Valore assoluto

Calcola il valore numerico delle seguenti espressioni utilizzando la definizione di valore assoluto:

1. a) $|-12,5|$

1. b) $|7 - 15|$

1. c) $|\pi - 4|$

1. d) $|1 - \sqrt{2}|$

La temperatura in una città della pianura padana alle 6:00 del mattino era di $-3\,^\circ C$, mentre alle 15:00 è salita fino a $14\,^\circ C$. Utilizza il concetto di valore assoluto per esprimere e calcolare la distanza termica (la differenza di gradi) tra le due misure.

Nella figura puoi vedere le due temperature collocate sulla retta dei gradi.

1. a) Scrivi, usando il valore assoluto, l'espressione che dà la distanza tra le due temperature.

1. b) Calcola il suo valore e interpretalo nel contesto del problema.

Trova i valori di $x$ che soddisfano le seguenti uguaglianze:

1. a) $|x| = 8$

1. b) $|x - 3| = 5$

1. c) $|x + 2| = 0$

Calcola i valori di $x$ che soddisfano la seguente equazione:

Risolvi la seguente equazione con valori assoluti nidificati e rappresenta le soluzioni sulla retta reale:

Puoi usare come supporto la seguente retta numerica, sulla quale devi segnare tu le soluzioni che ottieni:

Rappresenta sulla retta reale e scrivi sotto forma di intervallo i valori di $x$ che verificano la seguente disuguaglianza:

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Associa ciascuna delle seguenti espressioni con valore assoluto al suo intervallo corrispondente:

1. $|x| < 3$

2. $|x - 1| \le 2$

3. $|x + 2| < 1$

Intervalli: $A = [-1, 3] \quad B = (-3, 3) \quad C = (-3, -1)$

Risolvi la seguente disequazione con valore assoluto e rappresenta la soluzione sulla retta reale. Esprimi il risultato finale utilizzando la notazione degli intervalli:

Risolvi la disuguaglianza $|x| > 5$ e rappresenta la soluzione graficamente. Ricorda che questo tipo di espressioni dà luogo all'unione di due semirette infinite.

Risolvi la seguente disequazione ed esprimi la soluzione sotto forma di unione di intervalli:

Calcola inoltre quali numeri naturali minori di 10 non appartengono a questo insieme soluzione.

Definisci la seguente funzione valore assoluto come funzione definita a tratti:

Indica l'espressione di ciascun ramo e l'intervallo in cui è valido ciascuno.

Esprimi mediante la notazione di valore assoluto i seguenti insiemi di numeri reali rappresentati sulla retta:

1. a) I numeri la cui distanza dall'origine è minore di $4$.

1. b) I numeri la cui distanza dal punto $2$ è esattamente uguale a $3$.

In una fabbrica di componenti elettronici, una resistenza deve avere un valore nominale di $220\ \Omega$. Per il controllo qualità, si accetta che il valore reale $x$ della resistenza vari rispetto al nominale al massimo di $5\ \Omega$.

Sulla retta della figura sono indicati il valore nominale e un valore reale qualsiasi $x$, insieme alla sua distanza dal valore nominale.

1. a) Scrivi questa condizione utilizzando una disuguaglianza con valore assoluto.

1. b) Risolvi la disuguaglianza e determina l'intervallo dei valori ohmici accettabili per queste resistenze.

Un'azienda che produce componenti elettronici realizza resistenze che devono avere un valore nominale di $220 \Omega$. Per ragioni di controllo qualità, si accetta un margine di errore (tolleranza) di $5 \Omega$.

1. a) Scrivi una disequazione con il valore assoluto che descriva i valori di resistenza $x$ accettabili.
2. b) Determina l'intervallo di valori consentiti affinché il componente non venga scartato.

In uno studio statistico sulla spesa mensile per il tempo libero dei giovani di una città, è stato determinato che la media è di $45$ € con un errore massimo di $12$ €.

1. a) Esprimi questa situazione mediante un intorno $E(a, r)$.
2. b) Scrivi la corrispondente disuguaglianza con valore assoluto.
3. c) Un giovane che spende $32$ € al mese potrebbe rientrare in questo gruppo di studio? Giustifica la tua risposta.

Date le seguenti disuguaglianze, individua quale di esse definisce un intorno di centro $a = -2$ e raggio $r = 3$:

1. a) $|x - 2| < 3$

1. b) $|x + 2| < 3$

1. c) $|x - 3| < 2$

Una volta individuata, scrivi l'insieme complementare di tale intorno sulla retta reale come unione di intervalli. Spiega anche come lo rappresenteresti sulla retta: quali estremi sono chiusi o aperti e verso dove si estende ciascuna parte.

Trova l'intervallo risultante dalla seguente condizione combinata e rappresentalo graficamente:

Determina l'insieme dei numeri reali $x$ che soddisfano simultaneamente le seguenti due condizioni di distanza sulla retta reale. Esprimi il risultato finale utilizzando solo la notazione di intervalli:

1. La distanza tra $x$ e $2$ è minore o uguale a $5$.

2. La distanza tra $x$ e $-1$ è strettamente maggiore di $2$.

Sulla retta della figura sono stati segnati i due punti di riferimento, $-1$ e $2$.

Un analista finanziario osserva che il prezzo di una criptovaluta ha fluttuato seguendo la regola $|P - 450| < 75$, dove $P$ è il prezzo in euro. Allo stesso tempo, un'altra fonte indica che, per ragioni di sicurezza, l'investimento è consigliabile solo se $|P - 500| > 50$.

Determina l'intervallo di prezzi in cui sono soddisfatte entrambe le condizioni per effettuare un investimento sicuro secondo questi dati.