Sistema sessagesimale

Il sistema sessagesimale si basa sul numero $60$. Esegui le seguenti conversioni di tempo:

1. a) Quanti minuti sono $3$ ore e $15$ minuti?
2. b) Un video di TikTok dura $150$ secondi. Esprimilo in minuti e secondi (forma complessa).
3. c) Se una serie televisiva dura $0,5$ ore, quanti minuti sono?

L'allenatore di una squadra di nuoto annota i tempi delle sessioni in unità diverse. Esprimi ciascun tempo nell'unità richiesta:

1. a) La sessione di lunedì è durata $1,5$ ore. Quanti minuti sono?

1. b) La miglior staffetta della squadra è stata fatta in $210$ secondi. Quanti minuti e secondi sono?

1. c) Una nuotatrice ha resistito $2$ minuti e $40$ secondi in apnea. Esprimi quel tempo solo in secondi.

1. d) La sessione di venerdì è durata $2,25$ ore. Quanti minuti sono?

Marco si allena nell'atletica e registra i suoi risultati con un'app sul cellulare. Al termine di una sessione di corsa, lo schermo del suo telefono indica un tempo di $1,45\ h$. Marco annota nel suo diario sportivo: «Oggi ho corso per 1 ora e 45 minuti».\n\na) Spiega in dettaglio qual è l'errore che commette Marco nell'interpretare il numero $1,45\ h$. In quale sistema di numerazione è espressa la parte decimale e in quale base si misurano abitualmente i minuti?\n\nb) Correggi il calcolo di Marco e determina la durata esatta del suo allenamento espressa in forma complessa (ore e minuti).

Osserva i quattro angoli disegnati qui sotto. Senza usare il goniometro, classificali in acuto, retto, ottuso o piatto. Poi ordinali dall'apertura minore alla maggiore.

Marta ha iniziato a studiare alle $17:45$ e ha finito alle $19:10$.

1. a) Per quanto tempo ha studiato in totale? (Esprimi il risultato in ore e minuti).
2. b) Se ha fatto una pausa di $15$ minuti a metà pomeriggio, quanto tempo effettivo di studio ha avuto?

Esprimi in secondi le seguenti durate e poi ordinale dalla maggiore alla minore:

• $t_1 = 2,5\text{ ore}$

• $t_2 = 145\text{ minuti e } 30\text{ secondi}$

• $t_3 = 9.200\text{ secondi}$

• $t_4 = 2\text{ h } 30\text{ min } 15\text{ s}$

Nel festival musicale della scuola, il concerto finale è diviso in tre parti: l'esibizione del gruppo di prima dura $25$ minuti, quella del gruppo di seconda $35$ minuti e quella del gruppo di terza $45$ minuti.

1. a) Quanti minuti dura il concerto in totale?

1. b) Esprimi quella durata in ore e minuti.

Un torneo di eSports è composto da tre fasi. La prima fase è durata $2\text{ h } 45\text{ min } 15\text{ s}$, la seconda fase è durata $1\text{ h } 58\text{ min } 50\text{ s}$ e la finalissima è durata $55\text{ min } 20\text{ s}$.

1. a) Qual è stata la durata totale del torneo in forma complessa?
2. b) Se il torneo è stato registrato integralmente e il file video occupa $12\text{ MB}$ per ogni minuto di registrazione, quanti $GB$ occupa approssimativamente il video totale? (Dato: $1\text{ GB} = 1.024\text{ MB}$).

In una gara a cronometro di ciclismo scolastico, la partenza di una corridora viene registrata alle $10\text{ h } 15\text{ min } 30\text{ s}$ e il suo arrivo al traguardo alle $11\text{ h } 2\text{ min } 15\text{ s}$.

1. a) Quanto tempo ha impiegato a completare il percorso?

1. b) Se il vincitore della prova ha impiegato $42\text{ min } 10\text{ s}$, quanto tempo separa la nostra corridora dal primo posto?

