Funzione lineare; inversa; radice; definita a tratti; valore assoluto

Una piattaforma di streaming di videogiochi offre un abbonamento mensile che consiste in una quota fissa di $12$ € al mese più un costo aggiuntivo di $0,50$ € per ogni ora di gioco nel "cloud".

1. a) Scrivi l'espressione algebrica della funzione $f(x)$ che mette in relazione il costo mensile con il numero di ore giocate $x$.

1. b) Indica qual è il coefficiente angolare ($m$) e l'ordinata all'origine ($n$) di questa funzione.

1. c) Quanto pagherà uno studente che ha giocato $20$ ore in un mese?

Il servizio meteorologico utilizza nella troposfera un modello lineare per stimare la temperatura esterna $T$ (in $^\circ\text{C}$) in funzione della quota $h$ (in metri sul livello del mare). In una giornata invernale sull'Appennino, la temperatura registrata a livello della pianura ($0\text{ m}$) è di $11\ ^\circ\text{C}$ e scende al ritmo di $0,65\ ^\circ\text{C}$ ogni $100\text{ m}$ di salita in verticale.

1. a) Scrivi la funzione lineare $T(h)$ individuando chiaramente il coefficiente angolare $m$ (in $^\circ\text{C}/\text{m}$) e l'ordinata all'origine $n$.
2. b) Prima di eseguire il calcolo numerico esatto, stima in modo motivato se sulla vetta ($2428\text{ m}$) la temperatura sarà superiore o inferiore a $0\ ^\circ\text{C}$ (arrotonda mentalmente la quota a un valore vicino e semplice).
3. c) Calcola il valore esatto di $T(2428)$ mediante la funzione e confronta il risultato con la tua stima precedente.

Un servizio comunale di noleggio di monopattini elettrici vuole modellizzare i propri costi. Il costo totale giornaliero di esercizio $C(x)$ (in euro) dipende dai chilometri percorsi complessivamente dalla flotta $x$ e segue una funzione lineare. Si sa che un giorno in cui i monopattini hanno percorso $20$ km il costo è stato di $15$ €, e un altro giorno con $50$ km percorsi il costo è salito a $30$ €. La figura riporta questi due dati.

1. a) Determina l'espressione analitica della funzione $C(x)$.
2. b) Individua e spiega il significato del coefficiente angolare e dell'ordinata all'origine nel contesto del problema.
3. c) Se il budget massimo giornaliero è di $50$ €, quanti chilometri possono percorrere al massimo?

Calcola la funzione inversa della seguente funzione lineare, che rappresenta la conversione in euro di una moneta virtuale di un gioco:

$f(x) = \dfrac{x - 100}{50}$

Segui i passaggi imparati in classe:

1. Sostituisci $f(x)$ con $y$.

2. Ricava la variabile $x$ in funzione di $y$.

3. Scambia le variabili per ottenere $f^{-1}(x)$.

Matteo deve calcolare la funzione inversa di $f(x) = \dfrac{4x - 6}{5}$. Nel suo compito scrive:

«Poiché la funzione inversa è l'operazione contraria, basta invertire la frazione: $f^{-1}(x) = \dfrac{5}{4x - 6}$. Inoltre, poiché il denominatore non può annullarsi, il suo dominio sono tutti i reali tranne $x = 1,5$».

1. a) Spiega in modo motivato quale confusione concettuale ha Matteo tra il concetto di reciproco o inverso moltiplicativo di un'espressione, $\dfrac{1}{f(x)}$, e quello di funzione inversa rispetto alla composizione, $f^{-1}(x)$.
2. b) Dimostra numericamente che la formula di Matteo è errata calcolando l'immagine $f(4)$ e verificando che applicando la sua presunta inversa al risultato ottenuto non si ritrova il $4$ iniziale.
3. c) Ottieni passo dopo passo l'espressione corretta di $f^{-1}(x)$ ricavando opportunamente la variabile e indica il suo dominio.

Data la funzione razionale $f(x) = \dfrac{2x - 5}{x - 3}$:

1. a) Calcola il suo dominio.
2. b) Trova le intersezioni con gli assi coordinati.
3. c) Determina la funzione inversa $f^{-1}(x)$.
4. d) Verifica che $(f \circ f^{-1})(x) = x$.

