Proprietà delle potenze

Nella ludoteca della scuola, i giochi da tavolo sono organizzati negli scaffali. Se abbiamo un'espressione in forma di potenza come $7^{3}$, indica qual è il numero che funge da base e quale da esponente. Spiega brevemente quale operazione dovresti fare per calcolarne il valore (senza bisogno di dare il risultato finale).

Un noto social network mostra le foto del profilo degli utenti in una griglia quadrata. Se il muro di foto di Lucia ha $5$ foto in larghezza e $5$ foto in altezza, quante foto ha in totale? Esprimi il risultato prima come moltiplicazione di due fattori uguali, poi in forma di potenza e infine calcola il valore totale.

Calcola mentalmente le seguenti potenze particolari. Ricorda le regole per gli esponenti $0$ e $1$:

1. a) $15^{1} =$
2. b) $8^{0} =$
3. c) $1^{25} =$
4. d) $10^{1} =$
5. e) $2024^{0} =$

In un videogioco, ogni volta che passi di livello, i tuoi punti vengono moltiplicati per $10$. Se hai superato $4$ livelli e il punteggio si scrive $10^{4}$, quanti punti hai in totale? Scrivi il numero con tutte le sue cifre e spiega quanti zeri hai aggiunto.

Applica la proprietà del prodotto di potenze con la stessa base per scrivere le seguenti espressioni come un'unica potenza (non è necessario calcolare il valore finale):

1. a) $3^{2} \cdot 3^{4} =$
2. b) $5^{3} \cdot 5^{3} =$
3. c) $a^{2} \cdot a^{5} =$
4. d) $10^{2} \cdot 10 \cdot 10^{3} =$ (Suggerimento: quando un numero non ha esponente, è come se avesse un $1$).

Utilizza la proprietà del quoziente di potenze con la stessa base per semplificare queste operazioni in un'unica potenza:

1. a) $7^{5} : 7^{2} =$
2. b) $10^{8} : 10^{6} =$
3. c) $\frac{4^{9}}{4^{7}} =$
4. d) $m^{10} : m^{9} =$

In una verifica di Matematica, Lucia deve semplificare l'operazione $3^4 \cdot 3^2$ e ridurla a un'unica potenza. Sul suo foglio ha scritto: «$3^4 \cdot 3^2 = 9^6$, perché moltiplico le basi ($3 \cdot 3 = 9$) e sommo gli esponenti ($4 + 2 = 6$)».

1. a) Individua l'errore commesso da Lucia e quale parte del suo ragionamento è invece corretta.
2. b) Spiega con parole tue, sviluppando il significato delle potenze come fattori che si ripetono, perché la base deve rimanere invariata quando si moltiplicano potenze con la stessa base.
3. c) Scrivi la soluzione corretta come un'unica potenza.

Un'azienda di spedizioni organizza i suoi pacchi in grandi contenitori cubici. Se in un contenitore entrano $6$ scatole in lunghezza, $6$ scatole in larghezza e $6$ scatole in altezza:

1. a) Esprimi il numero totale di scatole presenti in un contenitore sotto forma di potenza e calcola il risultato.
2. b) Se l'azienda ha in magazzino $6^2$ contenitori uguali, quante scatole ha in tutto? Esprimi il risultato come un'unica potenza.

Scrivi come un'unica potenza utilizzando la proprietà della potenza di una potenza:

1. a) $(2^{3})^{2} =$
2. b) $(5^{4})^{3} =$
3. c) $(10^{2})^{5} =$
4. d) $(x^{3})^{4} =$

Ti chiedono di calcolare mentalmente il valore dell'espressione $2^4 \cdot 5^4$.

1. a) Prima di eseguire operazioni su carta, fai una stima: il risultato finale avrà tre, quattro o cinque cifre? Spiega brevemente su cosa basi la tua previsione.
2. b) Applica la proprietà della potenza di un prodotto in senso inverso (cioè usando che $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$) per calcolare subito il valore esatto dell'espressione.
3. c) Verifica se la tua stima era corretta e spiega che relazione c'è tra l'esponente comune e la quantità di zeri del risultato finale.

Utilizza le proprietà delle potenze per semplificare la seguente espressione e ridurla a un'unica potenza di base $2$:

Ricorda di indicare i passaggi seguiti: prima opera dentro la parentesi, poi applica la potenza di una potenza e, infine, risolvi il quoziente.

Calcola le seguenti espressioni in due modi diversi per verificare che valgono le proprietà delle potenze:

• Modo A: Calcolando prima l'interno delle parentesi e poi la potenza.

• Modo B: Applicando la proprietà della potenza di un prodotto o di un quoziente.

1. a) $(2 \cdot 5)^3$
2. b) $(12 : 3)^2$
3. c) $(2^2 \cdot 3)^2$

Per semplificare l'espressione $(18^3 : 6^3) \cdot 3^5$ e ridurla a un'unica potenza, due studenti propongono strade diverse:

• Metodo 1 (Marco): Osserva che la parentesi contiene una divisione con lo stesso esponente ($3$), quindi esegue prima $(18 : 6)^3$ e poi moltiplica il risultato per $3^5$.