Due angoli sono complementari se la loro somma è $90^\circ$. Calcola l'angolo che manca a ciascuno dei seguenti per essere complementare:

1. a) $\hat{A} = 35^\circ$
2. b) $\hat{B} = 52^\circ$ $30'$
3. c) $\hat{C} = 89^\circ$

Due angoli sono supplementari se la loro somma è $180^\circ$. Calcola l'angolo supplementare di ciascuno dei seguenti:

1. a) $65^\circ$

1. b) $110^\circ$

1. c) $90^\circ$

1. d) $179^\circ$

1. e) $45,5^\circ$

Un grafico sta disegnando il logo di una nuova App. Il logo usa un angolo principale di $125^\circ \ 40' \ 12''$.

1. a) Il grafico deve dividere quell'angolo in tre parti uguali per creare un effetto a ventaglio. Quanto misurerà ciascuno dei tre angoli risultanti?
2. b) Qual è l'angolo supplementare dell'angolo originale?

Ricorda che due angoli sono complementari quando la loro somma è $90^\circ$. Nel laboratorio di tecnologia, una guida di taglio forma un angolo di $67^\circ \ 25' \ 40''$ con il bordo del tavolo. Perché il taglio risulti perpendicolare al bordo, bisogna posizionare un cuneo il cui angolo sia il complementare.

1. a) Calcola l'angolo del cuneo esprimendo il risultato in gradi, primi e secondi.

1. b) Se la guida viene poi regolata a $45^\circ \ 30'$, quale sarebbe allora l'angolo del cuneo?

Una famiglia fa un viaggio in treno con un cambio. Il primo tratto dura $1\text{ h } 45\text{ min } 30\text{ s}$, l'attesa nella stazione di coincidenza è di $50\text{ min } 40\text{ s}$ e il secondo tratto dura $2\text{ h } 15\text{ min } 50\text{ s}$.

1. a) Quanto dura il viaggio completo, da quando salgono sul primo treno a quando scendono dal secondo?

1. b) Se sono usciti di casa alle $8:30$ del mattino e hanno impiegato $10$ minuti per arrivare a piedi alla prima stazione, a che ora sono arrivati a destinazione?

Secondo i dati meteorologici per il giorno del solstizio d'estate, nella città di Trieste il Sole sorge alle $06:38$ e tramonta alle $21:57$. Lo stesso giorno, a Palermo, l'alba avviene alle $06:55$ e il tramonto alle $21:30$.\n\na) Modella la durata delle ore di luce di ciascuna città mediante una sottrazione di tempi nel sistema sessagesimale. Esprimi la durata del giorno di Trieste e quella di Palermo in ore e minuti.\n\nb) Quanto più tempo di luce solare diretta ha Trieste rispetto a Palermo in quella giornata? Esegui l'operazione in forma complessa indicando passo dopo passo come gestisci le unità se devi prendere in prestito un'ora.\n\nc) Esprimi la durata del giorno di Trieste in forma incompleta in ore con due decimali e spiega quale vantaggio pratico ha l'uso della forma complessa ($h$ e $min$) nella vita quotidiana.

In un laboratorio di tecnologia devono dividere un angolo di $50^\circ$ in tre settori uguali per costruire una sagoma di taglio. Due studenti propongono strade diverse per calcolare quanto deve misurare esattamente ciascun settore:\n\n- Metodo di Sergio (decimale): divide direttamente $50$ per $3$ con la calcolatrice in gradi decimali e poi cerca di convertire i decimali in primi.\n- Metodo di Irene (sessagesimale): esegue la divisione intera $50^\circ : 3$, trasforma in primi il resto dei gradi moltiplicando per $60$, e divide quei primi per $3$.\n\na) Applica il metodo di Sergio indicando quale risultato decimale ottieni facendo $50 : 3$ e quale inconveniente trovi nel tentare di esprimere la soluzione esatta.\n\nb) Applica il metodo di Irene passo dopo passo e ottieni la misura esatta dell'angolo in gradi e primi sessagesimali.\n\nc) Confronta le due strade: quale è più conveniente e precisa in questo caso? Giustifica la tua risposta collegandola alla ragione storica per cui fu scelta la base 60 (il gran numero di divisori del numero 60 rispetto alla base 10).