Data la funzione razionale $f(x) = \frac{2x - 5}{x - 3}$:

1. a) Trova la sua funzione inversa $f^{-1}(x)$.

1. b) Dimostra analiticamente che la composizione $(f \circ f^{-1})(x) = x$.

1. c) Rappresenta entrambe le funzioni nello stesso piano cartesiano e disegna la retta di simmetria $y = x$. Indica le coordinate dei punti in cui la funzione e la sua inversa coincidono (punti uniti).

Il progetto di una nuova rampa per uno skate park segue la forma di una funzione radice quadrata. Affinché la struttura sia stabile, l'ingegnere deve calcolarne il dominio.

Trova il dominio della funzione:

$f(x) = \sqrt{2x - 8}$

Ricorda che per le funzioni con radici di indice pari, il radicando deve essere maggiore o uguale a zero.

Un drone per la sorveglianza forestale analizza il terreno seguendo una traiettoria la cui altezza rispetto al suolo è data dalla funzione $h(x) = \sqrt{2x + 8}$, dove $x$ è la distanza orizzontale dalla base operativa, in chilometri, e $h(x)$ è l'altezza, in ettometri.

1. a) Determina il dominio della funzione in questo contesto (tieni conto di quali valori di $x$ hanno senso come distanza).

1. b) Calcola il tasso di variazione medio (rapporto incrementale) dell'altezza nell'intervallo $[0, 4]$.

1. c) A che distanza dalla base il drone raggiunge un'altezza di $4$ ettometri?

Determina l'espressione algebrica di una funzione radicale della forma $f(x) = a\sqrt{x - b} + c$ sapendo che soddisfa contemporaneamente le seguenti tre condizioni:

1. Il suo dominio è l'intervallo $[4, \infty)$.

2. Il suo codominio (insieme immagine) è l'intervallo $[-1, \infty)$.

3. Il suo grafico passa per il punto $(13, 5)$.

Con questi dati:

1. a) Deduci i valori dei parametri $a$, $b$ e $c$ giustificando come influiscono il radicando e la traslazione verticale sul dominio e sul codominio.
2. b) Trova la funzione inversa $f^{-1}(x)$, illustrando il procedimento algebrico per ricavare l'incognita.
3. c) Specifica in modo motivato il dominio e il codominio di $f^{-1}(x)$, mettendoli direttamente in relazione con quelli della funzione originale $f(x)$.

Data la funzione $f(x) = \sqrt{x + 1}$, si chiede:

1. Trovare la sua funzione inversa $f^{-1}(x)$, specificando chiaramente il dominio e il codominio di entrambe.

2. Considera ora una nuova funzione $g(x) = f(x - 3) + 2$. Spiega in dettaglio quali trasformazioni geometriche (traslazioni orizzontali e verticali) sono state applicate alla funzione radice originale per ottenere $g(x)$.

3. Scrivi l'espressione analitica di $g(x)$ e calcola il suo punto di intersezione con l'asse delle ordinate, se esiste.

Rappresenta graficamente la funzione $f(x) = |x^2 - 4x + 3|$. Per farlo, segui questi passi:

1. a) Rappresenta la parabola $y = x^2 - 4x + 3$ trovando il suo vertice e le intersezioni con l'asse $OX$.
2. b) Applica la definizione di valore assoluto per esprimere $f(x)$ come funzione definita a tratti.
3. c) Indica gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Un giovane imprenditore vende magliette personalizzate su internet. Ha deciso di applicare uno sconto in base alla quantità acquistata, definendo il prezzo totale mediante la seguente funzione definita a tratti:

$f(x) = \begin{cases} 15x & \text{si } 0 \le x \le 5 \\ 12x + 15 & \text{si } x > 5 \end{cases}$

Dove $x$ è il numero di magliette acquistate.

1. a) Quanto costerà acquistare $4$ magliette?
2. b) Qual è il prezzo di un ordine di $10$ magliette?
3. c) La funzione è continua nel punto di rottura $x = 5$? Giustifica la risposta calcolando il valore della funzione in quel punto con entrambi i tratti.