• Metodo 2 (Elena): Preferisce scomporre prima le basi in fattori primi ($18 = 2 \cdot 3^2$ e $6 = 2 \cdot 3$), applica le proprietà delle potenze a tutti i fattori e infine semplifica.

1. a) Applica il Metodo 1 di Marco passo dopo passo, indicando in ogni riga quale proprietà delle potenze stai utilizzando, e trova il risultato come un'unica potenza.
2. b) Spiega con argomentazioni perché il metodo di Marco è più rapido e riduce la probabilità di commettere errori di calcolo in questo caso.
3. c) Fai un esempio di operazione in cui il metodo di Marco non si possa applicare direttamente e sia necessario usare la scomposizione in fattori di Elena (per esempio, se le basi non fossero divisibili).

Applica le proprietà delle potenze ed esegui i cambi di base necessari per esprimere il risultato come un'unica potenza:

$\frac{2^5 \cdot (4^2)^3 \cdot 8}{2^8 \cdot 16}$

Ricorda che per operare con le proprietà della stessa base, devi prima scomporre i numeri $4$, $8$ e $16$ in potenze di base $2$.

Calcola le seguenti radici quadrate esatte pensando a quale numero moltiplicato per se stesso dà il radicando. Osserva l'esempio della figura: $\sqrt{25} = 5$ perché $5^{2} = 25$.

1. a) $\sqrt{16} =$

1. b) $\sqrt{49} =$

1. c) $\sqrt{81} =$

1. d) $\sqrt{100} =$

Trova il valore della lettera $x$ in ciascuna delle seguenti uguaglianze applicando le proprietà delle potenze:

1. a) $5^x \cdot 5^4 = 5^9$
2. b) $(3^2)^x = 3^6$
3. c) $10^7 : 10^x = 10^3$
4. d) $x^3 = 64$
5. e) $x^0 = 1$ (Indica quali valori $x$ non potrebbe assumere in questo caso).

Risolvi le seguenti operazioni combinate applicando correttamente la priorità delle operazioni e le proprietà delle potenze quando possibile:

1. a) $3^3 - \sqrt{49} + 2^2 \cdot (5 - 3)^2$
2. b) $(\sqrt{100} - 2^3)^2 + 4^0 \cdot 5$
3. c) $2^5 : 2^3 + \sqrt{81} \cdot 3 - 1^{15}$

Il cortile di una scuola ha forma quadrata e una superficie totale di $225 m^2$. Il personale addetto alla manutenzione vuole circondarlo con un nastro di segnalazione per un'attività sportiva, lasciando però uno spazio libero di $2$ metri per un cancello su uno dei lati.

1. a) Quanto misura il lato del cortile? (Usa la radice quadrata).
2. b) Quanti metri di nastro devono comprare?

Trova il valore dell'esponente incognito $x$ nelle seguenti uguaglianze applicando le proprietà delle potenze:

1. a) $3^x \cdot 9^2 = 3^7$
2. b) $(5^3)^x : 125 = 5^9$
3. c) $2^4 \cdot 4^x \cdot 8 = 2^{11}$

Calcola il valore della seguente espressione rispettando la priorità delle operazioni e applicando le proprietà delle potenze quando possibile:

$10^2 : [5^2 \cdot (2^5 : 2^3)] + \sqrt{144} \cdot (3^2 - 2^3)$

Nel mondo dell'informatica, le capacità di archiviazione si esprimono di solito in potenze di base $10$. Un disco rigido esterno ha una capacità di $10^3$ gigabyte ($GB$). Se ogni gigabyte contiene $10^3$ megabyte ($MB$), e ogni megabyte ha $10^6$ byte:

1. a) Esprimi la capacità totale del disco rigido in byte utilizzando un'unica potenza di $10$.
2. b) Quante foto da $10^6$ byte ciascuna entrerebbero nel disco rigido? Esprimi il risultato come potenza.

Una sfida solidale della scuola si diffonde a catena. All'inizio la propongono $3$ studenti. Ognuno di loro la propone ad altre $3$ persone nuove, e così via nei diversi livelli di diffusione.

1. a) Quante persone avranno ricevuto la sfida al quinto livello? Esprimilo come potenza e calcola il valore.
2. b) Se al livello $n$ l'hanno ricevuta $243$ persone, qual è il valore di $n$?
3. c) Esprimi il prodotto del terzo livello per il quarto livello come un'unica potenza.

In un torneo regionale scolastico di basket 3x3 organizzato a Bologna partecipano $2^6$ squadre. Il campionato si svolge a eliminazione diretta: in ogni turno le squadre giocano a coppie, in modo che solo le vincitrici passino alla fase successiva (in ogni turno il numero di squadre partecipanti si divide per $2$).