In una lezione di Arte e immagine si sta progettando una squadra unendo due pezzi triangolari per uno dei vertici. I pezzi hanno due angoli acuti che misurano $\alpha = 38^\circ\ 47'$ e $\beta = 51^\circ\ 24'$. L'insegnante chiede se, unendo i due angoli in posizione consecutiva, formeranno un angolo retto ($90^\circ$, cioè se sono complementari).\n\na) Prima di eseguire la somma con i primi sessagesimali, arrotonda ciascun angolo al grado intero più vicino e fai una stima mentale: la somma sembra essere esattamente $90^\circ$, superiore o inferiore?\n\nb) Esegui ora la somma esatta dei due angoli nel sistema sessagesimale.\n\nc) A partire dal risultato esatto, stabilisci se sono veramente complementari. In caso negativo, calcola quanto manca o quanto avanza per formare un angolo retto di $90^\circ$ e valuta se la tua stima iniziale era corretta.

Un maratoneta mantiene un ritmo costante di $4\text{ minuti e } 15\text{ secondi}$ per ogni chilometro percorso.

1. a) Quanto tempo totale impiegherà per completare una gara di $15\text{ km}$? Esprimi il risultato in ore, minuti e secondi.
2. b) Se la gara è iniziata alle $10:45\text{ h}$, a che ora taglierà il traguardo?

Una pattinatrice ha completato una maratona sui pattini di $42$ km in esattamente $2\text{ h } 20\text{ min}$.

1. a) Qual è stato il suo ritmo medio per chilometro? Esprimilo in minuti e secondi.

1. b) Nella prossima gara vuole migliorare il suo record mantenendo un ritmo di $3\text{ min } 10\text{ s}$ per chilometro. In quanto tempo completerebbe la stessa distanza? Esprimi il risultato in ore e minuti.

Un satellite per telecomunicazioni orbita attorno alla Terra e compie un giro esatto ogni $103\text{ minuti e } 24\text{ secondi}$. Se il satellite ha iniziato la sua prima orbita un lunedì alle $08:15:00$, a che ora esatta, espressa in ore, minuti e secondi, avrà completato il suo quindicesimo giro? Indica anche se sarà ancora lunedì o se sarà cambiato il giorno.

Calcola la misura dell'angolo interno di un poligono regolare di $9$ lati (ennagono). Esprimi il risultato in forma complessa (gradi, primi e secondi). Ricorda che la somma degli angoli interni di un poligono di $n$ lati si calcola con la formula: $S = (n - 2) \cdot 180^\circ$.

Nel logo triangolare di un club di escursionismo, due degli angoli del triangolo misurano $45^\circ \ 30'$ e $72^\circ \ 45' \ 30''$.

1. a) Trova la misura del terzo angolo esprimendo il risultato in gradi, primi e secondi.

1. b) Classifica il triangolo in base ai suoi angoli (acutangolo, rettangolo od ottusangolo) e giustifica la tua risposta.

Osserva la figura del logo, in cui manca il valore del terzo angolo:

Un orologio a muro va avanti di $18\text{ secondi}$ ogni $4\text{ ore}$. Se viene messo all'ora esatta il giorno $1$ marzo alle $12:00$ di mezzogiorno, che ora segnerà questo orologio quando l'ora reale sarà esattamente le $12:00$ di mezzogiorno del giorno $11$ marzo? Dai la risposta in ore, minuti e secondi.

La tua amica Aisha è partita per uno scambio culturale a Tokyo. In estate, a Tokyo sono avanti di $7$ ore rispetto all'Italia (quando da noi sono le $12:00$, lì sono le $19:00$).

1. a) Se in Italia sono le $18:30$, che ora è a Tokyo? Tieni presente che potrebbe essere già il giorno dopo.

1. b) Aisha può parlare in videochiamata solo prima di andare a letto, alle $22:15$ ora giapponese. A che ora italiana ti devi collegare?

1. c) Un canale musicale trasmette un concerto in diretta da Tokyo che inizia alle $9:00$ ora giapponese e dura $1\text{ h } 45\text{ min}$. A che ora italiana termina la trasmissione?