Il comune di una località ha stabilito una nuova tariffa per il consumo di acqua orientata al risparmio. Il costo mensile $f(x)$ in euro per $x$ metri cubi consumati è definito dalla seguente funzione definita a tratti:

$$f(x) = \begin{cases} 0,8x + 12 & \text{si } 0 \leq x \le 15 \\ 1,2x + k & \text{si } x > 15 \end{cases}$$

1. a) Trova il valore di $k$ affinché la tariffa sia continua nel punto di cambio di scaglione (in modo che non ci siano salti bruschi in bolletta).
2. b) Rappresenta graficamente la funzione ottenuta.
3. c) Quanto pagherà una famiglia che consuma $22$ $m^3$ al mese?

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Una piattaforma di vendita online di videogiochi offre uno sconto che dipende dalla spesa totale $x$ effettuata. La funzione che descrive l'importo finale da pagare $G(x)$ dopo l'applicazione dello sconto è:

$$G(x) = \begin{cases} x & \text{si } 0 \leq x < 30 \\ 0,8x + 6 & \text{si } x \ge 30 \end{cases}$$

1. a) Studia se la funzione è continua in $x = 30$. Che cosa significa questo risultato per l'acquirente?
2. b) Rappresenta graficamente la funzione.
3. c) Se un utente ha pagato $54$ €, qual era il prezzo originale del suo acquisto prima dello sconto?

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Un'azienda pubblica di fornitura dell'acqua fattura il consumo bimestrale di una famiglia mediante una tariffa progressiva a scaglioni per penalizzare il consumo eccessivo:

• Quota fissa di servizio indipendente dal consumo: $8$ €.

• Scaglione 1 (fino a $15\text{ m}^3$): ogni $\text{m}^3$ costa $0,60$ €.

• Scaglione 2 (consumo superiore a $15\text{ m}^3$ e fino a $40\text{ m}^3$): i primi $15\text{ m}^3$ si fatturano alla tariffa dello Scaglione 1 e ogni $\text{m}^3$ aggiuntivo a $1,40$ €.

• Scaglione 3 (consumo superiore a $40\text{ m}^3$): i primi $40\text{ m}^3$ si calcolano secondo gli scaglioni precedenti e ogni $\text{m}^3$ aggiuntivo a $2,80$ €.

1. a) Scrivi l'espressione analitica della funzione continua a tratti $C(x)$ che fornisce l'importo totale della fattura in euro in funzione del volume $x$ di acqua consumata (in $\text{m}^3$).
2. b) Giustifica che la funzione non presenta discontinuità di salto verificando i valori nei punti di cambio di scaglione ($x = 15$ e $x = 40$).
3. c) Se una famiglia ha ricevuto una fattura di importo totale pari a $80$ €, determina in modo motivato in quale scaglione si trova e calcola esattamente quanti $\text{m}^3$ ha consumato in quel bimestre.

Rappresenta graficamente la funzione valore assoluto $f(x) = |x + 2|$.

Per farlo:

1. Individua il vertice della funzione (il valore di $x$ che rende nullo l'argomento del valore assoluto).

2. Costruisci una tabella di valori con due punti a sinistra e due a destra del vertice.

3. Disegna il grafico ottenuto in un sistema di assi cartesiani, evidenziando il vertice e i punti della tabella.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Rappresenta graficamente la funzione $f(x) = |x^2 - 4x + 3|$. Per farlo, segui questi passi:

1. a) Rappresenta la parabola $y = x^2 - 4x + 3$ trovando il suo vertice e le intersezioni con l'asse $OX$.
2. b) Applica la definizione di valore assoluto per esprimere $f(x)$ come funzione definita a tratti.
3. c) Indica gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Trova l'espressione analitica della funzione $f(x) = |x + 2| + |x - 3|$. Per farlo:

1. a) Dividi la retta reale negli intervalli definiti dagli zeri degli argomenti dei valori assoluti.

1. b) Scrivi la funzione risultante come funzione definita a tratti, con l'espressione di $f(x)$ in ogni intervallo.

1. c) Rappresentala graficamente. Che nome ha questo tipo di funzione, formata da tratti di rette? Qual è il suo valore minimo assoluto?

