Rapporti dell'angolo somma di due angoli

Esprimi $\cos(x + \frac{\pi}{2})$ in funzione dei rapporti trigonometrici dell'angolo $x$ sviluppando la corrispondente formula di addizione e semplificando il risultato.

Calcola il valore esatto di $\sin(75^\circ)$ scomponendo l'angolo come somma di due angoli notevoli ($45^\circ$ e $30^\circ$).

Determina il valore esatto di $\cos(105^\circ)$ utilizzando la formula del coseno della somma, sapendo che $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$.

Trova il valore esatto di $\tan(75^\circ)$ applicando la formula della tangente della somma a partire dagli angoli di $45^\circ$ e $30^\circ$. Razionalizza il risultato se necessario.

Lucia deve calcolare il valore esatto di $\cos(105^\circ)$ senza calcolatrice e decide di scomporre l'angolo come somma di due angoli notevoli: $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$. Nel suo compito scrive il seguente svolgimento:

Rivedendo la prova corretta, nota che l'insegnante ha valutato l'esercizio con zero.

1. a) Senza fare calcoli analitici, ragiona geometricamente, in base alla posizione sulla circonferenza goniometrica, sul perché il risultato di Lucia ($\approx 0,97$) è impossibile per un angolo di $105^\circ$.
2. b) Individua e spiega con precisione l'errore concettuale o di formula commesso nella seconda uguaglianza del suo svolgimento.
3. c) Correggi il procedimento e ottieni il valore esatto semplificato di $\cos(105^\circ)$.

Semplifica la seguente espressione trigonometrica a un solo termine numerico esatto applicando le formule di addizione al contrario:

$\sin(22^\circ)\cos(8^\circ) + \cos(22^\circ)\sin(8^\circ)$

Riduci la seguente espressione a un valore numerico esatto:

$\cos(40^\circ)\cos(20^\circ) - \sin(40^\circ)\sin(20^\circ)$

Calcola in modo esatto il valore dell'espressione $\sin(15^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(15^\circ)\sin(30^\circ)$. Usa questo risultato geometrico per trovare l'area esatta di un parallelogramma i cui lati adiacenti misurano $8$ cm e $10$ cm, sapendo che l'angolo da essi formato è proprio la somma di $15^\circ$ e $30^\circ$.

Dimostra la seguente identità trigonometrica sviluppando il numeratore mediante la formula corrispondente e semplificando la frazione:

$\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha \cos\beta} = \tan\alpha + \tan\beta$

Sapendo che $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ e $\cos \beta = \frac{12}{13}$, e che sia $\alpha$ sia $\beta$ sono angoli acuti (appartenenti al primo quadrante), calcola il valore esatto di $\sin(\alpha + \beta)$.

Dati due angoli $\alpha$ e $\beta$ tali che $\tan \alpha = 3$ e $\tan \beta = 2$, determina il valore esatto di $\tan(\alpha + \beta)$.

Dati gli angoli $\alpha$ e $\beta$ tali che $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ con $\alpha \in [\frac{\pi}{2}, \pi]$ e $\cos \beta = \frac{5}{13}$ con $\beta \in [\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$, calcola il valore esatto di $\cos(\alpha + \beta)$.

Un topografo osserva la sommità di un edificio con un angolo di elevazione $\alpha$, con $\cos \alpha = \frac{4}{5}$. Dietro questo edificio, sulla stessa linea visuale, c'è una torre di telecomunicazioni. L'angolo di elevazione aggiuntivo dalla sommità dell'edificio fino alla punta della torre, misurato a partire dalla visuale precedente, è $\beta$, con $\sin \beta = \frac{7}{25}$. Sapendo che entrambi gli angoli sono acuti, calcola il valore esatto del coseno dell'angolo totale di elevazione $\alpha + \beta$ verso la punta della torre.

In un progetto di ingegneria solare, un pannello fotovoltaico ha un'inclinazione iniziale $\alpha$ tale che $\tan \alpha = \frac{3}{4}$. Per ottimizzare la captazione in inverno, un meccanismo aumenta l'inclinazione di un angolo aggiuntivo di $15^\circ$. Calcola il valore esatto di $\tan(\alpha + 15^\circ)$ senza usare approssimazioni decimali, sapendo che $\tan(15^\circ) = 2 - \sqrt{3}$.

Sapendo che $\tan \alpha = \frac{1}{2}$ e che la tangente dell'angolo somma è $\tan(\alpha + \beta) = 3$, determina il valore esatto di $\tan \beta$ impostando l'equazione corrispondente a partire dalla formula di addizione.

Risolvi l'equazione trigonometrica $\sin(x + 30^\circ) = 2\cos x$ per l'intervallo $x \in [0^\circ, 360^\circ)$. Esprimi le soluzioni in forma esatta in gradi.