Quadrilateri

A lezione di disegno tecnico, un alunno ha tracciato un quadrilatero e ha misurato tre dei suoi angoli interni: $110^\circ$, $70^\circ$ e $110^\circ$.

1. a) Sapendo che la somma degli angoli di qualsiasi quadrilatero è sempre la stessa, quanto deve misurare il quarto angolo?
2. b) Se i lati opposti sono uguali a due a due, di quale figura si tratta?

A lezione di Arte e immagine, Alessandro sta costruendo una cornice di legno a forma di quadrilatero per una stampa artistica. Con il goniometro ha misurato tre degli angoli interni della cornice: $75^\circ$, $110^\circ$ e $85^\circ$. Per scoprire quale misura deve avere il quarto angolo interno, Alessandro scrive sul quaderno:

$$\hat{D} = 180^\circ - (75^\circ + 110^\circ + 85^\circ) = 180^\circ - 270^\circ = -90^\circ$$

Ottenendo un risultato negativo, si accorge che qualcosa non va.

1. a) Individua l'errore concettuale di Alessandro: con quale altra figura geometrica ha confuso la proprietà della somma degli angoli interni e qual è la somma corretta in un qualsiasi quadrilatero?
2. b) Correggi la sua impostazione e calcola la misura esatta che deve avere il quarto angolo.

Progetta tu stesso le misure dei quattro angoli interni di un quadrilatero che soddisfi contemporaneamente tutte queste condizioni:

1. La somma dei suoi quattro angoli interni deve essere quella corrispondente a un qualsiasi quadrilatero convesso.

2. Nessuno dei suoi quattro angoli può essere retto (nessuno può misurare esattamente $90^\circ$).

3. Non può essere un parallelogramma (cioè non può avere gli angoli opposti uguali a due a due).

Scrivi i quattro valori in gradi che hai scelto, verifica numericamente che sommano ciò che devono e giustifica con un ragionamento perché con quegli angoli è impossibile che la figura sia un parallelogramma.

Indica se le seguenti affermazioni sui parallelogrammi sono vere o false, giustificando brevemente la risposta:

1. Ogni quadrato è anche un rettangolo perché ha 4 angoli retti.

2. Un rombo è un quadrato perché ha i suoi 4 lati uguali.

3. Il parallelogramma non ha le diagonali uguali.

Lo schermo di un nuovo modello di smartphone ha forma rettangolare. Il produttore indica che la sua base misura $7\text{ cm}$ e la sua altezza è di $15\text{ cm}$.

1. a) Calcola il perimetro dello smartphone (la lunghezza della cornice metallica che circonda lo schermo).
2. b) Se vogliamo applicare una pellicola protettiva che copra tutta la superficie, qual è l'area di tale pellicola in $\text{cm}^2$?

In un laboratorio di grafica, Marco sta creando un logo a forma di parallelogramma non regolare (romboide). Se uno degli angoli interni del parallelogramma misura $65^\circ$, calcola, con ragionamento, la misura degli altri tre angoli del logo.

Un'azienda di telefonia vuole progettare lo schermo di un nuovo modello di smartphone a forma di rettangolo. Il progettista ha stabilito che la base deve misurare il doppio dell'altezza. Se il perimetro totale dello schermo deve essere $36\text{ cm}$, quali saranno le dimensioni (base e altezza) dello schermo?

In un parallelogramma, la somma di due dei suoi angoli opposti è $130^\circ$.

1. Quanto misura ciascuno di questi due angoli?

2. Quanto misurano gli altri due angoli restanti del parallelogramma?

3. Se il lato maggiore del parallelogramma misura $12 \text{ cm}$ e il perimetro è di $38 \text{ cm}$, quanto misura il lato minore?

Stiamo progettando il logo per una nuova squadra di eSports. Il logo principale ha la forma del quadrilatero che vedi nel disegno. Osserva i suoi lati e angoli, e rispondi:

1. a) Come si chiama in modo preciso questo quadrilatero?
2. b) A quale gruppo appartiene: parallelogrammi, trapezi o trapezoidi? Giustifica la risposta osservando il parallelismo dei suoi lati.

Il piano di un banco di scuola ha la forma di un quadrilatero. Se osservi bene, ha due lati paralleli di lunghezza diversa e gli altri due lati uguali tra loro.

1. a) Come si classifica questo quadrilatero?
2. b) È un parallelogramma? Spiega perché.

La sezione trasversale di una nuova rampa da skate ha la forma di un trapezio isoscele. Sappiamo che la base minore misura $3\text{ m}$, la base maggiore misura $7\text{ m}$ e gli angoli che la base maggiore forma con i lati obliqui sono di $72^\circ$. Indica quanto misurano i due angoli della parte superiore e giustifica la risposta basandoti sulle proprietà dei trapezi.

In una verifica di geometria, a Lucia viene chiesto di calcolare l'angolo mancante di un aquilone di carta che ha la forma di un trapezoide simmetrico (deltoide). Gli angoli diversi misurano $110^\circ$ (quello superiore) e $40^\circ$ (quello inferiore). Se gli altri due angoli sono uguali tra loro, quanto misura ciascuno di essi? Ricorda di usare la proprietà della somma degli angoli interni di un quadrilatero.