Un'applicazione per la gestione di portafogli di investimento utilizza una funzione per modellare il rischio in funzione del tempo di esposizione $t$ (in mesi). La funzione di rischio cumulato è:

$$R(t) = |t^2 - 6t + 5|$$

Si chiede:

1. Esprimi la funzione $R(t)$ come funzione definita a tratti senza usare valori assoluti.

2. Disegna il suo grafico e individua i momenti in cui il rischio è nullo.

3. Determina gli intervalli di tempo, entro i primi 6 mesi, in cui il rischio è strettamente crescente.

Puoi svolgerlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Data la funzione di proporzionalità inversa $f(x) = \dfrac{4}{x}$, svolgi i seguenti compiti:

1. a) Completa la tabella dei valori per $x = \{-4, -2, -1, 1, 2, 4\}$.
2. b) Indica quali sono gli asintoti della funzione.
3. c) Spiega in modo motivato perché il valore $x = 0$ non appartiene al dominio di questa funzione.

In un laboratorio di chimica, la concentrazione di un reagente in una soluzione (in mg/L) in funzione del tempo $t$ (in minuti) è data dalla funzione di proporzionalità inversa:

$$C(t) = \dfrac{40}{t + 2}$$

1. a) Qual è la concentrazione all'istante iniziale $t=0$?
2. b) Rappresenta la funzione per valori di $t \ge 0$.
3. c) È possibile che la concentrazione arrivi a essere di $0$ mg/L? Giustifica la risposta analizzando l'asintoto orizzontale della funzione.
4. d) In quale istante la concentrazione è esattamente di $5$ mg/L?

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Le funzioni di offerta ($O$) e domanda ($D$) di un modello di auricolari wireless sono date dalle seguenti espressioni, dove $p$ è il prezzo in euro e $O(p)$, $D(p)$ sono le quantità (in unità):

$$O(p) = \frac{1}{2}p - 10$$ $$D(p) = \frac{800}{p}$$

1. a) Determina il punto di equilibrio del mercato (prezzo e quantità di unità). Arrotonda a una cifra decimale.

1. b) Se il governo impone un prezzo massimo di 30 €, si verificherà un eccesso di offerta o un eccesso di domanda? Calcola tale differenza.

1. c) Rappresenta graficamente entrambe le funzioni nel primo quadrante, segnando il punto di equilibrio e individuando gli asintoti della funzione di domanda.

Puoi svolgerlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Date le funzioni $f(x) = 2x - 3$ e $g(x) = x^2 + 1$, calcola le seguenti composizioni di funzioni:

1. a) $(g \circ f)(x)$ [Ricorda che questo è $g(f(x))$]
2. b) $(f \circ g)(x)$ [Ricorda che questo è $f(g(x))$]
3. c) Valuta il risultato di $(g \circ f)(2)$.

Osserva il seguente grafico che mostra la relazione tra la temperatura di una serra e l'ora del giorno.

1. a) Determina il dominio e il codominio della funzione in base all'immagine.
2. b) Indica gli intervalli di crescenza e decrescenza.
3. c) A che ora si raggiunge la temperatura massima e qual è il suo valore?

Calcola il dominio delle seguenti funzioni e classifica i loro possibili punti di discontinuità:

1. a) $g(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 - 3x + 2}$

1. b) $h(x) = \sqrt{x^2 - 9}$

In ogni caso, giustifica le tue risposte: imposta la condizione che deve essere soddisfatta affinché la funzione sia definita, scomponi in fattori quando necessario e, per ogni punto di discontinuità, studia il limite corrispondente per stabilire se è eliminabile, di salto o infinita (asintoto).

Studia analiticamente il dominio di definizione della seguente funzione, che combina radicali e frazioni algebriche:

$$f(x) = \sqrt{\frac{x^2 - 5x + 6}{x + 4}}$$

Per farlo, dovrai risolvere la disequazione fratta risultante ed esprimere il dominio finale usando la notazione degli intervalli. Giustifica se gli estremi degli intervalli devono essere inclusi o esclusi in base alla definizione della funzione.

Un laboratorio di stampa 3D ha stabilito che il costo di produzione mensile (in migliaia di euro) è dato dalla funzione $C(x)$, dove $x$ rappresenta il numero di lotti prodotti. Per ragioni logistiche, la struttura dei costi cambia quando si superano i 10 lotti:

$$C(x) = \begin{cases} x^2 + ax + 20 & \text{si } 0 \le x \le 10 \\ \sqrt{bx + 100} + 40 & \text{si } x > 10 \end{cases}$$

Si chiede:

1. Determina i valori di $a$ e $b$ affinché la funzione di costo sia continua in tutto il suo dominio, sapendo che se non si produce nulla il costo è di 20.000 € e che se si producono 10 lotti il costo è di 120.000 €.