1. a) Esprimi, mediante una divisione di potenze con la stessa base, quante squadre rimarranno in gara dopo $4$ turni eliminatori. Applica le proprietà delle potenze per semplificare l'espressione a un'unica potenza di base $2$ e calcola quante squadre rimangono.
2. b) Per proclamare la squadra campione deve rimanere esattamente $1$ squadra. Utilizza la proprietà del quoziente di potenze con la stessa base e la definizione di esponente zero ($2^0 = 1$) per dedurre quanti turni eliminatori si disputeranno in totale fino alla fine del torneo.

Nel mondo dell'informatica, le unità di misura crescono in potenze di base $2$. Sappiamo che $1 \text{ Kilobyte (KB)} = 2^{10} \text{ byte}$. Se un server di una scuola ha una capacità di archiviazione di $64 \text{ KB}$ e vogliamo ampliarlo installando $4$ schede di memoria aggiuntive, ciascuna con una capacità di $16 \text{ KB}$:

1. a) Esprimi la capacità totale finale del server sotto forma di un'unica potenza di base $2$.
2. b) Quante volte è maggiore la capacità finale rispetto a quella iniziale? (Esprimi il risultato come potenza).

Un astronomo osserva due galassie. La galassia A si trova a una distanza di $3^8 \text{ km}$ dalla Terra e la galassia B si trova a una distanza di $27^3 \text{ km}$.

1. a) Quale delle due galassie è più lontana da noi? Giustifica la risposta utilizzando potenze con la stessa base.
2. b) Se la luce percorre circa $3 \cdot 10^5 \text{ km}$ in un secondo, quanti secondi impiegherebbe la luce della galassia A ad arrivare sulla Terra? (Lascia il risultato espresso come operazione tra potenze).

Un video di TikTok diventa virale. Inizialmente lo condividono $2$ persone. Ogni ora che passa, il numero di persone che l'hanno condiviso raddoppia.

1. a) Quante persone avranno condiviso il video dopo $10$ ore? Esprimi il risultato come potenza e come numero naturale.
2. b) Se vogliamo rappresentare il numero totale di persone in notazione scientifica dopo $20$ ore, quale sarebbe il valore approssimato se $2^{10} \approx 10^3$?

Un cortile quadrato è pavimentato con piastrelle anch'esse quadrate. Il numero totale di piastrelle è il risultato dell'espressione:

$N = \sqrt{5^2 - 3^2} \cdot \sqrt{25 \cdot 4 \cdot 10^2}$

1. a) Calcola il valore di $N$ (numero totale di piastrelle).
2. b) Quante piastrelle ci sono su ogni lato del cortile?
3. c) Se ogni piastrella misura $40 \text{ cm}$ di lato, qual è la superficie totale del cortile in metri quadrati?

Utilizza la scomposizione in fattori primi per calcolare la radice quadrata esatta dei seguenti numeri in forma semplificata:

1. a) $\sqrt{2^4 \cdot 3^6 \cdot 5^2}$
2. b) $\sqrt{1296}$ (Suggerimento: scomponi prima in fattori il numero).
3. c) $\sqrt{\frac{10^4 \cdot 2^2}{25}}$

In un centro di ricerca marina si analizza la riproduzione cellulare di un'alga microscopica. Il gruppo modellizza il processo e ottiene la seguente uguaglianza con due esponenti incogniti, $a$ e $b$:

1. a) Scomponi i numeri $4$ e $8$ in potenze di base $2$ e applica le proprietà della potenza di una potenza, del prodotto e del quoziente di potenze con la stessa base per ridurre tutto il membro di sinistra a un'unica potenza di base $2$.
2. b) Deduci la relazione numerica che devono soddisfare gli esponenti $a$ e $b$ affinché l'uguaglianza sia valida.
3. c) Trova due coppie distinte di numeri naturali $(a, b)$, entrambi maggiori di zero, che soddisfano tale condizione. Scegli una delle due coppie e verifica passo dopo passo che l'uguaglianza è valida.

Si vuole sapere quale di questi due numeri è maggiore senza calcolare i loro enormi sviluppi numerici: $A = 2^{60}$ e $B = 3^{40}$.

In classe emergono due posizioni diverse:

• Davide afferma: «$A$ è maggiore di $B$ perché il suo esponente è $60$ e quello di $B$ è solo $40$. Più grande è l'esponente, più grande è sempre il risultato».

• Sara ribatte: «Non è sempre vero quando le basi sono diverse. Però possiamo trasformare entrambe le potenze usando la proprietà della potenza di una potenza in modo che abbiano lo stesso esponente e confrontarle con sicurezza».

1. a) Dimostra che l'affermazione di Davide è falsa proponendo un semplice controesempio con numeri piccoli (scrivi due potenze in cui quella con l'esponente minore abbia un valore numerico maggiore di quella con l'esponente maggiore).
2. b) Aiuta Sara: calcola il massimo comune divisore degli esponenti $60$ e $40$ ed esprimi $2^{60}$ e $3^{40}$ nella forma $(a^m)^k$, in modo che entrambe risultino elevate allo stesso esponente comune $k$.
3. c) Risolvi le potenze interne delle basi ottenute nel punto precedente e giustifica con rigore quale dei due numeri originali, $A$ o $B$, è il maggiore.