Nella costruzione di una rampa per uno skatepark si usa una struttura a forma di trapezio rettangolo. L'angolo ottuso della struttura misura $125^\circ$. Calcola la misura di tutti gli angoli interni di questo trapezio e giustifica la risposta basandoti sulle proprietà delle rette parallele tagliate da una trasversale.

Osserva le diagonali dei seguenti quadrilateri. Una delle proprietà più importanti è se queste sono perpendicolari (formano $90^\circ$) e se si incontrano nel loro punto medio.

Individua quale di questi disegni rappresenta le diagonali di un rombo e quale quelle di un rettangolo. Giustifica la tua scelta.

Disegna sul quaderno un quadrato di lato $4\text{ cm}$, come quello della figura.

1. a) Traccia tutti i suoi assi di simmetria. Quanti ne hai trovati in totale?
2. b) Tutti gli assi si incontrano nello stesso punto? Come si chiama quel punto?

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Classifica i seguenti quadrilateri basandoti esclusivamente sulla descrizione delle loro diagonali:

• Figura A: Le sue diagonali hanno lunghezza diversa, sono perpendicolari e si incontrano nel loro punto medio.

• Figura B: Le sue diagonali sono uguali, non sono perpendicolari e si incontrano nel loro punto medio.

• Figura C: Le sue diagonali sono uguali, sono perpendicolari e si incontrano nel loro punto medio.

Un architetto sta progettando una finestra a forma di rombo. Perché la struttura sia stabile, ha collocato due listelli di legno che coincidono con le diagonali del rombo. La diagonale maggiore misura $160\text{ cm}$ e la diagonale minore misura $120\text{ cm}$. Incrociandosi, le diagonali dividono il rombo in quattro triangoli uguali.

1. Che tipo di triangoli sono? (in base ai loro angoli).

2. Se il lato del rombo misura $100\text{ cm}$, calcola il perimetro totale della finestra.

Scopri di quale quadrilatero stiamo parlando in ciascun caso basandoti sulle sue diagonali:

1. "Le mie diagonali sono uguali e si incontrano perpendicolarmente nel loro punto medio".

2. "Le mie diagonali sono uguali, si incontrano nel loro punto medio, ma non sono perpendicolari".

3. "Le mie diagonali non sono uguali, ma sono perpendicolari e si incontrano nel loro punto medio".

4. "Ho due lati paralleli e due diagonali uguali, ma non si incontrano nei loro punti medi".

Giustifica la risposta facendo un piccolo schema delle diagonali per ciascun caso.

Calcola l'area della zona ombreggiata della seguente griglia, sapendo che ogni quadretto misura $1\text{ cm}$ di lato. Per facilitare il calcolo, dividi la figura in un rettangolo e un triangolo.

Disegna sul quaderno un quadrilatero qualsiasi (trapezoide) che non abbia nessun lato parallelo. Individua il punto medio di ciascuno dei suoi quattro lati e uniscili seguendo l'ordine del contorno.

1. Quale figura geometrica particolare si forma sempre all'interno?

2. Se i lati del quadrilatero originale misurano $8\text{ cm}$, $10\text{ cm}$, $12\text{ cm}$ e $14\text{ cm}$, qual è il perimetro del quadrilatero originale?

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Osserva le seguenti affermazioni sui quadrilateri e di' se sono vere o false, giustificando la risposta:

1. "Un quadrato è, allo stesso tempo, un rettangolo e un rombo".

2. "Un trapezio rettangolo ha esattamente quattro angoli retti".

3. "In un parallelogramma, le diagonali sono uguali e perpendicolari".

4. "Qualsiasi parallelogramma ha due coppie di lati paralleli".

La copertura di un capannone industriale in una zona industriale di Bologna ha, vista di fronte, la forma di un trapezio isoscele. I due lati obliqui misurano esattamente lo stesso e la trave inferiore (base maggiore) è orizzontale e più larga della trave superiore (base minore). Si sa che i due angoli che i lati obliqui formano con la base inferiore misurano ciascuno $35^\circ$.

1. a) Prima di eseguire qualsiasi calcolo esatto, stima con ragionamento se gli altri due angoli (quelli formati con la base superiore) saranno acuti o ottusi, e spiega se ciascuno di essi dovrebbe misurare più o meno di $120^\circ$.
2. b) Calcola il valore esatto dei due angoli superiori basandoti sulla proprietà della somma degli angoli di un quadrilatero e sulla simmetria del trapezio isoscele.
3. c) Confronta il tuo calcolo esatto con la stima che hai fatto al punto a) e valuta se il tuo ragionamento visivo iniziale era corretto.

