Tecniche di conteggio

Una piattaforma di streaming permette di personalizzare il profilo utente scegliendo un avatar tra 4 animali diversi (leone, panda, gatto e lupo) e un colore di sfondo tra 3 opzioni (blu, verde e arancione).

1. a) Descrivi lo spazio campionario $E$ delle possibili combinazioni di profilo.

1. b) Quanti elementi ha lo spazio campionario? Usa il principio moltiplicativo per giustificarlo.

Nel menù della mensa della tua scuola puoi scegliere un primo piatto tra insalata, pasta o riso; un secondo tra pollo o pesce; e un dessert tra frutta o yogurt.

1. a) Rappresenta mediante un diagramma ad albero tutte le possibili opzioni di menù completo.
2. b) Se scegli un menù a caso, qual è la probabilità che comprenda la "pasta" come primo?

Un lucchetto a combinazione per un armadietto ha un codice di 3 cifre. Ogni cifra può essere un numero da $1$ a $5$.

1. a) Quante combinazioni diverse si possono creare se i numeri si possono ripetere?
2. b) Quante combinazioni ci sono se i tre numeri devono essere distinti?

Cinque amici (Anna, Beto, Clara, Davide ed Elena) vanno al cinema e si siedono in una fila di cinque poltrone consecutive.

1. a) In quanti modi diversi possono sedersi nella fila?
2. b) Se decidono che Anna e Beto devono sedersi sempre ai due estremi della fila, quante disposizioni diverse sono ora possibili?

In un torneo locale di scacchi partecipano 8 giocatori. Verranno assegnati tre trofei diversi al primo, al secondo e al terzo classificato.

1. a) In quanti modi diversi si possono assegnare i tre premi?
2. b) Se il campione dell'anno scorso partecipa di nuovo e siamo certi che arriverà tra i primi tre, quante classifiche del podio sono ora possibili?

Un gruppo musicale ha preparato 10 canzoni per il suo nuovo album, ma la casa discografica dice che possono includerne solo 4.

1. a) Quante selezioni diverse di 4 canzoni possono fare se l'ordine non conta?
2. b) Come si chiamano in calcolo combinatorio questi tipi di raggruppamenti? Giustifica la risposta.

Nella prova di valutazione di Storia contemporanea di prima liceo, l'esame consiste in un banco di 6 domande a risposta aperta e ogni studente deve scegliere liberamente 4 di esse a cui rispondere.

1. a) Prima di effettuare qualsiasi calcolo con formule combinatorie, fai una stima intuitiva e ragionata di quante scelte diverse di 4 domande sono possibili: pensi che il risultato sarà tra 1 e 10, tra 11 e 30, o supererà le 50 possibilità? Giustifica brevemente su cosa basi la tua previsione iniziale.
2. b) Modella la situazione e calcola formalmente il numero esatto di possibilità mediante la tecnica di conteggio opportuna, giustificando perché l'ordine di scelta influisce o no.
3. c) Verifica se la tua stima iniziale era corretta e spiega, mediante la proprietà di simmetria dei coefficienti binomiali $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$, perché scegliere 4 domande a cui rispondere tra 6 disponibili produce esattamente lo stesso numero di possibilità che scegliere 2 domande da scartare.

Un gruppo di 12 studenti di prima liceo è stato selezionato per partecipare a un convegno sulla sostenibilità. La scuola deve sceglierne 4 per formare una commissione di portavoce.

• a) In quanti modi diversi si può scegliere la commissione se non ci sono distinzioni di incarichi?

• b) Se tra i 12 studenti ci sono 7 ragazze e 5 ragazzi, qual è la probabilità che la commissione sia formata esattamente da 2 ragazzi e 2 ragazze?

A un torneo di dibattito tra istituti partecipano $12$ studenti: $7$ ragazze e $5$ ragazzi. Per la fase finale, si deve scegliere in modo casuale una squadra di $4$ rappresentanti. Calcola la probabilità che la squadra scelta soddisfi contemporaneamente che:

• Siano rappresentati entrambi i sessi.

• Il numero di ragazze sia strettamente maggiore di quello dei ragazzi.

In una cassetta degli attrezzi ci sono 5 cacciaviti a croce e 3 a taglio. Si scelgono 2 cacciaviti a caso, uno dopo l'altro e senza rimettere il primo nella cassetta.

1. a) Calcola la probabilità che i due siano dello stesso tipo.

1. b) Calcola la probabilità che il secondo sia a taglio sapendo che il primo era a croce.

1. c) Se l'esperimento fosse eseguito con reinserimento, come cambierebbe la probabilità del punto a)? Calcola il suo nuovo valore e confrontalo con quello del punto a).

Puoi aiutarti con un diagramma ad albero che disegnerai tu stesso.

In una cassetta degli attrezzi ci sono $15$ lampadine LED, di cui si sa che $3$ sono difettose. Se estraiamo $4$ lampadine una alla volta e senza reinserimento:

1. Calcola la probabilità che la quarta lampadina estratta sia la seconda difettosa che compare nel processo.

2. Se le estrazioni fossero fatte con reinserimento, la probabilità precedente cambierebbe? Giustifica la risposta utilizzando tecniche di conteggio.

Una piattaforma di contenuti in streaming usa un codice di sicurezza per il controllo parentale. Il codice è formato da 2 lettere (di un alfabeto di 26, senza la Ñ) seguite da 3 cifre (da 0 a 9).

• a) Quanti codici diversi si possono creare se si possono ripetere lettere e numeri?

• b) Se un utente dimentica il codice ma ricorda che inizia con la lettera "A" e termina con il numero "7", quante combinazioni possibili dovrebbe provare?

• c) Se il codice fosse generato in modo casuale senza permettere la ripetizione di alcun carattere (lettere o numeri), qual sarebbe la probabilità che il codice fosse "BX123"?

Uno stilista di moda sta creando una collezione capsule. Per la sfilata finale deve disporre 6 modelle in un'unica fila.

• a) In quanti modi diversi possono sfilare le 6 modelle?

• b) Se tra le modelle ce ne sono due che sono sorelle e lo stilista insiste perché sfilino una immediatamente dopo l'altra, in quanti modi si può ora organizzare la fila?

• c) Se lo stilista decide che le due sorelle non possono in nessun caso stare vicine, quante possibilità ha?

Un'azienda di logistica organizza i suoi percorsi usando un codice a barre di $10$ strisce verticali. Ogni striscia può essere di colore nero, grigio o bianco. Per motivi di leggibilità dello scanner, non sono ammessi codici in cui ci siano tre strisce consecutive dello stesso colore.

1. Quanti codici diversi di $10$ strisce si possono formare in totale (senza restrizioni)?

2. Se si sceglie un codice a caso tra tutti quelli possibili (senza restrizioni), qual è la probabilità che le strisce nelle posizioni dispari siano tutte nere e quelle nelle posizioni pari siano tutte bianche o grigie?