Disposizioni

In una gara dei $100\text{ m}$ metri piani partecipano $8$ atleti. In quanti modi diversi si possono assegnare le medaglie d'oro, d'argento e di bronzo, sapendo che non ci possono essere ex aequo?

In una galleria d'arte si devono esporre $2$ quadri scelti da una collezione privata di $7$ opere. Uno sarà collocato sulla parete sinistra della sala e l'altro sulla parete destra. In quanti modi diversi si può organizzare questa esposizione?

Un gruppo di lettura ha $9$ membri. Devono eleggere un direttivo formato da un presidente, un vicepresidente e un segretario. Poiché le cariche sono diverse e ogni persona può ricoprirne una sola, in quanti modi si può formare il direttivo?

Lanciamo un dado cubico tradizionale a $6$ facce $4$ volte consecutive e annotiamo in ordine il risultato di ogni lancio. Quanti risultati diversi possiamo ottenere in totale?

Vogliamo dipingere $3$ cassette della posta allineate lungo una strada. Abbiamo a disposizione $4$ colori diversi (rosso, verde, blu e giallo). Se possiamo ripetere i colori su cassette diverse, in quanti modi diversi possiamo dipingerle?

Il sistema di targhe di un paese è formato da un blocco di $4$ cifre (da $0$ a $9$) seguito da un blocco di $2$ lettere scelte da un alfabeto di $20$ consonanti. In entrambi i blocchi è consentita la ripetizione dei caratteri. Quante targhe diverse si possono emettere in totale con questo formato?

Utilizzando le cifre $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$, quanti numeri pari di $3$ cifre si possono formare se non è consentito ripetere nessuna cifra nello stesso numero?

Quanti numeri di $4$ cifre si possono formare con le cifre $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ (con possibilità di ripetere le cifre) che siano strettamente maggiori di $3000$?

Per accedere a una banca dati sicura è richiesta una password di $5$ caratteri. Per sicurezza, il sistema richiede che i primi due caratteri siano vocali (possono ripetersi) e che gli ultimi tre caratteri siano numeri da $0$ a $9$ (senza ripetizioni). Quante password diverse rispettano questo formato?

Il dipartimento di informatica di una scuola sta creando identificativi temporanei di accesso per gli studenti. I codici si generano ordinando $k$ cifre distinte prese dall'insieme dei numeri dispari $\{1, 3, 5, 7, 9\}$, senza ripetere nessuna cifra all'interno dello stesso codice.

1. a) Se il server ha registrato esattamente $60$ identificativi possibili in totale, imposta un'equazione usando la definizione di disposizione semplice in cui l'incognita sia la lunghezza $k$ del codice, e trova con ragionamento il suo valore.
2. b) Se le norme di sicurezza cambiassero e ora fosse consentito ripetere le cifre mantenendo la stessa lunghezza $k$ trovata nel punto precedente, quanti codici in totale si potrebbero creare? Confronta i due risultati calcolando quanti identificativi in più si ottengono e spiega perché la ripetizione aumenta le possibilità.

In un torneo di scacchi si gioca con girone di andata e ritorno (ogni giocatore affronta tutti gli altri due volte, alternando il colore dei pezzi). Se si sa che in totale sono state disputate $90$ partite, imposta l'equazione corrispondente usando la formula delle disposizioni e trova quanti giocatori hanno partecipato al torneo.

Sapendo che il numero di disposizioni con ripetizione di $x$ elementi presi $2$ a $2$ supera di $12$ il numero di disposizioni semplici degli stessi $x$ elementi presi $2$ a $2$, imposta l'equazione corrispondente e trova il valore di $x$.