2. Una volta trovati $a$ e $b$, analizza se esiste un livello di produzione nel secondo tratto per cui il costo si stabilizzi su un valore fisso.

In un'indagine di mercato sono stati analizzati i prezzi di un prodotto in tre momenti diversi:

• Nel mese 1 il prezzo era di 10 €.

• Nel mese 3 il prezzo è salito a 18 €.

• Nel mese 5 il prezzo si è attestato a 22 €.

Si chiede:

1. Usa l'interpolazione quadratica (metodo di Newton o sistema di equazioni) per trovare la funzione $P(t)$ che meglio si adatta a questi dati.

2. Stima mediante estrapolazione il prezzo atteso per il mese 7.

3. Discuti se questo modello è ragionevole a lungo termine analizzando il vertice della parabola ottenuta.

Considera la funzione $f(x) = |x + 1| + |x - 5|$. Per analizzarla e trovare il suo valore minimo globale, due studenti propongono strade diverse:

• Metodo A (analitico per tratti, proposto da Irene): Dividi la retta reale in tre intervalli a partire dai punti in cui si annullano i valori assoluti ($x = -1$ e $x = 5$). Sviluppa l'espressione algebrica in ogni tratto eliminando le barre in base al segno e studia i coefficienti angolari risultanti.

• Metodo B (geometrico per distanze, proposto da Tommaso): Applica la definizione del valore assoluto come distanza tra due punti della retta reale ($|x - a| = d(x, a)$), interpretando la funzione come la somma delle distanze da un punto variabile $x$ ai punti fissi $-1$ e $5$: $f(x) = d(x, -1) + d(x, 5)$.

1. a) Applica il Metodo A: scrivi $f(x)$ come funzione definita a tratti e determina il suo valore minimo e in quale insieme di valori di $x$ viene assunto.
2. b) Applica il Metodo B: usando esclusivamente la visualizzazione delle distanze sulla retta reale, spiega perché la somma delle distanze non può essere inferiore alla distanza tra $-1$ e $5$, e deduci direttamente il valore minimo e i punti in cui viene assunto senza sviluppare tratti algebrici.
3. c) Confronta i due metodi e giustifica quale risulta più adatto se devi calcolare l'espressione formale per derivare o rappresentare il grafico completo, e quale è più efficiente se devi solo risolvere rapidamente la disequazione $|x + 1| + |x - 5| \le 10$.

Paola cerca di calcolare la funzione inversa di $f(x) = 3 - \sqrt{2x - 4}$. Il suo procedimento alla lavagna è il seguente:

1. Scrive $y = 3 - \sqrt{2x - 4}$.

2. Isola la radice: $3 - y = \sqrt{2x - 4}$.

3. Eleva al quadrato entrambi i membri: $(3 - y)^2 = 2x - 4$.

4. Ricava la variabile $x$: $x = \dfrac{(3 - y)^2 + 4}{2} = \dfrac{y^2 - 6y + 13}{2}$.

5. Scambia le variabili e conclude: «La funzione inversa è $f^{-1}(x) = \dfrac{x^2 - 6x + 13}{2}$, il cui dominio è tutto $\mathbb{R}$ perché si tratta di un polinomio quadratico».

1. a) Indica l'errore concettuale commesso da Paola riguardo alla relazione tra il codominio di $f$ e il dominio di $f^{-1}$, e spiega geometricamente perché una parabola completa non può essere l'inversa di un ramo di radice quadrata.
2. b) Dimostra che la formula ottenuta da Paola non funziona per $x = 5$: calcola quale valore produce $f^{-1}(5)$ con la sua formula e verifica se applicando $f$ a quel risultato si ritrova il valore originale $5$. Spiega perché il passaggio algebrico di elevare al quadrato ha generato questo problema.
3. c) Svolgi la risoluzione corretta: determina il dominio e il codominio esatti di $f(x)$, e scrivi l'espressione analitica di $f^{-1}(x)$ indicando obbligatoriamente il suo dominio di definizione ristretto.