Frazioni equivalenti

Verifica se le seguenti frazioni sono equivalenti utilizzando il metodo dei prodotti in croce:

Mostra i calcoli svolti.

Luca ha spezzato una tavoletta di cioccolato in $12$ quadratini uguali e ne ha mangiati $4$. La sua amica Sofia ha una tavoletta uguale ma spezzata in soli $3$ grandi pezzi. Quanti pezzi dovrebbe mangiare Sofia per aver mangiato la stessa quantità di cioccolato di Luca? Esprimilo usando le frazioni equivalenti.

Nella figura, i quadratini colorati sono quelli che ha mangiato Luca. La tavoletta di Sofia non è colorata.

Due amici, Marco e Lucia, stanno confrontando quanto sono avanzati nella lettura dello stesso libro. Marco dice di aver letto $\frac{3}{4}$ del totale, mentre Lucia afferma di aver completato $\frac{9}{12}$ delle pagine. Utilizza la rappresentazione grafica per verificare se entrambi hanno letto la stessa proporzione del libro e giustifica la risposta mediante il prodotto in croce.

Calcola il valore del numero mancante affinché la seguente coppia di frazioni sia equivalente:

Ottieni tre frazioni equivalenti a $\frac{2}{7}$ per amplificazione. Per farlo, moltiplica numeratore e denominatore per $2$, per $3$ e per $10$.

In un videogioco, la barra dell'energia di un personaggio è divisa originariamente in $8$ segmenti uguali. Se il personaggio ha attualmente $\frac{6}{8}$ della sua energia, quanti segmenti sarebbero pieni se decidessimo di dividere la stessa barra in $24$ parti più piccole? Scrivi la corrispondente frazione equivalente.

Nella figura, la barra in alto è quella originale (con $6$ segmenti pieni su $8$) e quella in basso è la stessa barra divisa in $24$ parti uguali, ancora non colorate.

Per preparare un frullato di frutta, una ricetta indica che servono $\frac{2}{5}$ di litro di latte. Se hai a disposizione solo un misurino graduato in millilitri ($1$ litro = $1000$ ml), quale frazione con denominatore $1000$ sarebbe equivalente a $\frac{2}{5}$? Quanti millilitri di latte devi versare esattamente?

Semplifica la seguente frazione fino a ottenere la sua frazione ridotta ai minimi termini:

Indica per quale numero hai diviso il numeratore e il denominatore a ogni passaggio.

In una squadra di pallacanestro, $6$ dei $15$ giocatori sono mancini.

1. a) Scrivi la frazione di giocatori mancini.
2. b) Quale delle seguenti frazioni è equivalente alla precedente?

• $\frac{1}{3}$

• $\frac{2}{5}$

• $\frac{3}{10}$

Ottieni la frazione ridotta ai minimi termini delle seguenti espressioni utilizzando il metodo delle divisioni successive o calcolando il Massimo Comune Divisore ($M.C.D.$):

1. a) $\dfrac{120}{180}$

1. b) $\dfrac{45}{105}$

1. c) $\dfrac{256}{512}$

Dalla seguente lista di frazioni, raggruppa quelle che sono equivalenti tra loro:

$\dfrac{1}{3}, \dfrac{5}{10}, \dfrac{2}{6}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{4}{12}, \dfrac{3}{6}, \dfrac{10}{30}, \dfrac{7}{14}$

In una gara di robotica, il robot di Irene ha completato $\frac{18}{24}$ del percorso, mentre quello di Alessandro ne ha completato $\frac{25}{30}$.

1. a) Semplifica entrambe le frazioni fino a ridurle ai minimi termini per sapere quale robot è in vantaggio.
2. b) Irene afferma che, se il suo robot percorre un ulteriore tratto equivalente a $\frac{1}{12}$ del totale, le frazioni dei due robot diventeranno equivalenti. La sua affermazione è vera? Dimostralo matematicamente.

Osserva la seguente figura e determina quale frazione rappresenta la parte ombreggiata. Poi scrivi una frazione equivalente che abbia come denominatore il numero $16$.

Osserva la posizione del punto $P$ sulla retta numerica. Quale frazione rappresenta? Scrivi una frazione equivalente ad essa il cui denominatore sia $10$.

Matteo sta cercando una frazione equivalente a $\frac{2}{5}$ il cui denominatore sia $15$. Sul suo quaderno ha scritto: «Per passare dal denominatore $5$ al $15$, devo sommare $10$. Quindi anche al numeratore sommo $10$, così la frazione equivalente è $\frac{12}{15}$». Spiega con un ragionamento perché il procedimento di Matteo è errato, basandoti sul concetto di amplificazione. Poi correggi il suo errore, calcola la frazione equivalente corretta e dimostra formalmente che equivale a $\frac{2}{5}$ utilizzando la regola dei prodotti in croce.