Vogliamo trovare due angoli acuti, $\hat{A}$ e $\hat{B}$, espressi in forma complessa con gradi, primi e secondi (cioè della struttura $g^\circ\ m'\ s''$, dove $m \neq 0$ e $s \neq 0$), che soddisfino contemporaneamente queste tre condizioni:\n\n1. Sono angoli complementari (la loro somma è esattamente $90^\circ$).\n2. Entrambi gli angoli hanno lo stesso numero di secondi ($s_{\hat{A}} = s_{\hat{B}}$).\n3. La misura dell'angolo $\hat{A}$ è maggiore del doppio di quella dell'angolo $\hat{B}$ ($\hat{A} > 2 \cdot \hat{B}$).\n\na) Spiega perché, affinché la somma totale dia esattamente $00''$ senza che nessuno dei due angoli abbia $0''$, è matematicamente obbligatorio che i secondi di entrambi gli angoli siano esattamente $30''$.\n\nb) Deduci quanto devono sommare i primi di entrambi gli angoli ($m_{\hat{A}} + m_{\hat{B}}$) e quanto devono sommare i loro gradi ($g_{\hat{A}} + g_{\hat{B}}$), tenendo conto dei «riporti» tra gli ordini sessagesimali.\n\nc) Proponi una coppia di angoli $\hat{A}$ e $\hat{B}$ che soddisfi tutte le condizioni e giustifica in dettaglio, mediante calcoli, che sono verificate sia la complementarità sia la condizione $\hat{A} > 2 \cdot \hat{B}$.

La Terra compie una rotazione di $360^\circ$ attorno al proprio asse ogni $24\text{ ore}$. Grazie a questo moto di rotazione, esiste una relazione diretta tra le misure angolari della longitudine geografica e le unità di tempo del sistema sessagesimale.\n\na) Deduci a quanti gradi di rotazione terrestre equivale $1\text{ ora}$ di tempo e dimostra che la rotazione di un solo grado ($1^\circ$) equivale esattamente a $4\text{ minuti}$ di tempo. Poi calcola a quanti secondi di tempo equivale la rotazione di un primo d'arco ($1'$).\n\nb) Nella Spagna peninsulare, la città di Castelló de la Plana si trova approssimativamente a una longitudine di $0^\circ\ 04'\text{ E}$ (a est del meridiano di Greenwich), mentre A Coruña si trova a $8^\circ\ 24'\text{ O}$ (a ovest del meridiano di Greenwich). Calcola la separazione angolare totale tra le due città sommando le loro distanze dal meridiano zero.\n\nc) Con le equivalenze ottenute nel punto a), calcola la differenza esatta di tempo solare (in minuti e secondi) tra le due città. Se a Castelló de la Plana il mezzogiorno solare (l'istante in cui il Sole è nel punto più alto del cielo) avviene alle $13:42:00$ dell'orologio, spiega a che ora dell'orologio avverrà ad A Coruña, tenendo conto che la Terra ruota da ovest verso est.

Sfida del tema. Progetta un rapporto di «Audit idrico domestico» per ottimizzare il consumo d'acqua nella tua casa.

1. Spazio e tempo: Misura con un metro a nastro la lunghezza e la larghezza del tuo piatto doccia in $\text{cm}$ e calcola la sua superficie in $\text{m}^2$. Poi cronometra una doccia abituale annotando la durata esatta in minuti e secondi usando il sistema sessagesimale (per esempio, $4\text{ min } 35\text{ s}$) e convertila in secondi.

2. Capacità e massa: Metti una bottiglia da $1,5\text{ l}$ sotto il rubinetto; se impiega $10\text{ s}$ a riempirsi completamente, stima la portata in $\text{l/s}$. Calcola i litri consumati nella tua doccia e la massa di quell'acqua in $\text{kg}$ sapendo che $1\text{ l} = 1\text{ kg}$.

3. Monomi e foglio di calcolo: Se ogni minuto di doccia consuma una portata fissa $c$, esprimi il consumo come il monomio $c \cdot t$. Modella il consumo giornaliero familiare sommando i monomi simili del tempo di ciascun membro (esempio: $3c + 5c + 4c = 12c$). Trasferisci i dati in un foglio di calcolo per proiettare il volume mensile in $\text{m}^3$ e la sua massa in tonnellate.

Consegna un breve rapporto con una proposta motivata per ridurre il consumo familiare di almeno il $15\,\%$.

Verranno valutati:

• Precisione nel cambio di unità di lunghezza, superficie, capacità e massa.

• Corretto uso del sistema sessagesimale nella misura del tempo.

• Espressione e somma adeguata dei monomi per modellizzare il consumo.

• Coerenza e rigore della proposta finale a partire dai dati ottenuti.