $52 \times 19$
In una divisione con resto il dividendo è $389$, il quoziente è $15$ e il resto è il più grande possibile. a) Determina il divisore. b) Scrivi il resto. c) Spiega perché…
In una divisione con resto il dividendo è $389$, il quoziente è $15$ e il resto è il più grande possibile.
- a) Determina il divisore.
- b) Scrivi il resto.
- c) Spiega perché il resto deve essere sempre minore del divisore.
Vuoi tornare da Marco? Il conto corretto è $3 \times 6{,}50 + 2 \times 2{,}40 = 19{,}50 + 4{,}80 = 24{,}30\ €$. Lui aveva scritto $6{,}50 + 2{,}40 \times 2 \times 3$: la precedenza faceva moltiplicare solo il $2{,}40$ e lasciava la pizza una volta sola. Le parentesi o i prodotti nei posti giusti risolvono tutto.
In sintesi
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Addizione e sottrazione si fanno in colonna; nei prodotti con decimali le cifre decimali del risultato sono la somma di quelle dei fattori.
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Divisione con resto: $D = d \times q + r$ con $r < d$.
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Commutativa, associativa e distributiva semplificano il calcolo mentale; sottrazione e divisione non sono né commutative né associative (basta un controesempio).
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Precedenza: parentesi (tonde, quadre, graffe), poi $\times$ e $:$, poi $+$ e $-$.
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Stimare con numeri arrotondati serve a controllare il risultato.