Calcola il valore dell'incognita $x$ affinché le seguenti coppie di frazioni siano equivalenti:

1. a) $\dfrac{x}{15} = \dfrac{4}{5}$

1. b) $\dfrac{3}{7} = \dfrac{21}{x}$

1. c) $\dfrac{18}{x} = \dfrac{6}{11}$

Completa le seguenti catene di frazioni equivalenti:

1. a) $\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{\square} = \dfrac{\square}{15} = \dfrac{20}{\square}$

1. b) $\dfrac{60}{48} = \dfrac{30}{\square} = \dfrac{\square}{12} = \dfrac{5}{\square}$

Indica quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false, motivando la risposta sul quaderno:

1. a) Se moltiplichiamo il numeratore di una frazione per $2$ e il denominatore per $2$, otteniamo una frazione equivalente.

1. b) Sommando $3$ al numeratore e $3$ al denominatore della frazione $\frac{1}{2}$, otteniamo un'altra frazione equivalente.

1. c) La frazione $\frac{17}{13}$ è ridotta ai minimi termini perché sia il numeratore sia il denominatore sono numeri primi.

Trova il valore dell'incognita $n$ in ciascuna delle seguenti uguaglianze affinché le frazioni siano equivalenti, sapendo che $n$ deve essere un numero intero positivo:

1. a) $\frac{n+2}{12} = \frac{15}{18}$

1. b) $\frac{8}{n-3} = \frac{32}{40}$

1. c) $\frac{3}{7} = \frac{n^2}{21}$

In un sondaggio sulla mobilità sostenibile svolto in una scuola, $18$ dei $40$ alunni di una classe prima della scuola media affermano di andare a scuola a piedi o in bicicletta.

1. a) Prima di fare qualsiasi calcolo esatto, stima con un ragionamento se questa proporzione rappresenta più della metà, meno della metà o esattamente la metà della classe, prendendo come riferimento la frazione $\frac{1}{2}$.
2. b) Semplifica la frazione $\frac{18}{40}$ fino a ridurla ai minimi termini e verifica se la tua stima iniziale era corretta.
3. c) Se in tutto il livello di prima media ci sono $200$ studenti e si mantenesse esattamente la stessa proporzione, quanti alunni andrebbero a piedi o in bicicletta? Verifica che la nuova frazione ottenuta sia equivalente a quella ridotta applicando i prodotti in croce.

Dai dati pubblicati dall'istituto meteorologico sulla primavera in due zone agricole italiane, si sa che nella zona A è piovuto $36$ giorni su un totale di $90$ giorni osservati, mentre nella zona B è piovuto $24$ giorni in un periodo di $60$ giorni registrati.

1. a) Imposta la frazione dei giorni piovosi rispetto al totale dei giorni in ciascuna delle due zone.
2. b) Senza calcolare i numeri decimali associati, dimostra mediante la regola dei prodotti in croce se la frequenza relativa dei giorni di pioggia è stata esattamente equivalente nelle due zone.
3. c) Calcola la frazione ridotta ai minimi termini che le due zone hanno in comune dividendo numeratore e denominatore per il loro M.C.D. e spiega quale significato pratico hanno il numeratore e il denominatore di questa frazione per un agricoltore della zona.

Due studenti devono scoprire se le frazioni $\frac{72}{108}$ e $\frac{60}{90}$ rappresentano esattamente la stessa quantità, ma non sono d'accordo su come verificarlo:

• Sofia propone di verificarlo direttamente mediante i prodotti in croce ($72 \cdot 90$ e $108 \cdot 60$).

• Alessandro preferisce semplificare ogni frazione dividendo i suoi termini per il Massimo Comune Divisore (M.C.D.) per confrontarle nella forma ridotta ai minimi termini.

1. a) Applica il procedimento di Sofia e determina se sono equivalenti.
2. b) Applica il procedimento di Alessandro calcolando il M.C.D. di ciascuna frazione e trovando le frazioni ridotte ai minimi termini.
3. c) Confronta i due percorsi: quale dei due metodi ritieni più sicuro e vantaggioso se devi fare i calcoli a mano e senza calcolatrice? Giustifica la risposta analizzando che cosa succede alla dimensione delle operazioni in ciascun caso.

In un laboratorio di grafica si confrontano due formati di immagine. Il primo formato occupa i $\frac{5}{8}$ della memoria di una scheda e il secondo occupa i $\frac{7}{12}$. Per un nuovo progetto serve trovare una frazione equivalente a ciascuna di esse che abbia come denominatore il minimo comune multiplo dei due denominatori. Una volta trovate, cerca un numero naturale $x$ tale che la frazione $\frac{x}{48}$ si trovi esattamente tra le due frazioni originali.

Tre amici, Lucia, Marco e Sofia, hanno comprato un terreno rettangolare per coltivare un orto urbano. Lucia si tiene $\frac{2}{5}$ del terreno, Marco $\frac{4}{15}$ e Sofia il resto.