Un'azienda di piastrelle di Sassuolo progetta piastrelle a forma di parallelogramma (con lati consecutivi disuguali e senza angoli retti). Nel catalogo tecnico si specifica che il minore dei suoi angoli interni misura $50^\circ$. Per determinare la misura degli altri tre angoli, due progettisti seguono strade diverse:

• Strategia di Laura: Sa che i quattro angoli interni sommano $360^\circ$ e che gli angoli opposti sono uguali; quindi imposta l'equazione $2 \cdot 50^\circ + 2 \cdot \hat{B} = 360^\circ$ e ricava $\hat{B}$.

• Strategia di Matteo: Usa il fatto che i lati opposti sono paralleli, quindi due angoli consecutivi sono supplementari; calcola direttamente $\hat{B} = 180^\circ - 50^\circ$.

1. a) Applica separatamente entrambi i metodi per calcolare il valore dell'angolo $\hat{B}$ e verifica se danno lo stesso risultato.
2. b) Confronta i due percorsi: quale dei due richiede meno passaggi di calcolo e si basa in modo più diretto sulla definizione di parallelogramma? Giustifica la risposta spiegando perché gli angoli consecutivi sommano $180^\circ$.

Un'azienda di grafica sta creando un logo. Hanno disegnato un quadrilatero qualsiasi e hanno segnato i punti medi di ciascuno dei suoi lati. Unendo questi punti medi in ordine, si forma un nuovo quadrilatero all'interno.

1. Che tipo di quadrilatero si forma sempre all'interno, qualunque sia la forma di quello originale?

2. Se l'area del quadrilatero esterno è di $120 \text{ cm}^2$, qual è l'area della figura formata unendo i punti medi?

Lo schermo di un nuovo modello di smartphone ha forma rettangolare. Il produttore indica che il perimetro totale dello schermo è di $48 \text{ cm}$ e che la base misura esattamente il doppio dell'altezza.

1. Calcola le dimensioni (base e altezza) dello schermo.

2. Se si vuole applicare una pellicola protettiva che costa $0,50 \text{ €}$ per ogni $\text{cm}^2$ di superficie, quanto costerà proteggere l'intero schermo?

Un giardino quadrato di lato $20 \text{ metri}$ ha al centro una fontana anch'essa quadrata. Sappiamo che la distanza da qualsiasi lato del giardino al lato parallelo della fontana è di $6 \text{ metri}$.

1. Quanto misura il lato della fontana centrale?

2. Calcola l'area della zona di passeggio (la regione del giardino non occupata dalla fontana).

Un consorzio di bonifica della pianura padana gestisce un bacino di irrigazione la cui superficie ha forma di quadrilatero, con vertici consecutivi $A$, $B$, $C$ e $D$. Un rilievo topografico fornisce i seguenti dati sulle sue sponde:

• La sponda $AB$ è parallela alla sponda $CD$.

• Le sponde $BC$ e $DA$ non sono parallele tra loro.

• Nell'angolo $A$, il canale di ingresso entra ad angolo retto con la sponda $AB$, in modo che $\hat{A} = 90^\circ$.

• Nell'angolo $C$, il sensore di livello segna un angolo interno di $\hat{C} = 130^\circ$.

1. a) Classifica la forma geometrica del bacino con la massima precisione possibile (gruppo generale, tipo e sottotipo di quadrilatero), giustificando ogni termine a partire dai dati.
2. b) Calcola con un ragionamento la misura degli angoli interni nei vertici $B$ e $D$. Spiega su quali proprietà geometriche ti basi (parallelismo tra lati e somma degli angoli interni).
3. c) Un operaio afferma: «Poiché la sponda $AB$ è parallela a $CD$ e l'angolo in $A$ è di $90^\circ$, necessariamente anche l'angolo in $D$ deve essere di $90^\circ$». Dimostra se la sua affermazione è vera o falsa usando le proprietà delle rette parallele tagliate da una trasversale.

Durante un dibattito in classe su come classificare i quadrilateri a partire dalle loro diagonali, Sergio afferma con sicurezza:

1. «Qualsiasi quadrilatero le cui due diagonali siano perpendicolari tra loro è obbligatoriamente un rombo».

2. «Se, oltre a essere perpendicolari, le due diagonali sono esattamente della stessa lunghezza, la figura è sicuramente un quadrato».

Il tuo compito è analizzare con rigore geometrico entrambe le affermazioni:

1. a) Dimostra che la prima affermazione è falsa indicando e descrivendo un quadrilatero noto che abbia le diagonali perpendicolari ma non sia un rombo. Spiega quale condizione aggiuntiva devono soddisfare le diagonali rispetto al punto in cui si intersecano per garantire che sia un rombo.
2. b) Dimostra che anche la seconda affermazione è falsa descrivendo come costruire un quadrilatero che abbia le diagonali perpendicolari e uguali ma non sia un quadrato (pensa a cosa succede se le diagonali non si intersecano nel loro punto medio, come in un aquilone o in un trapezoide simmetrico).
3. c) Scrivi, in modo chiaro e completo, l'elenco delle condizioni che le diagonali di un quadrilatero devono soddisfare contemporaneamente per garantire che la figura sia un quadrato.