1. a) Calcola la frazione ridotta che spetta a Sofia.
2. b) Trova una frazione equivalente alla parte di Sofia il cui numeratore sia il doppio del numeratore della parte di Marco.
3. c) Se il terreno totale misura $300$ metri quadrati, è vero che la parte di Marco equivale ad avere $20$ pezzi da $\frac{4}{1}$ metri quadrati ciascuno? Motiva la risposta.

Un architetto divide una grande vetrata rettangolare in $8$ sezioni uguali (disposte su due file da quattro). Tre di queste sezioni sono ombreggiate e rappresentano la parte con vetro colorato. Determina:

1. a) Quale frazione ridotta ai minimi termini del totale rappresenta la zona ombreggiata?
2. b) Trova una frazione equivalente alla precedente il cui denominatore sia uguale al denominatore della frazione ridotta ottenuta al punto precedente moltiplicato per $3$.

Abbiamo una frazione misteriosa. Sappiamo che è equivalente a $\frac{45}{105}$. Inoltre valgono i seguenti indizi:

1. Il suo numeratore è un numero di due cifre multiplo di $6$.

2. Se sommiamo numeratore e denominatore, il risultato è un numero minore di $100$.

Quali frazioni soddisfano tutti gli indizi? Trovale tutte e indica i passaggi svolti.

Si vuole costruire una catena di frazioni equivalenti a partire da $\frac{12}{16}$.

1. a) Scrivi la frazione ridotta ai minimi termini della catena.
2. b) Trova il termine mancante nella seguente uguaglianza: $\frac{12}{16} = \frac{x}{x+5}$. (Suggerimento: usa la proprietà per cui, in frazioni equivalenti, i prodotti in croce sono uguali).
3. c) Se moltiplichiamo il numeratore della frazione ridotta per un numero primo $p$ e il denominatore per il numero primo successivo, la nuova frazione ottenuta potrebbe essere equivalente a quella originale? Giustifica la risposta con un esempio.

Un'azienda di succhi utilizza due contenitori diversi. Il contenitore A è pieno per i $\frac{3}{4}$ della sua capacità e il contenitore B per i $\frac{12}{16}$ della sua.

1. a) Dimostra graficamente e mediante i prodotti in croce se le frazioni di riempimento sono equivalenti.

1. b) Se il contenitore A ha una capacità di $2$ litri e il contenitore B ha una capacità di $1,5$ litri, contengono la stessa quantità di succo in litri? Rappresentano ancora la stessa proporzione rispetto ai propri contenitori? Spiega la differenza tra "frazione equivalente" e "quantità assoluta".

Trova una frazione sconosciuta a partire dai seguenti indizi sui suoi termini (entrambi numeri naturali):

1. La frazione non è ridotta ai minimi termini; il suo denominatore supera il numeratore di $24$ unità.

2. La somma del suo numeratore e del suo denominatore è uguale a $96$.

3. Semplificandola fino alla forma ridotta ai minimi termini, la somma dei nuovi termini è uguale a $8$.

1. a) Imposta le relazioni precedenti per ricavare il valore del numeratore e del denominatore della frazione originale non semplificata.
2. b) Ottieni la sua frazione ridotta ai minimi termini dividendo i suoi termini per il M.C.D. e verifica che soddisfi la terza condizione.
3. c) Determina quale fu il fattore esatto per cui è stata amplificata la frazione ridotta per ottenere la frazione iniziale e giustifica, a partire dalla riduzione a denominatore comune, perché le due frazioni rappresentano rigorosamente la stessa parte dell'unità.

In un controllo di qualità sul servizio ferroviario suburbano di Trenitalia si analizzano i ritardi su due linee durante un trimestre:

• Sulla linea C-1 sono stati controllati $140$ convogli, dei quali $119$ sono arrivati puntuali a destinazione.

• Sulla linea C-2 sono stati controllati $260$ convogli, dei quali $221$ sono arrivati in orario.

1. a) Dimostra mediante l'uguaglianza dei prodotti in croce se le due linee hanno avuto lo stesso livello di puntualità.
2. b) Riduci la proporzione di puntualità alla sua frazione ridotta ai minimi termini utilizzando il M.C.D. e interpreta che cosa rappresentano i due numeri per una persona che viaggia abitualmente su quei treni.
3. c) Per il prossimo trimestre, su una terza linea (C-3) è previsto l'impiego di un totale di $450$ treni.

1. Giustifica matematicamente perché è impossibile che la linea C-3 registri esattamente la stessa proporzione ridotta di puntualità delle linee C-1 e C-2 se tutti i treni devono essere considerati unità intere.

2. Se si controllassero $500$ treni invece di $450$, quanti treni in ritardo al massimo ci si potrebbe permettere per uguagliare la proporzione di puntualità delle linee precedenti? Giustifica il ragionamento mediante l'amplificazione di frazioni.